立体几何 08 球、半球、球冠、球缺、球带

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一、球

球的定义

在空间中到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做球。这个定点称为球心，定长称为球的半径。

用一个平面去截一个球，截面是圆面。

球的截面有以下性质：

球心和截面圆心的连线垂直于截面。

球心到截面的距离 $d$ 与球的半径 $R$ 及截面的半径 $r$ 有下面的关系： $r=\sqrt{R^{2}-d^{2}}$ 。

直径：通过球心并且两端都在球面上的线段叫做球的直径，直径的长度是半径的 $2$ 倍，通常用 $D$ 表示， $D = 2R$ 。

大圆：平面过球心与球面相截所得的圆叫做大圆，大圆的半径等于球的半径，球面上任意两点间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离。

小圆：平面不过球心与球面相截所得的圆叫做小圆，小圆的半径小于球的半径。

球的性质

球是一个完全对称的几何体，它关于球心对称，关于任意过球心的平面也对称。

球的任意一条直径都可以将球分成两个完全相同的半球。

球面上任意一点到球心的距离都相等，都等于球的半径。

球的表面积和体积计算

表面积：球的表面积公式为 $S = 4\pi R^{2}$ ，其中 $R$ 为球的半径，该公式表明球的表面积与半径的平方成正比。

体积：球的体积公式为 $V=\frac{4}{3}\pi R^{3}$ ，即四分之三乘以 $\pi$ 再乘以半径的立方。

二、半球

半球的定义

用一个平面去截一个球，将球分成完全相同的两部分，其中的每一部分就叫做半球。这个平面过球心，截得的圆面叫做半球的底面。

半球的半径：半球的半径与原球的半径相等，用 $R$ 表示，即球心到半球表面上任意一点的距离。

半球的底面圆：半球的底面是一个圆，其半径也为 $R$ ，圆心就是球心。

半球的性质

半球是一个半对称的几何体，它关于截得它的平面（即底面所在平面）对称。

半球的曲面部分（球面的一半）上任意一点到球心的距离都等于半径 $R$ 。

半球的表面积和体积计算

表面积：半球的表面积由两部分组成，即半球的曲面面积和底面圆的面积。

半球的曲面面积是整个球表面积的一半，根据球的表面积公式 $S_{球}=4\pi R^{2}$ ，可得半球的曲面面积 $S_{曲}=\frac{1}{2}\times4\pi R^{2}=2\pi R^{2}$ 。

底面圆的面积 $S_{底}=\pi R^{2}$ 。

所以半球的表面积 $S = 2\pi R^{2}+\pi R^{2}=3\pi R^{2}$ 。

半球的体积：半球的体积是整个球体积的一半，由球的体积公式 $V_{球}=\frac{4}{3}\pi R^{3}$ ，可得半球的体积 $V=\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{2}{3}\pi R^{3}$ 。

三、球冠

球冠的定义：球冠是指一个球面被平面所截后剩下的曲面部分。

截得的圆面是球冠的底面，垂直于截面的直径被截得的部分是球冠的高。

球冠也可以看作是一段圆弧绕经过它的一个端点的直径旋转所成的曲面。

面积公式： $S = 2\pi Rh$ ，其中 $S$ 为球冠面积， $R$ 为球的半径， $h$ 为球冠的高。

特殊情况：当 $h = R$ 时，球冠就变成了半球的曲面部分，此时球冠面积为 $2\pi R^{2}$ 。

四、球缺

球缺的定义：球缺是指一个球被平面截下的一部分，它是由球冠和球冠底面所围成的几何体。

截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的部分叫做球缺的高。

球缺的体积公式： $V=\frac{1}{3}\pi h^{2}(3R - h)$ ，其中 $V$ 为球缺体积， $R$ 为球的半径， $h$ 为球缺的高。

球缺的表面积公式： $S=\pi(4Rh - h^{2})$ ，其中 $S$ 为球缺表面积，包括球冠部分的面积和底面圆的面积。

五、球带

球带的定义：球带是指球面夹在两个平行截面之间的部分，这两个平行截面间的距离叫做球带的高。

球带的面积公式： $S = 2\pi Rh$ ，其中 $S$ 为球带面积， $R$ 为球的半径， $h$ 为球带的高。

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