复数 07 复数的向量形式、三角形式、欧拉形式、指数形式

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

复数的向量形式是从几何角度对复数进行表示的一种方式，它建立了复数与平面向量之间的一一对应关系，为复数的研究提供了直观的几何解释。

定义

在复平面内，复数 \(z = a + bi\)（\(a,b\in R\)）可以用平面直角坐标系中的点 \(Z(a,b)\) 来表示，同时也可以用从原点 \(O(0,0)\) 指向点 \(Z(a,b)\) 的向量 \(\overrightarrow{OZ}\) 来表示。这样，复数 \(z = a + bi\) 与复平面内的向量 \(\overrightarrow{OZ}=(a,b)\) 就建立了一一对应的关系，我们把向量 \(\overrightarrow{OZ}\) 称为复数 \(z\) 的向量形式。

运算的几何意义

加法：设复数 \(z_1=a_1 + b_1i\) 对应向量 \(\overrightarrow{OZ_1}=(a_1,b_1)\)，复数 \(z_2=a_2 + b_2i\) 对应向量 \(\overrightarrow{OZ_2}=(a_2,b_2)\)，则 \(z_1 + z_2=(a_1 + a_2)+(b_1 + b_2)i\) 对应向量 \(\overrightarrow{OZ}=\overrightarrow{OZ_1}+\overrightarrow{OZ_2}=(a_1 + a_2,b_1 + b_2)\)。其几何意义是：两个复数相加，按照向量加法的平行四边形法则或三角形法则进行。以 \(\overrightarrow{OZ_1}\) 和 \(\overrightarrow{OZ_2}\) 为邻边作平行四边形，则以原点 \(O\) 为起点的平行四边形的对角线所表示的向量就是 \(z_1 + z_2\) 对应的向量；或者将 \(\overrightarrow{OZ_2}\) 平移，使它的起点与 \(\overrightarrow{OZ_1}\) 的终点重合，那么以 \(\overrightarrow{OZ_1}\) 的起点为起点，\(\overrightarrow{OZ_2}\) 的终点为终点的向量就是 \(z_1 + z_2\) 对应的向量。

减法：\(z_1 - z_2=(a_1 - a_2)+(b_1 - b_2)i\) 对应向量 \(\overrightarrow{Z_2Z_1}=\overrightarrow{OZ_1}-\overrightarrow{OZ_2}=(a_1 - a_2,b_1 - b_2)\)。其几何意义是：两个复数相减，对应的向量是连接两个向量终点并指向被减数向量终点的向量。

乘法：设 \(z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)\)，\(z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)\)，则 \(z_1z_2=r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)]\)。从向量角度看，复数 \(z_1\) 对应的向量 \(\overrightarrow{OZ_1}\) 先将模伸长（或缩短）为原来的 \(r_2\) 倍，再将所得向量绕原点逆时针旋转 \(\theta_2\) 角，就得到 \(z_1z_2\) 对应的向量。

除法：若 \(z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)\)，\(z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)(z_2\neq0)\)，则 \(\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1 - \theta_2)+i\sin(\theta_1 - \theta_2)]\)。其几何意义是：复数 \(z_1\) 对应的向量 \(\overrightarrow{OZ_1}\) 先将模缩短（或伸长）为原来的 \(\frac{1}{r_2}\) 倍，再将所得向量绕原点顺时针旋转 \(\theta_2\) 角，得到 \(\frac{z_1}{z_2}\) 对应的向量。

示例

已知复数 \(z_1 = 3 + 4i\)，\(z_2 = 1 - 2i\)。

求 \(z_1 + z_2\) 并说明其向量意义

\(z_1 + z_2=(3 + 1)+(4-2)i = 4 + 2i\)。\(z_1\) 对应向量 \(\overrightarrow{OZ_1}=(3,4)\)，\(z_2\) 对应向量 \(\overrightarrow{OZ_2}=(1,-2)\)，\(z_1 + z_2\) 对应向量 \(\overrightarrow{OZ}=(3 + 1,4-2)=(4,2)\)。从几何上看，以 \(\overrightarrow{OZ_1}\) 和 \(\overrightarrow{OZ_2}\) 为邻边作平行四边形，其对角线向量就是 \(\overrightarrow{OZ}\)。

求 \(z_1 - z_2\) 并说明其向量意义

\(z_1 - z_2=(3 - 1)+[4-(-2)]i = 2 + 6i\)。\(z_1 - z_2\) 对应向量 \(\overrightarrow{Z_2Z_1}=(3 - 1,4-(-2))=(2,6)\)，它是连接 \(\overrightarrow{OZ_2}\) 和 \(\overrightarrow{OZ_1}\) 终点并指向 \(\overrightarrow{OZ_1}\) 终点的向量。

复数的三角形式

对于复数\(z = a + bi\)，它的三角形式为\(z=r(\cos\theta + i\sin\theta)\)，其中

\(r\)是复数\(z\)的模，即\(r = \sqrt{a^{2}+b^{2}}\)；

\(\theta\)是复数\(z\)的辐角，满足\(\tan\theta=\frac{b}{a}\)，且\(\theta\)的取值范围通常是\([0,2\pi)\)。

辐角的确定

当\(a>0,b>0\)时，\(\theta=\arctan\frac{b}{a}\)。

当\(a<0,b>0\)时，\(\theta=\pi+\arctan\frac{b}{a}\)。

当\(a<0,b<0\)时，\(\theta=\pi+\arctan\frac{b}{a}\)。

当\(a>0,b<0\)时，\(\theta = 2\pi+\arctan\frac{b}{a}\)。

当\(a = 0\)，\(b>0\)时，\(\theta=\frac{\pi}{2}\)；当\(a = 0\)，\(b<0\)时，\(\theta=\frac{3\pi}{2}\)。

运算规则

乘法：若\(z_1=r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)\)，\(z_2=r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)\)，则\(z_1z_2=r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)]\)。

除法：\(\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)]\)，其中\(z_2\neq0\)。

乘方：\(z^n = [r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)\)，这就是棣莫弗定理。

开方：复数\(z=r(\cos\theta + i\sin\theta)\)的\(n\)次方根是\(\sqrt[n]{r}(\cos\frac{\theta + 2k\pi}{n}+i\sin\frac{\theta + 2k\pi}{n})\)，\(k = 0,1,\cdots,n - 1\)。

示例

将复数\(z = 1 + i\)化为三角形式。

首先求模\(r\)：\(r=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}\)。

然后求辐角\(\theta\)：因为\(a = 1\)，\(b=1\)，所以\(\tan\theta = 1\)，又因为\(a>0,b>0\)，所以\(\theta=\frac{\pi}{4}\)。

则\(z\)的三角形式为\(z=\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})\)。

复数的欧拉形式是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）发现的，它建立了三角函数与复指数函数之间的深刻联系，为复数的表示和运算提供了一种简洁而强大的工具。

定义

对于任意实数\(\theta\)，欧拉公式为\(e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta\)。由此，一个非零复数\(z\)的三角形式\(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)可以写成更简洁的欧拉形式\(z = re^{i\theta}\)，其中\(r\)是复数\(z\)的模（\(r\geq0\)），\(\theta\)是复数\(z\)的辐角，即复数\(z\)在复平面内与正实轴的夹角。

推导

欧拉公式\(e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta\)可以通过对指数函数、余弦函数和正弦函数的幂级数展开来推导：

指数函数\(e^x\)的幂级数展开式为\(e^{x}=1 + x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}+\cdots\)。

余弦函数\(\cos x\)的幂级数展开式为\(\cos x = 1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots\)。

正弦函数\(\sin x\)的幂级数展开式为\(\sin x=x - \frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots+(-1)^{n}\frac{x^{2n + 1}}{(2n+1)!}+\cdots\)。

将\(x = i\theta\)代入\(e^x\)的幂级数展开式中：

\[\begin{align*}e^{i\theta}&=1 + i\theta+\frac{(i\theta)^{2}}{2!}+\frac{(i\theta)^{3}}{3!}+\frac{(i\theta)^{4}}{4!}+\frac{(i\theta)^{5}}{5!}+\frac{(i\theta)^{6}}{6!}+\cdots\\&=1 + i\theta-\frac{\theta^{2}}{2!}-i\frac{\theta^{3}}{3!}+\frac{\theta^{4}}{4!}+i\frac{\theta^{5}}{5!}-\frac{\theta^{6}}{6!}-\cdots\\&=(1-\frac{\theta^{2}}{2!}+\frac{\theta^{4}}{4!}-\frac{\theta^{6}}{6!}+\cdots)+i(\theta-\frac{\theta^{3}}{3!}+\frac{\theta^{5}}{5!}-\cdots)\\&=\cos\theta + i\sin\theta\end{align*}\]

运算性质

乘法：若有两个复数\(z_1 = r_1e^{i\theta_1}\)和\(z_2 = r_2e^{i\theta_2}\)，则它们的乘积为\(z_1z_2=r_1e^{i\theta_1}\cdot r_2e^{i\theta_2}=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}\)。这表明，两个复数相乘时，模长相乘，辐角相加。

除法：\(\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}}=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1 - \theta_2)}\)（\(r_2\neq0\)），即两个复数相除时，模相除，辐角相减。

乘方：对于复数\(z = re^{i\theta}\)，其\(n\)次幂为\(z^n=(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}\)，这与棣莫弗定理是一致的。

开方：复数\(z = re^{i\theta}\)的\(n\)次方根为\(z_k=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta + 2k\pi}{n}}\)，其中\(k = 0,1,\cdots,n - 1\)。

示例

把复数\(z = 1 + i\)化为欧拉形式。

先求模\(r\)：\(r=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}\)。

再求辐角\(\theta\)：因为\(\tan\theta = 1\)且\(1 + i\)对应的点在第一象限，所以\(\theta=\frac{\pi}{4}\)。

则\(z\)的欧拉形式为\(z=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\)。

复数的指数形式是复数的一种重要表示方法，它与复数的代数形式、三角形式之间可以相互转化，在复数的运算和相关理论研究中具有重要作用。

定义

根据欧拉公式\(e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta\)（其中\(\theta\)为实数，\(i\)为虚数单位，满足\(i^{2}=-1\)），任意一个复数\(z\)都可以表示为指数形式\(z = re^{i\theta}\)。其中\(r\)是复数\(z\)的模，即\(r = |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)（若\(z=a + bi\)，\(a,b\in R\)）；\(\theta\)是复数\(z\)的辐角，它的取值使得\(z\)在复平面上的位置得以确定，辐角\(\theta\)满足\(\tan\theta=\frac{b}{a}(a\neq0)\)，且辐角主值的范围通常规定为\([0, 2\pi)\)或\((-\pi,\pi]\)。

与其他形式的转换

从代数形式\(z = a + bi\)到指数形式\(z = re^{i\theta}\)

计算模\(r\)：\(r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)。

确定辐角\(\theta\)：

当\(a>0\)时，\(\theta=\arctan\frac{b}{a}\)；

当\(a < 0,b\geq0\)时，\(\theta=\pi+\arctan\frac{b}{a}\)；

当\(a < 0,b < 0\)时，\(\theta=-\pi+\arctan\frac{b}{a}\)；

当\(a = 0,b>0\)时，\(\theta=\frac{\pi}{2}\)；当\(a = 0,b < 0\)时，\(\theta=-\frac{\pi}{2}\)。

得到指数形式\(z = re^{i\theta}\)。

从指数形式\(z = re^{i\theta}\)到代数形式\(z = a + bi\)

根据欧拉公式\(e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta\)，可得\(z = re^{i\theta}=r(\cos\theta + i\sin\theta)=r\cos\theta+ir\sin\theta\)，即\(a = r\cos\theta\)，\(b = r\sin\theta\)。

运算规则

乘法：设\(z_1 = r_1e^{i\theta_1}\)，\(z_2 = r_2e^{i\theta_2}\)，则\(z_1z_2=r_1e^{i\theta_1}\cdot r_2e^{i\theta_2}=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}\)。这意味着两个复数相乘时，它们的模相乘，辐角相加。

除法：若\(z_1 = r_1e^{i\theta_1}\)，\(z_2 = r_2e^{i\theta_2}(r_2\neq0)\)，则\(\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}}=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1 - \theta_2)}\)。即两个复数相除时，模相除，辐角相减。

乘方：对于复数\(z = re^{i\theta}\)，其\(n\)次幂\(z^n=(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}\)（\(n\in Z\)）。当\(n\)为正整数时，就是对复数进行\(n\)次自乘运算；当\(n\)为负整数时，可先求正整数次幂再取倒数；当\(n = 0\)时，\(z^0 = 1\)（\(z\neq0\)）。

开方：求复数\(z = re^{i\theta}\)的\(n\)次方根，设\(w^n = z\)，\(w=\rho e^{i\varphi}\)，则\((\rho e^{i\varphi})^n=\rho^n e^{in\varphi}=re^{i\theta}\)。可得\(\rho=\sqrt[n]{r}\)，\(\varphi=\frac{\theta + 2k\pi}{n}(k = 0,1,\cdots,n - 1)\)，所以\(z\)的\(n\)次方根为\(w_k=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta + 2k\pi}{n}}(k = 0,1,\cdots,n - 1)\)。

示例

将复数\(z = - 1+\sqrt{3}i\)化为指数形式

计算模\(r\)：\(r=\sqrt{(-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1 + 3}=2\)。

确定辐角\(\theta\)：\(\tan\theta=\frac{\sqrt{3}}{-1}=-\sqrt{3}\)，因为\(a=-1<0\)，\(b = \sqrt{3}>0\)，所以\(\theta=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\)。

则\(z\)的指数形式为\(z = 2e^{i\frac{2\pi}{3}}\)。

已知复数\(z = 3e^{i\frac{\pi}{6}}\)，化为代数形式

根据\(z = r\cos\theta+ir\sin\theta\)，这里\(r = 3\)，\(\theta=\frac{\pi}{6}\)，则\(z=3\cos\frac{\pi}{6}+3i\sin\frac{\pi}{6}=3\times\frac{\sqrt{3}}{2}+3i\times\frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}i\)。

复数作为数学中的重要概念，在数学、物理学、工程技术等多个领域都有广泛应用：

数学领域

代数方程求解

复数的引入解决了代数方程无解的问题。

例如，一元二次方程\(ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)\)，当判别式\(\Delta=b^{2}-4ac\lt0\)时，在实数范围内无解，但在复数范围内有两个复数根\(x=\frac{-b\pm\sqrt{4ac - b^{2}}i}{2a}\)。

对于更高次的代数方程，根据代数基本定理，\(n\)次复系数多项式方程在复数域内恰有\(n\)个根（重根按重数计算），这使得方程求解理论更加完善。

三角函数计算

利用欧拉公式\(e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta\)，可以将三角函数的计算转化为复数的指数运算。

例如，计算\(\cos3\theta\)和\(\sin3\theta\)，可先将\(e^{i3\theta}=(e^{i\theta})^3 = (\cos\theta + i\sin\theta)^3\)展开，

\((\cos\theta + i\sin\theta)^3=\cos^{3}\theta + 3i\cos^{2}\theta\sin\theta-3\cos\theta\sin^{2}\theta - i\sin^{3}\theta\)，又因为

\(e^{i3\theta}=\cos3\theta + i\sin3\theta\)，根据实部和虚部分别相等，可得

\(\cos3\theta=\cos^{3}\theta - 3\cos\theta\sin^{2}\theta\)

\(\sin3\theta = 3\cos^{2}\theta\sin\theta-\sin^{3}\theta\)

复变函数理论

复变函数是研究定义在复数域上的函数，解析函数是复变函数中一类重要的函数。柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数的核心内容，它们为计算复积分提供了有效的方法，并且在理论研究和实际应用中都有重要作用。例如，在流体力学和电磁学中，常利用复变函数的保角映射来解决实际问题。

复变函数是数学中一个重要的分支，它主要研究定义在复数域上的函数的性质和行为。

复变函数定义：设 \(D\) 是复平面上的一个非空点集，如果对于 \(D\) 内的每一个复数 \(z=x + iy\)，按照一定的法则 \(f\)，总有确定的复数 \(w = u+iv\) 与之对应，则称 \(f\) 是定义在 \(D\) 上的复变函数，记作 \(w = f(z)\)，其中 \(z\in D\)，\(D\) 称为函数 \(f(z)\) 的定义域。

几何意义：复变函数 \(w = f(z)\) 可以看作是从 \(z\) 平面上的点集 \(D\) 到 \(w\) 平面上的点集 \(G=f(D)\) 的一个映射（或变换）。

物理学领域

交流电分析

在交流电路中，电压、电流等物理量随时间呈正弦或余弦变化。为了方便分析和计算，通常用复数来表示这些物理量，复数的模表示物理量的幅值，辐角表示相位。例如，对于一个正弦交流电压\(u(t)=U_m\cos(\omega t+\varphi)\)，可以用复数\(\dot{U}=U_me^{i\varphi}\)表示，其中\(U_m\)是电压的幅值，\(\varphi\)是初相位。利用复数表示后，交流电路中的电阻、电感和电容的阻抗可以用复数形式表示，从而将交流电路的分析转化为复数的代数运算。

量子力学

量子力学中，波函数是描述微观粒子状态的函数，通常是复数形式。波函数的模的平方表示粒子在空间某点出现的概率密度。例如，在一维无限深势阱中，粒子的波函数\(\psi(x)=A\sin(kx)\)（其中\(A\)是归一化常数，\(k\)是波数），通过对波函数的复数运算，可以得到粒子的能量、动量等物理量的概率分布。

流体力学

在二维不可压缩、无旋流体的流动问题中，复变函数可以用来描述流体的流动状态。引入复势函数\(W(z)=\varphi(x,y)+i\psi(x,y)\)，其中\(\varphi(x,y)\)是速度势函数，\(\psi(x,y)\)是流函数。通过对复势函数的研究，可以分析流体的速度分布、流线等流动特性。例如，对于绕圆柱的流动问题，利用复变函数的保角映射方法，可以将复杂的流动区域映射为简单的区域，从而简化问题的求解。