立体几何 08 旋转体：圆柱、圆锥、圆台

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旋转体是由一个平面图形绕着一条定直线旋转所形成的封闭几何体，常见的分类如下：

圆柱

定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

性质

圆柱的两个底面是半径相等的圆，且互相平行。

圆柱的母线都平行且相等，并且母线的长度等于圆柱的高。

圆柱的轴截面是一个矩形，其一边长为底面圆的直径，另一边长为圆柱的高。

应用：在生活和工业中，圆柱形状的物体非常常见，如圆柱形的水杯、管道、电池等。

圆锥

定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。旋转轴叫做圆锥的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥侧面的母线。

性质

圆锥有一个圆形底面和一个顶点。

圆锥的母线都相等，且所有母线相交于顶点。

圆锥的轴截面是一个等腰三角形，其底边长为底面圆的直径，腰长为母线长。

应用：如漏斗、圣诞帽等都是圆锥形状的物体，在建筑设计中也会用到圆锥的造型。

圆台

定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。圆台也可以看作是以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体。

性质

圆台有两个大小不同的圆形底面，且这两个底面互相平行。

圆台的母线都相等，且延长后相交于一点。

圆台的轴截面是一个等腰梯形，其上底和下底分别为圆台上下底面圆的直径，腰长为母线长。

应用：圆台形状常用于制作灯罩、烟囱等。

球

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。半圆的圆心叫做球心；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。

性质

球面上任意一点到球心的距离都等于球的半径。

球的截面是圆，过球心的截面圆叫做大圆，不过球心的截面圆叫做小圆。

应用：在体育领域，足球、篮球等球类都是球体；在天文学中，地球、月球等天体也近似看作球体。

圆柱的定义

以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。旋转轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

高：圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高，圆柱的高有无数条且都相等。

底面半径：圆柱底面圆的半径叫做圆柱的底面半径，通常用字母\(r\)表示。

底面直径：圆柱底面圆的直径叫做圆柱的底面直径，通常用字母\(d\)表示，\(d = 2r\)。

圆柱的分类

直圆柱：母线与底面垂直的圆柱叫做直圆柱。一般提到圆柱，如无特殊说明，通常指直圆柱。

斜圆柱：母线与底面不垂直的圆柱叫做斜圆柱。

圆柱的性质

圆柱的两个底面是完全相同的圆，它们平行且面积相等。

圆柱的侧面展开图是一个矩形，矩形的长等于圆柱底面圆的周长\(C = 2\pi r\)，矩形的宽等于圆柱的高\(h\)。

圆柱的任意一条母线都平行且等于圆柱的高。

圆柱有无数条对称轴，过圆柱轴的平面截圆柱所得的截面是矩形，这个矩形的一组对边是圆柱的两条母线，另一组对边是圆柱两个底面的直径。

圆柱的表面积和体积计算

表面积：圆柱的表面积\(S = 2\pi r^{2}+2\pi rh\)，其中\(2\pi r^{2}\)是两个底面圆的面积，\(2\pi rh\)是侧面矩形的面积。

体积：圆柱的体积\(V=\pi r^{2}h\)，即底面积\(\pi r^{2}\)乘以高\(h\)。

圆锥的定义

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。该直角边叫做圆锥的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，斜边在旋转过程中的任意位置都叫做圆锥侧面的母线。

高：圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高，用字母\(h\)表示。

底面半径：圆锥底面圆的半径叫做圆锥的底面半径，用字母\(r\)表示。

母线：圆锥侧面展开图扇形的半径，用字母\(l\)表示，母线与底面圆周上任意一点的连线都构成圆锥的母线，且所有母线长度相等。

圆锥的性质

圆锥的底面是一个圆，圆锥的轴截面是等腰三角形，这个等腰三角形的腰就是圆锥的母线，底边就是圆锥底面圆的直径。

圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长\(C = 2\pi r\)，扇形的半径等于圆锥的母线长\(l\)。

圆锥的高\(h\)、底面半径\(r\)和母线\(l\)构成一个以母线\(l\)为斜边的直角三角形，满足勾股定理\(l^{2}=h^{2}+r^{2}\)。

圆锥的表面积和体积计算

表面积：圆锥的表面积\(S=\pi r^{2}+\pi rl\)，其中\(\pi r^{2}\)是圆锥的底面积，\(\pi rl\)是圆锥的侧面积。

体积：圆锥的体积\(V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h\)，即三分之一的底面积\(\pi r^{2}\)乘以高\(h\)。

圆台的定义

用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面，圆锥的母线被截得的部分叫做圆台的母线，圆台的母线绕着轴旋转一周所形成的曲面叫做圆台的侧面，圆台的上底面和下底面之间的垂直距离叫做圆台的高。

圆台的性质

圆台的上下底面都是圆，且这两个圆相互平行。

圆台的母线延长后交于一点，该点为截得此圆台的圆锥的顶点。

圆台的侧面展开图是一个扇环。扇环的两条弧长分别为圆台上下底面的周长。

圆台有无数条母线，且所有母线的长度相等。

圆台的表面积公式：

\(S=\pi r_1^2+\pi r_2^2+\pi l(r_1 + r_2)\)，其中\(r_1\)为下底面半径，\(r_2\)为上底面半径，\(l\)为母线长。公式中\(\pi r_1^2\)和\(\pi r_2^2\)分别是下底面和上底面的面积，\(\pi l(r_1 + r_2)\)是侧面扇环的面积。