立体几何 08 三垂线定理、二面角

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斜线的射影定义

设直线\(l\)与平面\(\alpha\)相交但不垂直，称直线\(l\)为平面\(\alpha\)的斜线。斜线与平面的交点叫斜足。

过斜线上斜足以外的一点\(P\)向平面\(\alpha\)引垂线\(PO\)，垂足为\(O\)，则直线\(AO\)叫做斜线\(l\)在平面\(\alpha\)内的射影。

唯一性：一条斜线在一个平面内的射影是唯一确定的。

位置关系：斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成角中最小的角。

角度关系：设斜线\(l\)与平面\(\alpha\)所成的角为\(\theta_1\)，斜线\(l\)与其射影所成的角为\(\theta_2\)，平面\(\alpha\)内的直线\(m\)与射影所成的角为\(\theta_3\)，直线\(m\)与斜线\(l\)所成的角为\(\theta\)，则有\(\cos\theta=\cos\theta_1\cos\theta_3\)。当直线\(m\)与射影垂直时，根据三垂线定理可知\(m\)与斜线\(l\)也垂直，此时\(\theta = 90^{\circ}\)，\(\cos\theta = 0\)，即\(\cos\theta_1\cos\theta_3 = 0\)，因为\(0^{\circ}<\theta_1<90^{\circ}\)，所以\(\cos\theta_1\neq0\)，则\(\cos\theta_3 = 0\)，\(\theta_3 = 90^{\circ}\)，这也说明了射影与平面内和斜线垂直的直线是垂直关系。

三垂线定理

在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

符号语言

已知\(PO\)，\(PA\)分别是平面\(\alpha\)的垂线和斜线，\(AO\)是\(PA\)在平面\(\alpha\)内的射影，\(a\subset\alpha\)，若\(a\perp AO\)，则\(a\perp PA\)。

证明

已知\(PO\perp\)平面\(\alpha\)，\(a\subset\alpha\)，根据线面垂直的性质可得\(PO\perp a\)。

因为\(a\perp AO\)，\(PO\cap AO = O\)，\(PO\)，\(AO\subset\)平面\(POA\)，根据直线与平面垂直的判定定理可知\(a\perp\)平面\(POA\)。

又因为\(PA\subset\)平面\(POA\)，再根据线面垂直的性质，所以\(a\perp PA\)。

逆定理

三垂线定理的逆定理也成立，即：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。

应用

求异面直线所成角：例如在正方体\(ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，求异面直线\(A_{1}C\)与\(BD\)所成的角。因为\(AC\perp BD\)，\(A_{1}A\perp\)平面\(ABCD\)，\(AC\)是\(A_{1}C\)在平面\(ABCD\)内的射影，根据三垂线定理可知\(A_{1}C\perp BD\)，所以异面直线\(A_{1}C\)与\(BD\)所成的角为\(90^{\circ}\)。

证明线面垂直：若要证明直线\(a\)垂直于平面\(\beta\)，可在平面\(\beta\)内找到两条相交直线\(m\)，\(n\)，通过三垂线定理证明\(a\)垂直于\(m\)和\(n\)在平面\(\beta\)内的射影，进而证明\(a\perp\beta\)。

求二面角：在求二面角的大小时，常常利用三垂线定理作出二面角的平面角，再通过解三角形等方法求出平面角的大小，从而得到二面角的大小。

二面角的定义

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。若棱为\(l\)，两个面分别为\(\alpha\)，\(\beta\)，则二面角记为\(\alpha -l-\beta\)。

二面角的平面角

定义：在二面角\(\alpha -l-\beta\)的棱\(l\)上任取一点\(O\)，以点\(O\)为垂足，在半平面\(\alpha\)和\(\beta\)内分别作垂直于棱\(l\)的射线\(OA\)和\(OB\)，则射线\(OA\)和\(OB\)构成的\(\angle AOB\)叫做二面角的平面角。

特点：二面角的平面角的大小与点\(O\)在棱\(l\)上的位置无关，只与二面角的两个面的相对位置有关；二面角的平面角的范围是\([0,\pi]\)。当二面角的平面角为\(0\)时，两个半平面重合；为\(\pi\)时，两个半平面合成一个平面。

求法

定义法：根据二面角平面角的定义，直接在二面角的棱上取一点，分别在两个面内作棱的垂线，得到二面角的平面角，再通过解三角形求出平面角的大小。例如在一个正方体\(ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，求二面角\(A - BD - A_{1}\)的大小，可在棱\(BD\)上取中点\(O\)，连接\(AO\)，\(A_{1}O\)，因为\(AO\perp BD\)，\(A_{1}O\perp BD\)，所以\(\angle AOA_{1}\)就是二面角\(A - BD - A_{1}\)的平面角，然后通过正方体的棱长，利用解三角形的方法求出\(\angle AOA_{1}\)的大小。

三垂线法：利用三垂线定理，过一个平面内一点作另一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连接斜足与该点，得到二面角的平面角。比如在三棱锥\(P - ABC\)中，\(PA\perp\)平面\(ABC\)，\(AB\perp BC\)，求二面角\(P - BC - A\)，可过\(A\)作\(AO\perp BC\)于\(O\)，连接\(PO\)，因为\(PA\perp\)平面\(ABC\)，所以\(PO\perp BC\)，则\(\angle POA\)就是二面角\(P - BC - A\)的平面角。

向量法：建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量\(\overrightarrow{n_{1}}\)，\(\overrightarrow{n_{2}}\)，设二面角为\(\theta\)，则\(\cos\theta=\pm\frac{\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{2}}}{\vert\overrightarrow{n_{1}}\vert\vert\overrightarrow{n_{2}}\vert}\)，根据二面角的实际情况判断\(\theta\)是锐角还是钝角，从而确定\(\cos\theta\)的值。