不定积分：不定积分的定义、几何意义、计算方法

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一、不定积分的定义

设函数\(f(x)\)在区间\(I\)上有定义，如果存在函数\(F(x)\)，使得对于区间\(I\)上的任意一点\(x\)，都有\(F^{\prime}(x)=f(x)\)，那么称函数\(F(x)\)是函数\(f(x)\)在区间\(I\)上的一个原函数。

对于函数\(f(x) = 2x\)，考虑函数\(F(x)=x^{2}\)，对\(F(x)\)求导，根据求导公式\((x^{n})^{\prime}=nx^{n - 1}\)，可得\(F^{\prime}(x)=(x^{2})^{\prime}=2x=f(x)\)，所以\(F(x)=x^{2}\)是\(f(x)=2x\)的一个原函数。

实际上，\(x^{2}+1\)、\(x^{2}-2\)等函数也是\(f(x)=2x\)的原函数。因为\((x^{2}+1)^{\prime}=2x\)，\((x^{2}-2)^{\prime}=2x\)。一般地，\(x^{2}+C\)（\(C\)为任意常数）都是\(f(x)=2x\)的原函数。

原函数存在定理：连续函数一定有原函数

如果函数\(f(x)\)在区间\(I\)上连续，那么在区间\(I\)上一定存在可导函数\(F(x)\)，使得\(F^{\prime}(x)=f(x)\)，即连续函数一定有原函数。

需要注意的是，函数不连续时也可能有原函数，但不是必然有原函数。

函数\(f(x)\)在区间\(I\)上的全体原函数称为\(f(x)\)在区间\(I\)上的不定积分，记作\(\int f(x)dx\)。

如果\(F(x)\)是\(f(x)\)的一个原函数，那么\(\int f(x)dx=F(x)+C\)，其中\(C\)为任意常数，称为积分常数。

对于上述的\(f(x)=2x\)，因为\(x^{2}\)是它的一个原函数，所以\(\int 2xdx=x^{2}+C\)。

再如\(f(x)=\cos x\)，因为\((\sin x)^{\prime}=\cos x\)，所以\(\int \cos xdx=\sin x + C\)。

二、不定积分的几何意义

从原函数到曲线族：不定积分的几何本质

不定积分 \( \int f(x) \, dx = F(x) + C \) 表示的是一族曲线，而非单一曲线。其几何意义可从以下角度理解：

1. 原函数曲线与切线斜率的关系

若 \( F(x) \) 是 \( f(x) \) 的一个原函数，则曲线 \( y = F(x) \) 上任意一点 \( (x, F(x)) \) 处的切线斜率等于 \( f(x) \)。

例如：若 \( f(x) = 2x \)，则 \( F(x) = x^2 + C \)，此时对于任意 \( C \)，曲线 \( y = x^2 + C \) 在点 \( x \) 处的切线斜率均为 \( 2x \)。

2. 积分曲线族：平行移动的曲线集合

所有原函数 \( F(x) + C \) 的图像构成“积分曲线族”，其中任意两条曲线可通过沿 \( y \) 轴上下平移得到（因 \( C \) 是常数）。

例如：\( \int 2x \, dx = x^2 + C \) 的曲线族是抛物线 \( y = x^2 \) 沿 \( y \) 轴平移所得的所有抛物线（如图所示）。

积分曲线族的特性：同一点处切线平行

对于积分曲线族中的任意两条曲线 \( y = F(x) + C_1 \) 和 \( y = F(x) + C_2 \)，在同一横坐标 \( x_0 \) 处：

切线斜率均为 \( f(x_0) \)，即切线相互平行。

纵坐标之差为 \( (F(x_0) + C_2) - (F(x_0) + C_1) = C_2 - C_1 \)（常数），说明曲线在垂直方向上保持固定距离。

初始条件与特解：确定唯一积分曲线

若给定初始条件（如 \( x = x_0 \) 时 \( y = y_0 \)），可确定常数 \( C \)，从而得到唯一的积分曲线（特解）。

例：已知 \( f(x) = 2x \) 且曲线过点 \( (1, 3) \)，求不定积分。

通解为 \( y = x^2 + C \)，代入 \( x=1, y=3 \) 得 \( 3 = 1 + C \)，即 \( C=2 \)，特解为 \( y = x^2 + 2 \)。

三、不定积分的性质

1. 不定积分的线性性质（可加性与数乘性）

可加性：若 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 均可积，则 \(\int [f(x) + g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx\)

数乘性：若 \( k \) 为常数且 \( f(x) \) 可积，则 \(\int kf(x) \, dx = k\int f(x) \, dx\)

例：计算 \( \int (2x + 3\sin x) \, dx \)，可拆分为 \( 2\int x \, dx + 3\int \sin x \, dx = x^2 - 3\cos x + C \)。

2. 不定积分与导数/微分的互逆关系

先积后导还原函数：若 \( f(x) \) 连续，则 \(\frac{d}{dx} \left( \int f(x) \, dx \right) = f(x)\)

先导后积还原函数+常数： \(\int f'(x) \, dx = f(x) + C\)

与微分的关系： \(\int dF(x) = F(x) + C, \quad d\left( \int f(x) \, dx \right) = f(x) \, dx\)

例：对 \( \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C \) 求导，结果为 \( x^2 \)，即还原被积函数。

3. 积分变量替换的不变性（形式不变性）

若 \( u = \varphi(x) \) 可导，则 \(\int f(u) \, du = \int f[\varphi(x)]\varphi'(x) \, dx\)

这是换元积分法的理论基础，例如：令 \( u = 2x+1 \)，则 \( \int \cos(2x+1) \cdot 2 \, dx = \int \cos u \, du = \sin u + C = \sin(2x+1) + C \)。

四、不定积分的计算方法

1、直接积分法

原理：直接利用基本积分表和不定积分的性质（线性性质）来计算不定积分。

基本积分表包含了如幂函数、指数函数、三角函数、反三角函数等常见函数的积分公式。

示例：计算\(\int(3x^{2}+2x + 1)dx\)。

根据不定积分的线性性质\(\int [k_{1}f(x)+k_{2}g(x)]dx = k_{1}\int f(x)dx + k_{2}\int g(x)dx\)，将原式拆分为：

\(\int 3x^{2}dx+\int 2xdx+\int 1dx\)。

再根据基本积分表，\(\int x^{n}dx=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}+C\)（\(n\neq - 1\)），可得

\(\int 3x^{2}dx = 3\times\frac{1}{3}x^{3}+C_{1}=x^{3}+C_{1}\)

\(\int 2xdx = 2\times\frac{1}{2}x^{2}+C_{2}=x^{2}+C_{2}\)

\(\int 1dx=x + C_{3}\)

所以\(\int(3x^{2}+2x + 1)dx=x^{3}+x^{2}+x + C\)（\(C = C_{1}+C_{2}+C_{3}\)）。

2、第一类换元积分法（凑微分法）

原理：设\(u = \varphi(x)\)在区间\(I\)上可导，且\(\int f(u)du = F(u)+C\)，如果\(F^\prime(u)=f(u)\)，则

\(\int f[\varphi(x)]\varphi^\prime(x)dx=\int f(u)du=F(u)+C=F[\varphi(x)]+C\)。

本质上是将被积表达式凑成某个函数的微分形式，然后利用已知的积分公式进行积分。

示例：计算\(\int 2x\cos(x^{2})dx\)。

令\(u = x^{2}\)，则\(du = 2xdx\)，原式可化为\(\int\cos udu=\sin u + C\)，再将\(u = x^{2}\)代回，得到

\(\int 2x\cos(x^{2})dx=\sin(x^{2})+C\)

3、第二类换元积分法

原理：设\(x = \varphi(t)\)是单调可导函数，且\(\varphi^\prime(t)\neq0\)，如果\(\int f[\varphi(t)]\varphi^\prime(t)dt = F(t)+C\)，则\(\int f(x)dx = F[\varphi^{-1}(x)]+C\)。通常用于被积函数含有根式等复杂形式，通过换元去掉根式，简化积分。

示例：计算\(\int\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}dx\)（\(x>1\)）。

令\(x = \sec t\)（\(0 < t <\frac{\pi}{2}\)），则\(dx=\sec t\tan tdt\)。原式变为

\(\int\frac{1}{\sqrt{\sec^{2}t - 1}}\sec t\tan tdt=\int\frac{\sec t\tan t}{\tan t}dt=\int\sec tdt=\ln|\sec t+\tan t|+C\)

再根据\(x = \sec t\)，可得\(\tan t=\sqrt{\sec^{2}t - 1}=\sqrt{x^{2}-1}\)，所以\(\int\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}dx=\ln|x+\sqrt{x^{2}-1}|+C\)

4、分部积分法

原理：根据乘积的求导公式\((uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime\)，移项可得\(uv^\prime=(uv)^\prime - u^\prime v\)，两边积分得到\(\int uv^\prime dx = uv-\int u^\prime vdx\)，通常用于被积函数是两个不同类型函数乘积的情况，如\(x\sin x\)、\(x^{n}e^{x}\)等。