初中数学 11 一元三次、四次、五次方程

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1. 一元三次方程的解法

卡尔丹公式法（针对特殊形式\(x^{3}+px + q = 0\)）

首先计算判别式\(\Delta = (\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}\)。

当\(\Delta>0\)时，方程有一个实根和一对共轭虚根。实根为\(x = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\Delta}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\Delta}}\)。

当\(\Delta = 0\)时，方程有三个实根，其中一个是两重根。此时\(x_1 = 2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}}\)，\(x_2 = x_3=-\sqrt[3]{-\frac{q}{2}}\)。

当\(\Delta<0\)时，方程有三个不相等的实根，可通过三角函数来表示这些根。

盛金公式法（针对一般形式\(ax^{3}+bx^{2}+cx + d = 0\)）

首先计算判别式：\(A = b^{2}-3ac\)，\(B = bc - 9ad\)，\(C = c^{2}-3bd\)，\(\Delta = B^{2}-4AC\)。

当\(\Delta>0\)时，方程有一个实根和一对共轭虚根，可通过盛金公式计算实根\(x_1=\frac{-b - \sqrt[3]{Y_1}-\sqrt[3]{Y_2}}{3a}\)（其中\(Y_1\)和\(Y_2\)是根据\(A\)、\(B\)、\(C\)计算得到的复杂表达式）。

当\(\Delta = 0\)时，方程有三个实根，其中有一个两重根，具体公式为\(x_1 = \frac{-b}{3a}\)，\(x_2 = x_3=\frac{-b\pm\sqrt{B - \frac{8A^3}{27}}}{3a}\)（当\(B\neq\frac{8A^3}{27}\)时），当\(B = \frac{8A^3}{27}\)时，\(x_1 = x_2 = x_3=\frac{-b}{3a}\)。

当\(\Delta<0\)时，方程有三个不等实根，通过另外的盛金公式来计算。

因式分解法

尝试找出方程的一个根\(x = k\)，通常可以通过试根法，比如\(\pm1\)，\(\pm2\)等简单数字。

当找到一个根\(k\)后，利用多项式除法，将原三次方程\(ax^{3}+bx^{2}+cx + d = 0\)除以\((x - k)\)，得到一个二次方程\(mx^{2}+nx + p = 0\)。

然后通过求解二次方程来得到另外两个根，二次方程的求根公式为\(x=\frac{-n\pm\sqrt{n^{2}-4mp}}{2m}\)。

换元法（以\(ax^{3}+bx^{2}+cx + d = 0\)为例）

令\(x = y-\frac{b}{3a}\)，代入原方程，将其化为\(y^{3}+py + q = 0\)的形式，其中\(p\)和\(q\)是关于\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)的表达式。

然后按照针对特殊形式三次方程的方法来求解\(y\)，最后再将\(y\)的值代回\(x = y-\frac{b}{3a}\)求出\(x\)。

2. 一元三次方程的韦达定理

对于一元三次方程\(ax^{3}+bx^{2}+cx + d = 0\)（\(a\neq0\)），设其三个根为\(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\)。

则有\(x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}\)，\(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3=\frac{c}{a}\)，\(x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}\)。

例如，对于方程\(x^{3}-6x^{2}+11x - 6 = 0\)，设其根为\(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\)，根据韦达定理可得\(x_1 + x_2 + x_3 = 6\)，\(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = 11\)，\(x_1x_2x_3 = 6\)。通过试根法可以发现\(x = 1\)是方程的一个根，然后利用多项式除法将方程化为\((x - 1)(x^{2}-5x + 6)=0\)，进一步求解得到另外两个根\(x = 2\)和\(x = 3\)，可以验证这些根满足韦达定理。

应用

1. 一元三次方程求解（因式分解法）

例题1：解方程\(x^{3}-4x^{2}+x + 6 = 0\)。

首先尝试试根，当\(x = -1\)时，\((-1)^{3}-4\times(-1)^{2}+(-1)+6=-1 - 4 - 1+6 = 0\)，所以\(x = -1\)是方程的一个根。

然后利用多项式除法，将\(x^{3}-4x^{2}+x + 6\)除以\((x + 1)\)，得到\(x^{2}-5x + 6\)。

再解方程\(x^{2}-5x + 6 = 0\)，分解因式得\((x - 2)(x - 3)=0\)，解得\(x = 2\)或\(x = 3\)。

所以方程的根为\(x=-1\)，\(x = 2\)，\(x = 3\)。

2. 一元三次方程求解（卡尔丹公式法）

例题2：解方程\(x^{3}-3x - 2 = 0\)。

对于方程\(x^{3}-3x - 2 = 0\)，这里\(p=-3\)，\(q=-2\)。

计算判别式\(\Delta = (\frac{-2}{2})^{2}+(\frac{-3}{3})^{3}=1 - 1 = 0\)。

当\(\Delta = 0\)时，方程有三个实根，其中一个是两重根。此时\(x_1 = 2\sqrt[3]{-\frac{-2}{2}} = 2\)，\(x_2 = x_3=-\sqrt[3]{-\frac{-2}{2}}=-1\)。

3. 一元三次方程求解（盛金公式法）

例题3：解方程\(2x^{3}-4x^{2}-3x + 3 = 0\)。

首先计算判别式：\(a = 2\)，\(b=-4\)，\(c=-3\)，\(d = 3\)。

\(A=b^{2}-3ac=(-4)^{2}-3\times2\times(-3)=16 + 18 = 34\)。

\(B = bc - 9ad=(-4)\times(-3)-9\times2\times3=12 - 54=-42\)。

\(C=c^{2}-3bd=(-3)^{2}-3\times(-4)\times3=9 + 36 = 45\)。

\(\Delta = B^{2}-4AC=(-42)^{2}-4\times34\times45=1764 - 6120=-4356<0\)。

当\(\Delta<0\)时，利用盛金公式来计算三个不等实根（具体计算过程略，因为公式较复杂）。

4. 一元三次方程韦达定理（已知方程求根的关系）

例题4：已知方程\(x^{3}-6x^{2}+11x - 6 = 0\)，设其根为\(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\)，求\(x_1 + x_2 + x_3\)，\(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3\)，\(x_1x_2x_3\)的值。

根据韦达定理，对于方程\(ax^{3}+bx^{2}+cx + d = 0\)（\(a = 1\)，\(b=-6\)，\(c = 11\)，\(d=-6\)）。

\(x_1 + x_2 + x_3=-\frac{b}{a}=6\)，\(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3=\frac{c}{a}=11\)，\(x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}=6\)。

5. 一元三次方程韦达定理（已知根的关系求方程）

例题5：已知一元三次方程的三个根为\(1\)、\(2\)、\(-3\)，求这个方程。

根据韦达定理，\(x_1 + x_2 + x_3=1 + 2-3 = 0\)，\(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3=(1\times2)+(1\times(-3))+(2\times(-3))=-7\)，\(x_1x_2x_3=1\times2\times(-3)= - 6\)。

所以方程为\(x^{3}-0x^{2}-7x + 6 = 0\)，即\(x^{3}-7x + 6 = 0\)。

6. 换元法求解一元三次方程

例题6：解方程\(x^{3}+3x^{2}+3x - 1 = 0\)。

令\(x = y - \frac{3}{3}=y - 1\)，代入原方程得\((y - 1)^{3}+3(y - 1)^{2}+3(y - 1)-1 = 0\)。

展开并化简得\(y^{3}-3y^{2}+3y - 1+3(y^{2}-2y + 1)+3y - 3 - 1 = 0\)，即\(y^{3}-1 = 0\)。

解得\(y = 1\)，将\(y = 1\)代回\(x = y - 1\)，得\(x = 0\)。

7. 综合应用（方程与函数）

例题7：函数\(y = x^{3}-3x^{2}-9x + 5\)，求函数的零点。

令\(y = 0\)，即\(x^{3}-3x^{2}-9x + 5 = 0\)。

通过试根法，发现\(x = 5\)是一个根。

然后用多项式除法将\(x^{3}-3x^{2}-9x + 5\)除以\((x - 5)\)得到\(x^{2}+2x - 1\)。

再解方程\(x^{2}+2x - 1 = 0\)，根据求根公式\(x=\frac{-2\pm\sqrt{4 + 4}}{2}=-1\pm\sqrt{2}\)。

所以函数的零点为\(x = 5\)，\(x=-1+\sqrt{2}\)，\(x=-1-\sqrt{2}\)。

8. 综合应用（方程与几何）

例题8：已知一个长方体的体积是\(x^{3}-2x^{2}-15x\)，长是\(x\)，宽是\((x - 5)\)，求高。

设高为\(h\)，根据长方体体积公式\(V =长\times宽\times高\)，则\(x^{3}-2x^{2}-15x=x\times(x - 5)\times h\)。

化简得\(h=\frac{x^{3}-2x^{2}-15x}{x(x - 5)}=\frac{x(x^{2}-2x - 15)}{x(x - 5)}=\frac{(x - 5)(x + 3)}{(x - 5)}=x + 3\)，所以高为\(x + 3\)。

9. 一元三次方程在实际问题中的应用（物理）

例题9：在一个物理实验中，物体的位移\(s\)与时间\(t\)的关系满足方程\(s = t^{3}-6t^{2}+9t\)，求物体静止的时刻。

物体静止时速度为\(0\)，速度\(v = s^\prime\)（\(s^\prime\)是\(s\)对\(t\)的导数）。

对\(s = t^{3}-6t^{2}+9t\)求导得\(v = 3t^{2}-12t + 9\)。

令\(v = 0\)，即\(3t^{2}-12t + 9 = 0\)，化简为\(t^{2}-4t + 3 = 0\)，分解因式得\((t - 1)(t - 3)=0\)，解得\(t = 1\)或\(t = 3\)，所以物体在\(t = 1\)秒和\(t = 3\)秒时静止。

10. 一元三次方程在实际问题中的应用（经济）

例题10：某产品的利润\(P\)与产量\(x\)之间的关系为\(P = x^{3}-10x^{2}+33x - 36\)，求利润为\(0\)时的产量。

令\(P = 0\)，即\(x^{3}-10x^{2}+33x - 36 = 0\)。

通过试根法，发现\(x = 4\)是一个根。

用多项式除法将\(x^{3}-10x^{2}+33x - 36\)除以\((x - 4)\)得到\(x^{2}-6x + 9\)。

再解方程\(x^{2}-6x + 9 = 0\)，即\((x - 3)^{2}=0\)，解得\(x = 3\)或\(x = 4\)，所以当产量为\(3\)或\(4\)时利润为\(0\)。

一元四次方程的解法1：费拉里解法

步骤一：将方程化为标准形式并配方

一元四次方程的一般形式为\(ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx + e = 0\)（\(a\neq0\)）。

先将其化为\(x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx + e = 0\)（当\(a\neq1\)时，方程两边同时除以\(a\)）。

令\(x = y-\frac{b}{4}\)（这一步的目的是消去三次项），代入方程后得到\(y^{4}+py^{2}+qy + r = 0\)的形式（\(p\)、\(q\)、\(r\)是关于\(b\)、\(c\)、\(d\)、\(e\)的表达式）。

再在方程两边加上\(zy^{2}+z^{2}\)（\(z\)是一个待定的参数），得到\((y^{2}+z)^{2}+(p - 2z)y^{2}+qy + r + z^{2}=0\)。

步骤二：选择合适的\(z\)使方程右边成为完全平方式

对于\((p - 2z)y^{2}+qy + r + z^{2}\)，其判别式\(\Delta = q^{2}-4(p - 2z)(r + z^{2})\)。令\(\Delta = 0\)，这是一个关于\(z\)的三次方程，可以用一元三次方程的解法（如卡尔丹公式或盛金公式）来求解\(z\)。

步骤三：将方程化为两个二次方程求解

当求出\(z\)后，\((y^{2}+z)^{2}+(p - 2z)y^{2}+qy + r + z^{2}=0\)可以写成\((y^{2}+z + m\sqrt{(p - 2z)}y + n)(y^{2}+z - m\sqrt{(p - 2z)}y + n)=0\)（\(m\)、\(n\)是根据配方后的系数确定的常数），这样就得到了两个二次方程，可以用二次方程的求根公式来求解\(y\)，最后将\(y\)的值代回\(x = y-\frac{b}{4}\)求出\(x\)。

一元四次方程的解法2：笛卡尔解法（降次法）

步骤一：将方程化为标准形式并进行变量代换

同样先将一元四次方程化为\(x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx + e = 0\)（\(a = 1\)的情况）。

设\(x = u + v\)，代入方程后得到\((u + v)^{4}+b(u + v)^{3}+c(u + v)^{2}+d(u + v)+e = 0\)。

展开并整理得\(u^{4}+4u^{3}v + 6u^{2}v^{2}+4uv^{3}+v^{4}+b(u^{3}+3u^{2}v + 3uv^{2}+v^{3})+c(u^{2}+2uv + v^{2})+d(u + v)+e = 0\)。

令\(uv = -\frac{b}{4}\)，则\(v = -\frac{b}{4u}\)，代入上式消去\(v\)，得到一个关于\(u^{2}\)的二次方程。

步骤二：求解关于\(u^{2}\)的二次方程并得到\(u\)的值

利用二次方程求根公式求解关于\(u^{2}\)的二次方程，得到\(u^{2}\)的值，进而求出\(u\)的值（注意\(u\)有两个值）。

步骤三：根据\(uv = -\frac{b}{4}\)求出\(v\)的值，进而得到\(x = u + v\)的值

把\(u\)的值代入\(uv = -\frac{b}{4}\)求出\(v\)的值，然后计算\(x = u + v\)，得到方程的根。

一元四次方程的韦达定理

对于一元四次方程\(ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx + e = 0\)（\(a\neq0\)），设其四个根为\(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\)、\(x_4\)。

则有\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4=-\frac{b}{a}\)，\(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 + x_1x_4 + x_2x_4 + x_3x_4=\frac{c}{a}\)，\(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4=-\frac{d}{a}\)，\(x_1x_2x_3x_4=\frac{e}{a}\)。

例如，对于方程\(x^{4}-2x^{3}-5x^{2}+8x + 4 = 0\)，设其根为\(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\)、\(x_4\)，根据韦达定理可得\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 2\)，\(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 + x_1x_4 + x_2x_4 + x_3x_4=-5\)，\(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4=-8\)，\(x_1x_2x_3x_4 = 4\)。这些关系可以用于在已知方程的根的情况下求出方程的系数，或者在已知方程系数的情况下对根的一些组合性质进行分析。

1. 一元四次方程求解（费拉里解法）

例题1：解方程\(x^{4}-2x^{2}+8x - 3 = 0\)

令\(y = x\)（这里三次项系数为\(0\)，无需消去三次项这一步），方程已经是\(y^{4}-2y^{2}+8y - 3 = 0\)的形式。

两边加上\(zy^{2}+z^{2}\)得到\((y^{2}+z)^{2}+(- 2 - 2z)y^{2}+8y - 3 + z^{2}=0\)。

令判别式\(\Delta = 8^{2}-4(-2 - 2z)(-3 + z^{2}) = 0\)，展开得\(64 - 4(6 - 2z^{2}- 6z + 2z^{3}) = 0\)，即\(64 - 24 + 8z^{2}+ 24z - 8z^{3}=0\)，进一步整理为\(z^{3}-z^{2}- 3z - 5 = 0\)。

通过试根法发现\(z = -1\)是这个三次方程的一个根，用多项式除法得到\((z + 1)(z^{2}-2z - 5)=0\)，解得\(z=-1\)或\(z = 1\pm\sqrt{6}\)。

当\(z=-1\)时，原方程变为\((y^{2}-1)^{2}+(-2 + 2)y^{2}+8y - 3 + 1 = 0\)，即\((y^{2}-1)^{2}+8y - 2 = 0\)，展开得\(y^{4}-2y^{2}+1 + 8y - 2 = 0\)，即\(y^{4}-2y^{2}+8y - 1 = 0\)。

设\((y^{2}-1 + my + n)(y^{2}-1 - my + n)=0\)，通过比较系数求解\(m\)和\(n\)，进而求解\(y\)，最后得到\(x\)的值（过程较复杂，此处省略部分计算）。

2. 一元四次方程求解（笛卡尔解法）

例题2：解方程\(x^{4}+2x^{3}-3x^{2}-4x + 4 = 0\)

设\(x = u + v\)，代入方程得\((u + v)^{4}+2(u + v)^{3}-3(u + v)^{2}-4(u + v)+4 = 0\)。

展开并整理得\(u^{4}+4u^{3}v + 6u^{2}v^{2}+4uv^{3}+v^{4}+2(u^{3}+3u^{2}v + 3uv^{2}+v^{3})-3(u^{2}+2uv + v^{2})-4(u + v)+4 = 0\)。

令\(uv = -\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}\)，则\(v = -\frac{1}{2u}\)，代入上式消去\(v\)，得到一个关于\(u^{2}\)的二次方程（具体过程省略，因为展开式子很长）。

求解关于\(u^{2}\)的二次方程，得到\(u^{2}\)的值，再求出\(u\)的值，根据\(uv = -\frac{1}{2}\)求出\(v\)的值，最后得到\(x = u + v\)的值。

3. 一元四次方程韦达定理（已知方程求根的关系）

例题3：已知方程\(x^{4}-4x^{3}+3x^{2}+4x - 4 = 0\)，设其根为\(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\)、\(x_4\)，求\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4\)，\(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 + x_1x_4 + x_2x_4 + x_3x_4\)，\(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4\)和\(x_1x_2x_3x_4\)的值。

根据韦达定理，对于方程\(ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx + e = 0\)（这里\(a = 1\)，\(b=-4\)，\(c = 3\)，\(d = 4\)，\(e=-4\)）。

可得\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4=-\frac{b}{a}=4\)，\(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 + x_1x_4 + x_2x_4 + x_3x_4=\frac{c}{a}=3\)，\(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4=-\frac{d}{a}=-4\)，\(x_1x_2x_3x_4=\frac{e}{a}=-4\)。

4. 一元四次方程韦达定理（已知根的关系求方程）

例题4：已知一元四次方程的四个根为\(1\)、\(-1\)、\(2\)、\(-2\)，求这个方程。

根据韦达定理，\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4=1 - 1+2 - 2 = 0\)，\(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 + x_1x_4 + x_2x_4 + x_3x_4=(1\times(-1))+(1\times2)+(1\times(-2))+((-1)\times2)+((-1)\times(-2))+(2\times(-2))=-3\)，\(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4=(1\times(-1)\times2)+(1\times(-1)\times(-2))+(1\times2\times(-2))+((-1)\times2\times(-2))=-4\)，\(x_1x_2x_3x_4=1\times(-1)\times2\times(-2)=4\)。

所以方程为\(x^{4}-0x^{3}-3x^{2}-4x + 4 = 0\)，即\(x^{4}-3x^{2}-4x + 4 = 0\)。

5. 综合应用（方程与函数）

例题5：函数\(y = x^{4}-2x^{3}-x^{2}+2x\)，求函数的零点。

令\(y = 0\)，即\(x^{4}-2x^{3}-x^{2}+2x = 0\)，提取公因式\(x\)得\(x(x^{3}-2x^{2}-x + 2)=0\)。

对于\(x^{3}-2x^{2}-x + 2\)，通过试根法发现\(x = 1\)是一个根，用多项式除法得到\((x - 1)(x^{2}-x - 2)=0\)，进一步分解得\((x - 1)(x - 2)(x + 1)=0\)。

再加上\(x = 0\)这个根，所以函数的零点为\(x = 0\)，\(x = 1\)，\(x = 2\)，\(x=-1\)。

6. 综合应用（方程与几何）

例题6：已知一个长方体的体积是\(x^{4}-4x^{3}+6x^{2}-4x + 1\)，长是\(x - 1\)，宽是\(x - 1\)，求高。

设高为\(h\)，根据长方体体积公式\(V =长\times宽\times高\)，则\((x - 1)(x - 1)h=x^{4}-4x^{3}+6x^{2}-4x + 1\)。

化简得\(h=\frac{x^{4}-4x^{3}+6x^{2}-4x + 1}{(x - 1)^{2}}\)，对分子进行变形\((x - 1)^{4}=x^{4}-4x^{3}+6x^{2}-4x + 1\)，所以\(h=(x - 1)^{2}\)。

7. 一元四次方程在实际问题中的应用（物理）

例题7：在一个物理实验中，物体的位移\(s\)与时间\(t\)的关系满足方程\(s = t^{4}-3t^{3}+2t^{2}+t - 1\)，求物体速度为\(0\)时的时刻。

物体速度\(v = s^\prime\)（\(s^\prime\)是\(s\)对\(t\)的导数），对\(s = t^{4}-3t^{3}+2t^{2}+t - 1\)求导得\(v = 4t^{3}-9t^{2}+4t + 1\)。

令\(v = 0\)，即\(4t^{3}-9t^{2}+4t + 1 = 0\)，这是一个一元三次方程（可以用一元三次方程的解法求解），假设解得\(t_1\)、\(t_2\)、\(t_3\)为其根，则物体在\(t = t_1\)、\(t = t_2\)、\(t = t_3\)时速度为\(0\)。

8. 一元四次方程在实际问题中的应用（经济）

例题8：某产品的利润\(P\)与产量\(x\)之间的关系为\(P = x^{4}-5x^{3}+9x^{2}-7x + 2\)，求利润为\(0\)时的产量。

令\(P = 0\)，即\(x^{4}-5x^{3}+9x^{2}-7x + 2 = 0\)。通过试根法，假设发现\(x = 1\)是一个根，用多项式除法得到\((x - 1)(x^{3}-4x^{2}+5x - 2)=0\)。

对于\(x^{3}-4x^{2}+5x - 2\)，再通过试根法等方法求解（过程可能较复杂），最终得到利润为\(0\)时的产量。

9. 利用一元四次方程的性质解题

例题9：已知一元四次方程\(ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx + e = 0\)（\(a\neq0\)）的四个根成等差数列，设公差为\(d\)，首项为\(x_1\)，用\(a\)、\(b\)、\(d\)表示\(x_1\)。

根据韦达定理\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4=-\frac{b}{a}\)，因为四个根成等差数列，所以\(x_2=x_1 + d\)，\(x_3=x_1 + 2d\)，\(x_4=x_1 + 3d\)。

代入韦达定理式子得\(4x_1 + 6d=-\frac{b}{a}\)，再结合其他韦达定理的式子，通过联立方程求解出\(x_1\)（过程中需要用到其他根与系数的关系来消去\(d\)等变量）。

10. 比较不同解法的例题

例题10：解方程\(x^{4}-6x^{2}+8x - 3 = 0\)

分别用费拉里解法和笛卡尔解法求解这个方程。

（1）费拉里解法：先按步骤配方，找到合适的\(z\)使方程右边成为完全平方式，然后化为两个二次方程求解。

（2）笛卡尔解法：设\(x = u + v\)，代入方程，令\(uv = -\frac{b}{4}\)（这里\(b = 0\)），消去\(v\)得到关于\(u^{2}\)的二次方程，再求解\(u\)、\(v\)，进而得到\(x\)的值。通过比较两种解法的步骤、计算量等方面来加深对两种解法的理解。

1. 一元五次方程的基本形式

一元五次方程的一般形式为\(ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex + f = 0\)（\(a\neq0\)）。

2. 阿贝尔 - 鲁菲尼定理

19世纪初，阿贝尔和鲁菲尼证明了一般的一元五次方程没有根式解。

一般的一个代数方程，如果方程的次数n≥5 ，那么此方程不可能用根式求解。即不存在根式表达的一般五次方程求根公式。

也就是说，不存在像一元二次方程的求根公式（\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)）、一元三次方程的卡尔丹公式和一元四次方程的费拉里解法那样，仅用方程系数的有限次加、减、乘、除和开方运算来表示方程的根的通用公式。

3. 特殊情况下的求解方法

可因式分解的情况：如果一元五次方程可以进行因式分解，例如\(x^{5}-1=(x - 1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1)\)，可以先找到一个根（如\(x = 1\)），然后对于剩下的四次方程（\(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1\)），再尝试用四次方程的解法来求解（不过这种四次方程可能也很难求解）。

利用数值方法求解：

牛顿迭代法：假设要解方程\(f(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex + f = 0\)。首先猜测一个初始值\(x_0\)，然后根据迭代公式\(x_{n + 1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^\prime(x_n)}\)进行迭代。其中\(f^\prime(x)\)是\(f(x)\)的导数，对于\(f(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex + f\)，\(f^\prime(x)=5ax^{4}+4bx^{3}+3cx^{2}+2dx + e\)。通过多次迭代，当\(\vert x_{n + 1}-x_n\vert\)小于一个给定的误差值时，\(x_{n + 1}\)就可以作为方程的近似解。

二分法：如果能确定方程\(f(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex + f = 0\)在区间\([a,b]\)内有一个根（例如\(f(a)\)和\(f(b)\)异号），则可以计算区间的中点\(c=\frac{a + b}{2}\)，判断\(f(c)\)与\(f(a)\)或\(f(b)\)的符号关系，然后不断缩小包含根的区间，直到区间长度小于给定的误差值，此时区间中点就可以作为方程的近似根。