立体几何 08 三垂线定理

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

斜线的射影定义

设直线\(l\)与平面\(\alpha\)相交但不垂直，称直线\(l\)为平面\(\alpha\)的斜线。斜线与平面的交点叫斜足。

过斜线上斜足以外的一点\(P\)向平面\(\alpha\)引垂线\(PO\)，垂足为\(O\)，则直线\(AO\)叫做斜线\(l\)在平面\(\alpha\)内的射影。

唯一性：一条斜线在一个平面内的射影是唯一确定的。

位置关系：斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成角中最小的角。

角度关系：设斜线\(l\)与平面\(\alpha\)所成的角为\(\theta_1\)，斜线\(l\)与其射影所成的角为\(\theta_2\)，平面\(\alpha\)内的直线\(m\)与射影所成的角为\(\theta_3\)，直线\(m\)与斜线\(l\)所成的角为\(\theta\)，则有\(\cos\theta=\cos\theta_1\cos\theta_3\)。当直线\(m\)与射影垂直时，根据三垂线定理可知\(m\)与斜线\(l\)也垂直，此时\(\theta = 90^{\circ}\)，\(\cos\theta = 0\)，即\(\cos\theta_1\cos\theta_3 = 0\)，因为\(0^{\circ}<\theta_1<90^{\circ}\)，所以\(\cos\theta_1\neq0\)，则\(\cos\theta_3 = 0\)，\(\theta_3 = 90^{\circ}\)，这也说明了射影与平面内和斜线垂直的直线是垂直关系。

三垂线定理

在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

符号语言

已知\(PO\)，\(PA\)分别是平面\(\alpha\)的垂线和斜线，\(AO\)是\(PA\)在平面\(\alpha\)内的射影，\(a\subset\alpha\)，若\(a\perp AO\)，则\(a\perp PA\)。

证明

已知\(PO\perp\)平面\(\alpha\)，\(a\subset\alpha\)，根据线面垂直的性质可得\(PO\perp a\)。

因为\(a\perp AO\)，\(PO\cap AO = O\)，\(PO\)，\(AO\subset\)平面\(POA\)，根据直线与平面垂直的判定定理可知\(a\perp\)平面\(POA\)。

又因为\(PA\subset\)平面\(POA\)，再根据线面垂直的性质，所以\(a\perp PA\)。

逆定理

三垂线定理的逆定理也成立，即：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。

应用

求异面直线所成角：例如在正方体\(ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，求异面直线\(A_{1}C\)与\(BD\)所成的角。因为\(AC\perp BD\)，\(A_{1}A\perp\)平面\(ABCD\)，\(AC\)是\(A_{1}C\)在平面\(ABCD\)内的射影，根据三垂线定理可知\(A_{1}C\perp BD\)，所以异面直线\(A_{1}C\)与\(BD\)所成的角为\(90^{\circ}\)。

证明线面垂直：若要证明直线\(a\)垂直于平面\(\beta\)，可在平面\(\beta\)内找到两条相交直线\(m\)，\(n\)，通过三垂线定理证明\(a\)垂直于\(m\)和\(n\)在平面\(\beta\)内的射影，进而证明\(a\perp\beta\)。

求二面角：在求二面角的大小时，常常利用三垂线定理作出二面角的平面角，再通过解三角形等方法求出平面角的大小，从而得到二面角的大小。