直线方程

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直线是平面解析几何的基础图形，其核心内容包括：用代数方程描述直线（直线方程）、用含参数方程表示一簇直线（直线系方程）、通过方程分析直线间的几何关系（位置关系）。三者紧密关联，直线方程是基础，直线系方程是简化解题的工具，位置关系是核心应用。

直线的核心内容可归纳为“一个基础（直线方程）、一个工具（直线系方程）、一个应用（位置关系）”，解题需把握以下要点：

1. 直线方程选择：根据已知条件（定点、斜率、两点、截距）选最优形式，优先用点斜式（已知定点和斜率）、两点式（已知两点），最终统一为一般式分析位置关系；

2. 直线系方程应用：明确直线系的共同特征（过定点、平行、过交点），设含参数方程，代入附加条件求参数，避免重复计算（如过两直线交点无需先求交点）；

3. 位置关系判定：平行用“系数成比例且常数项不成比例”，垂直用“系数乘积和为0”，相交联立方程求交点，夹角用正切公式计算。

一、直线方程：描述直线的代数形式

直线方程的本质是“平面内直线上所有点\((x,y)\)满足的代数关系式”，不同形式对应不同已知条件，需根据条件选择最优形式，再通过代数变形统一为通用的一般式。

1. 直线的斜率：位置关系的核心参数

定义与几何意义

设直线上两点\(P_1(x_1,y_1)\)、\(P_2(x_2,y_2)\)，若\(x_1 \neq x_2\)，则直线的斜率\(k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)；若\(x_1 = x_2\)，斜率不存在（直线垂直于x轴）；若\(y_1 = y_2\)，斜率\(k = 0\)（直线平行于x轴）。

斜率与倾斜角\(\alpha\)（直线与x轴正方向的夹角，\(0 \leq \alpha < \pi\)）的关系为\(k = \tan\alpha\)，其几何意义是“直线的倾斜程度”：

\(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\)（锐角倾斜）：\(k > 0\)，\(\alpha\)越大，\(k\)越大；

\(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\)（钝角倾斜）：\(k < 0\)，\(\alpha\)越大，\(k\)越接近0。

2. 直线方程的六种核心形式

（1）点斜式

适用条件：已知直线过定点\((x_0,y_0)\)及斜率\(k\)（斜率存在）；

方程形式：\(y - y_0 = k(x - x_0)\)；

注意：斜率不存在时（垂直于x轴的直线），方程需单独表示为\(x = x_0\)。

（2）斜截式

适用条件：已知直线斜率\(k\)及y轴截距\(b\)（斜率存在）；

方程形式：\(y = kx + b\)；

说明：\(b\)是直线与y轴交点\((0,b)\)的纵坐标，是点斜式中\((x_0,y_0)=(0,b)\)的特殊情况。

（3）两点式

适用条件：已知直线过两点\((x_1,y_1)\)、\((x_2,y_2)\)（\(x_1 \neq x_2\)且\(y_1 \neq y_2\)）；

方程形式：\(\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}\)；

注意：若\(x_1 = x_2\)，方程为\(x = x_1\)（垂直x轴）；若\(y_1 = y_2\)，方程为\(y = y_1\)（平行x轴）。

（4）截距式

适用条件：已知直线在x轴截距\(a\)、y轴截距\(b\)（\(a \neq 0, b \neq 0\)，直线不过原点且不垂直/平行于坐标轴）；

方程形式：\(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)；

说明：\(a\)是直线与x轴交点\((a,0)\)的横坐标，\(b\)是与y轴交点\((0,b)\)的纵坐标。

（5）一般式

适用条件：所有直线通用（无限制）；

方程形式：\(Ax + By + C = 0\)（\(A,B\)不同时为0）；

关键性质：

斜率\(k = -\frac{A}{B}\)（\(B \neq 0\)），\(B = 0\)时斜率不存在；

x轴截距\(a = -\frac{C}{A}\)（\(A \neq 0\)），y轴截距\(b = -\frac{C}{B}\)（\(B \neq 0\)）。

（6）特殊直线方程

垂直于x轴的直线：\(x = x_0\)（所有点横坐标为\(x_0\)，斜率不存在）；

平行于x轴的直线：\(y = y_0\)（所有点纵坐标为\(y_0\)，斜率为0）。

3. 直线方程的转化逻辑

所有形式均可转化为一般式，转化步骤如下：

点斜式/斜截式：展开整理为\(Ax + By + C = 0\)（如\(y = kx + b\)转化为\(kx - y + b = 0\)）；

两点式/截距式：交叉相乘后整理（如\(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)转化为\(bx + ay - ab = 0\)）；

特殊直线：直接改写（如\(x = x_0\)转化为\(x - x_0 = 0\)）。

二、直线系方程：含参数的“直线簇”

直线系方程是“含一个（或多个）参数的直线方程”，参数取不同值时对应不同直线，但所有直线均满足某一共同几何条件（如过定点、平行于某直线、过两直线交点）。其核心优势是“避免重复求多条直线方程，通过参数统一表示”。

1. 三类核心直线系方程

（1）过定点的直线系

形式1（斜率存在时）：过定点\((x_0,y_0)\)，方程为\(y - y_0 = k(x - x_0)\)（\(k\)为参数）；

说明：覆盖过\((x_0,y_0)\)的所有非垂直直线，垂直直线需单独补充\(x = x_0\)。

形式2（通用无遗漏）：过定点\((x_0,y_0)\)，方程为\(A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0\)（\(A,B\)为不同时为0的参数）；

说明：\(A=0\)时为\(y = y_0\)（水平直线），\(B=0\)时为\(x = x_0\)（垂直直线），无需区分斜率。

（2）平行于某定直线的直线系

设定直线\(l: Ax + By + C = 0\)（\(A,B\)不同时为0），平行于\(l\)的直线满足“x、y系数与\(l\)成比例，常数项不同”，方程为：

\(Ax + By + \lambda = 0\)（\(\lambda\)为参数，\(\lambda \neq C\)）；

说明：\(\lambda = C\)时即为定直线\(l\)，故排除；若\(B=0\)，直线平行于y轴；若\(A=0\)，直线平行于x轴。

（3）过两定直线交点的直线系

设两相交直线\(l_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0\)、\(l_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0\)（相交条件：\(A_1B_2 - A_2B_1 \neq 0\)），过它们交点的所有直线方程为：

\(A_1x + B_1y + C_1 + \lambda(A_2x + B_2y + C_2) = 0\)（\(\lambda\)为参数）；

关键说明：

该方程不包含直线\(l_2\)（若需包含\(l_2\)，可将方程改为\(\lambda(A_1x + B_1y + C_1) + A_2x + B_2y + C_2 = 0\)）；

无需先求交点坐标，直接代入附加条件（如过某点、垂直某直线）即可求参数\(\lambda\)，大幅简化计算。

三、直线的位置关系：平行、垂直、相交（含交点）

平面内两条直线的位置关系仅有三种：平行（无交点）、垂直（相交的特殊情况）、相交（有唯一交点）。判定方法基于直线的斜率或一般式系数，核心是“代数条件与几何关系的对应”。

1. 位置关系的判定（设两条直线）

设直线\(l_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0\)（斜率\(k_1 = -\frac{A_1}{B_1}\)，\(B_1 \neq 0\)），直线\(l_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0\)（斜率\(k_2 = -\frac{A_2}{B_2}\)，\(B_2 \neq 0\)）。

（1）平行（无交点）

代数条件：

1. 斜率存在且相等，截距不等：\(k_1 = k_2\)且\(b_1 \neq b_2\)（斜截式视角）；

2. 一般式系数成比例，常数项不成比例：\(\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}\)（\(A_2,B_2 \neq 0\)）；

特殊情况：若两条直线均垂直于x轴（斜率不存在），则\(l_1: x = x_1\)，\(l_2: x = x_2\)，当\(x_1 \neq x_2\)时平行。

（2）垂直（相交且夹角为90°）

代数条件：

1. 斜率均存在：\(k_1 \cdot k_2 = -1\)（斜截式视角）；

2. 一般式系数满足：\(A_1A_2 + B_1B_2 = 0\)（通用视角，无需考虑斜率是否存在）；

特殊情况：一条直线垂直于x轴（斜率不存在，\(l_1: x = x_1\)），另一条直线平行于x轴（斜率为0，\(l_2: y = y_2\)），此时两直线垂直。

（3）相交（有唯一交点）

代数条件：

1. 斜率存在且不相等：\(k_1 \neq k_2\)（斜截式视角）；

2. 一般式系数不成比例：\(A_1B_2 - A_2B_1 \neq 0\)（通用视角）；

交点求法：联立两直线方程，解二元一次方程组\(\begin{cases}A_1x + B_1y + C_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2 = 0\end{cases}\)，得到唯一解\((x_0,y_0)\)，即为交点坐标。

2. 直线的夹角（补充概念）

两直线的夹角指“它们所成的锐角或直角”，记为\(\theta\)（\(0 < \theta \leq \frac{\pi}{2}\)），计算公式：

若斜率均存在：\(\tan\theta = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1k_2} \right|\)；

若一条直线斜率不存在（垂直x轴），另一条斜率为\(k\)：\(\tan\theta = \left| \frac{1}{k} \right|\)；

若两直线垂直：\(\theta = \frac{\pi}{2}\)，\(\tan\theta\)不存在。

例题1：已知直线过点\((2,-3)\)，斜率为\(-\frac{1}{2}\)，求直线的点斜式、斜截式和一般式。

解：

点斜式：直接代入公式\(y - y_0 = k(x - x_0)\)，得\(y - (-3) = -\frac{1}{2}(x - 2)\)，即\(y + 3 = -\frac{1}{2}(x - 2)\)；

斜截式：展开点斜式，\(y + 3 = -\frac{1}{2}x + 1\)，整理得\(y = -\frac{1}{2}x - 2\)；

一般式：将斜截式移项，\(\frac{1}{2}x + y + 2 = 0\)，两边乘2消分母，得\(x + 2y + 4 = 0\)。

例题2：已知直线过两点\((-1,2)\)和\((3,-4)\)，求直线的两点式和一般式。

解：

两点式：设\((x_1,y_1)=(-1,2)\)，\((x_2,y_2)=(3,-4)\)，代入公式得\(\frac{y - 2}{-4 - 2} = \frac{x - (-1)}{3 - (-1)}\)，即\(\frac{y - 2}{-6} = \frac{x + 1}{4}\)；

一般式：交叉相乘两点式，\(4(y - 2) = -6(x + 1)\)，展开得\(4y - 8 = -6x - 6\)，整理为\(6x + 4y - 2 = 0\)，化简为\(3x + 2y - 1 = 0\)。

例题3：已知直线在x轴截距为3，y轴截距为\(-2\)，求直线的截距式和一般式。

解：

截距式：直接代入公式\(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)，得\(\frac{x}{3} + \frac{y}{-2} = 1\)；

一般式：通分截距式，\(2x - 3y = 6\)，整理为\(2x - 3y - 6 = 0\)。

例题4：将直线的一般式\(2x - 5y + 10 = 0\)转化为斜截式，并求其斜率和y轴截距。

解：

斜截式：移项得\(-5y = -2x - 10\)，两边除以\(-5\)，得\(y = \frac{2}{5}x + 2\)；

斜率：斜截式中\(k = \frac{2}{5}\)；

y轴截距：斜截式中\(b = 2\)（或令\(x=0\)，代入一般式得\(-5y + 10 = 0\)，解得\(y=2\)）。

例题5：求过点\((-3,4)\)且垂直于x轴的直线方程，以及平行于x轴的直线方程。

解：

垂直于x轴的直线：所有点横坐标相同，为\(x = -3\)（一般式：\(x + 3 = 0\)）；

平行于x轴的直线：所有点纵坐标相同，为\(y = 4\)（一般式：\(y - 4 = 0\)）。

例题6：求过定点\((1,-2)\)且斜率为\(k\)的直线系方程，并写出当\(k=2\)和\(k=-\frac{1}{3}\)时的具体直线方程。

解：

直线系方程：过定点\((1,-2)\)的点斜式直线系为\(y - (-2) = k(x - 1)\)，即\(y + 2 = k(x - 1)\)；

当\(k=2\)时：代入得\(y + 2 = 2(x - 1)\)，整理为\(2x - y - 4 = 0\)；

当\(k=-\frac{1}{3}\)时：代入得\(y + 2 = -\frac{1}{3}(x - 1)\)，整理为\(x + 3y + 5 = 0\)。

例题7：求平行于直线\(3x - 4y + 5 = 0\)的直线系方程，并找出过点\((2,-1)\)的具体直线。

解：

直线系方程：平行于\(3x - 4y + 5 = 0\)的直线系为\(3x - 4y + \lambda = 0\)（\(\lambda\)为参数，\(\lambda \neq 5\)）；

过点\((2,-1)\)的直线：将\((2,-1)\)代入直线系方程，\(3×2 - 4×(-1) + \lambda = 0\)，即\(6 + 4 + \lambda = 0\)，解得\(\lambda = -10\)；

具体直线方程：\(3x - 4y - 10 = 0\)。

例题8：求过两直线\(l_1: x + 2y - 3 = 0\)和\(l_2: 2x - y + 4 = 0\)交点的直线系方程，并找出过点\((0,1)\)的具体直线。

解：

直线系方程：过\(l_1\)和\(l_2\)交点的直线系为\(x + 2y - 3 + \lambda(2x - y + 4) = 0\)（\(\lambda\)为参数）；

过点\((0,1)\)的直线：将\((0,1)\)代入，\(0 + 2×1 - 3 + \lambda(0 - 1 + 4) = 0\)，即\(2 - 3 + 3\lambda = 0\)，解得\(\lambda = \frac{1}{3}\)；

具体直线方程：代入\(\lambda = \frac{1}{3}\)，得\(x + 2y - 3 + \frac{1}{3}(2x - y + 4) = 0\)，两边乘3消分母，\(3x + 6y - 9 + 2x - y + 4 = 0\)，整理为\(5x + 5y - 5 = 0\)，化简为\(x + y - 1 = 0\)。

例题9：证明直线系\((m - 1)x + (2m + 1)y - m + 3 = 0\)（\(m\)为参数）恒过定点，并求该定点坐标。

解：

思路：将直线系方程整理为“参数项+常数项=0”的形式，联立常数项方程求定点；

整理方程：\(m(x + 2y - 1) + (-x + y + 3) = 0\)；

恒过定点的条件：无论\(m\)取何值，方程均成立，故参数项系数和常数项均为0，即\(\begin{cases}x + 2y - 1 = 0 \\ -x + y + 3 = 0\end{cases}\)；

解方程组：两式相加得\(3y + 2 = 0\)，解得\(y = -\frac{2}{3}\)，代入\(x + 2×(-\frac{2}{3}) - 1 = 0\)，得\(x = \frac{7}{3}\)；

验证：将\((\frac{7}{3}, -\frac{2}{3})\)代入原方程，\((m - 1)×\frac{7}{3} + (2m + 1)×(-\frac{2}{3}) - m + 3 = \frac{7m - 7 - 4m - 2 - 3m + 9}{3} = 0\)，恒成立；

定点坐标：\((\frac{7}{3}, -\frac{2}{3})\)。

例题10：求过点\((-2,1)\)且与直线\(x - 2y + 3 = 0\)成\(45^\circ\)角的直线系方程，并写出具体直线。

解：

思路：设所求直线斜率为\(k\)，利用夹角公式列方程求\(k\)，再写直线系；

已知直线斜率：直线\(x - 2y + 3 = 0\)的斜率\(k_0 = \frac{1}{2}\)；

夹角公式：\(\tan45^\circ = \left| \frac{k - k_0}{1 + kk_0} \right|\)，即\(1 = \left| \frac{k - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}k} \right|\)；

解绝对值方程：\(\frac{k - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}k} = ±1\)；

1. 当\(\frac{k - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}k} = 1\)时：\(k - \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2}k\)，解得\(k = 3\)；

2. 当\(\frac{k - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}k} = -1\)时：\(k - \frac{1}{2} = -1 - \frac{1}{2}k\)，解得\(k = -\frac{1}{3}\)；

直线系方程：过点\((-2,1)\)，斜率为\(3\)或\(-\frac{1}{3}\)，方程为\(y - 1 = 3(x + 2)\)或\(y - 1 = -\frac{1}{3}(x + 2)\)；

具体直线：整理为\(3x - y + 7 = 0\)或\(x + 3y - 1 = 0\)。

例题11：判断直线\(l_1: 2x + 3y - 6 = 0\)与直线\(l_2: 4x + 6y + 5 = 0\)的位置关系（平行/相交/垂直）。

解：

方法1（斜率判定）：\(l_1\)斜率\(k_1 = -\frac{2}{3}\)，\(l_2\)斜率\(k_2 = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}\)，斜率相等；

求截距：\(l_1\)的y轴截距\(b_1 = 2\)（令\(x=0\)，\(3y=6\)），\(l_2\)的y轴截距\(b_2 = -\frac{5}{6}\)（令\(x=0\)，\(6y=-5\)），\(b_1 \neq b_2\)；

故两直线平行。

方法2（一般式系数）：\(\frac{A_1}{A_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{B_1}{B_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{C_1}{C_2} = \frac{-6}{5} = -\frac{6}{5}\)，\(\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}\)，故平行。

例题12：判断直线\(l_1: 3x - 4y + 1 = 0\)与直线\(l_2: 4x + 3y - 2 = 0\)的位置关系，并求它们的交点坐标。

解：

位置关系判定（一般式系数）：\(A_1A_2 + B_1B_2 = 3×4 + (-4)×3 = 12 - 12 = 0\)，故两直线垂直；

求交点：联立方程组\(\begin{cases}3x - 4y + 1 = 0 \\ 4x + 3y - 2 = 0\end{cases}\)；

消元求解：①×3 + ②×4，得\(9x - 12y + 3 + 16x + 12y - 8 = 0\)，即\(25x - 5 = 0\)，解得\(x = \frac{1}{5}\)；

代入①，\(3×\frac{1}{5} - 4y + 1 = 0\)，即\(\frac{3}{5} + 1 = 4y\)，解得\(y = \frac{2}{5}\)；

交点坐标：\((\frac{1}{5}, \frac{2}{5})\)。

例题13：已知直线\(l_1: (m + 2)x + (m - 1)y - 1 = 0\)与直线\(l_2: (m - 1)x + (2m + 1)y + 2 = 0\)平行，求\(m\)的值。

解：

平行条件（一般式系数）：\(\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}\)（\(A_2,B_2 \neq 0\)）；

第一步：列系数比例方程：\(\frac{m + 2}{m - 1} = \frac{m - 1}{2m + 1}\)，交叉相乘得\((m + 2)(2m + 1) = (m - 1)^2\)；

展开整理：\(2m^2 + 5m + 2 = m^2 - 2m + 1\)，即\(m^2 + 7m + 1 = 0\)，解得\(m = \frac{-7 ± \sqrt{49 - 4}}{2} = \frac{-7 ± \sqrt{45}}{2} = \frac{-7 ± 3\sqrt{5}}{2}\)；

第二步：验证\(\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{C_1}{C_2}\)：

当\(m = \frac{-7 + 3\sqrt{5}}{2}\)或\(m = \frac{-7 - 3\sqrt{5}}{2}\)时，\(\frac{C_1}{C_2} = \frac{-1}{2}\)，而\(\frac{A_1}{A_2} = \frac{m + 2}{m - 1} ≠ \frac{-1}{2}\)（代入验证可排除矛盾）；

故\(m = \frac{-7 + 3\sqrt{5}}{2}\)或\(m = \frac{-7 - 3\sqrt{5}}{2}\)。

例题14：已知直线\(l: 2x - y + 3 = 0\)，求过点\((1,2)\)且与\(l\)平行的直线方程，以及与\(l\)垂直的直线方程。

解：

（1）与\(l\)平行的直线：

平行直线系方程：\(2x - y + \lambda = 0\)（\(\lambda \neq 3\)）；

代入点\((1,2)\)：\(2×1 - 2 + \lambda = 0\)，解得\(\lambda = 0\)；

直线方程：\(2x - y = 0\)（或\(2x - y = 0\)）。

（2）与\(l\)垂直的直线：

垂直直线的斜率：\(l\)的斜率为2，故垂直直线斜率为\(-\frac{1}{2}\)；

点斜式方程：\(y - 2 = -\frac{1}{2}(x - 1)\)；

整理为一般式：\(x + 2y - 5 = 0\)。

例题15：求两直线\(l_1: x - y + 1 = 0\)和\(l_2: 2x + y - 4 = 0\)的交点，并求过该交点且平行于直线\(3x - 4y + 5 = 0\)的直线方程。

解：

第一步：求交点：联立\(\begin{cases}x - y + 1 = 0 \\ 2x + y - 4 = 0\end{cases}\)；

两式相加得\(3x - 3 = 0\)，解得\(x = 1\)，代入\(1 - y + 1 = 0\)，解得\(y = 2\)；

交点坐标：\((1,2)\)。

第二步：求平行直线：

平行于\(3x - 4y + 5 = 0\)的直线系：\(3x - 4y + \lambda = 0\)；

代入交点\((1,2)\)：\(3×1 - 4×2 + \lambda = 0\)，即\(3 - 8 + \lambda = 0\)，解得\(\lambda = 5\)；

直线方程：\(3x - 4y + 5 = 0\)（验证：过\((1,2)\)，且与已知直线平行）。

例题16：已知三角形的三个顶点为\(A(1,2)\)、\(B(3,4)\)、\(C(-1,5)\)，求边\(AB\)的高所在直线的方程。

解：

思路：AB的高是过点C且垂直于AB的直线，需先求AB的斜率，再求高的斜率，最后用点斜式；

第一步：求AB的斜率：\(k_{AB} = \frac{4 - 2}{3 - 1} = \frac{2}{2} = 1\)；

第二步：求高的斜率：垂直于AB，故斜率\(k = -1\)（\(k_{AB} \cdot k = -1\)）；

第三步：写高的方程：过点\(C(-1,5)\)，点斜式为\(y - 5 = -1×(x + 1)\)；

整理为一般式：\(x + y - 4 = 0\)。

例题17：求直线\(l: 2x + 3y - 12 = 0\)与两坐标轴围成的三角形的面积。

解：

第一步：求直线与两坐标轴的交点（截距）；

与x轴交点（y=0）：\(2x - 12 = 0\)，解得\(x = 6\)，即\(A(6,0)\)；

与y轴交点（x=0）：\(3y - 12 = 0\)，解得\(y = 4\)，即\(B(0,4)\)；

第二步：计算三角形面积：

三角形的两直角边长度分别为x轴截距\(|OA| = 6\)和y轴截距\(|OB| = 4\)；

面积\(S = \frac{1}{2}×|OA|×|OB| = \frac{1}{2}×6×4 = 12\)。

例题18：已知直线\(l: kx - y + 2k + 1 = 0\)（\(k\)为参数），证明直线\(l\)恒过定点，并求该定点到直线\(2x - y + 1 = 0\)的距离。

解：

第一步：求定点：

整理直线系方程：\(k(x + 2) + (-y + 1) = 0\)；

联立\(\begin{cases}x + 2 = 0 \\ -y + 1 = 0\end{cases}\)，解得\(x = -2\)，\(y = 1\)；

验证：将\((-2,1)\)代入原方程，\(k×(-2) - 1 + 2k + 1 = 0\)，恒成立，故定点为\((-2,1)\)。

第二步：求距离：

点到直线的距离公式：\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)，其中直线为\(2x - y + 1 = 0\)，点\((-2,1)\)；

代入得\(d = \frac{|2×(-2) - 1 + 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|-4 - 1 + 1|}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}\)。

例题19：求过点\((2,3)\)且与直线\(l_1: x + 2y - 4 = 0\)和\(l_2: 3x - y + 1 = 0\)都相交，且两交点连线的中点为\((2,3)\)的直线方程。

解：

思路：设所求直线与\(l_1\)的交点为\(A(x_1,y_1)\)，与\(l_2\)的交点为\(B(x_2,y_2)\)，利用中点公式和直线方程列方程；

第一步：中点条件：\(\frac{x_1 + x_2}{2} = 2\)，\(\frac{y_1 + y_2}{2} = 3\)，故\(x_2 = 4 - x_1\)，\(y_2 = 6 - y_1\)；

第二步：交点在已知直线上：

\(A\)在\(l_1\)上：\(x_1 + 2y_1 - 4 = 0\) ①；

\(B\)在\(l_2\)上：\(3x_2 - y_2 + 1 = 0\)，代入\(x_2 = 4 - x_1\)，\(y_2 = 6 - y_1\)，得\(3(4 - x_1) - (6 - y_1) + 1 = 0\)，整理为\(-3x_1 + y_1 + 7 = 0\) ②；

第三步：解方程组①②：

由①得\(x_1 = 4 - 2y_1\)，代入②，\(-3(4 - 2y_1) + y_1 + 7 = 0\)，即\(-12 + 6y_1 + y_1 + 7 = 0\)，解得\(y_1 = \frac{5}{7}\)，\(x_1 = 4 - 2×\frac{5}{7} = \frac{18}{7}\)；

第四步：写所求直线方程：过点\((2,3)\)和\(A(\frac{18}{7}, \frac{5}{7})\)，两点式为\(\frac{y - 3}{\frac{5}{7} - 3} = \frac{x - 2}{\frac{18}{7} - 2}\)；

化简：\(\frac{y - 3}{-\frac{16}{7}} = \frac{x - 2}{\frac{4}{7}}\)，即\(\frac{y - 3}{-16} = \frac{x - 2}{4}\)，整理为\(4(y - 3) = -16(x - 2)\)，即\(4x + y - 11 = 0\)。

例题20：已知直线\(l_1: ax + by + 1 = 0\)与\(l_2: 2x - y + 1 = 0\)平行，且\(l_1\)过点\((1,-1)\)，求\(a\)和\(b\)的值，并求两直线\(l_1\)与\(l_2\)之间的距离。

解：

第一步：求\(a\)和\(b\)：

（1）平行条件：\(l_1 \parallel l_2\)，故\(\frac{a}{2} = \frac{b}{-1} \neq \frac{1}{1}\)（一般式系数比例）；

由\(\frac{a}{2} = \frac{b}{-1}\)，得\(a = -2b\) ①；

（2）过点\((1,-1)\)：代入\(l_1\)方程，\(a×1 + b×(-1) + 1 = 0\)，即\(a - b + 1 = 0\) ②；

联立①②：将\(a = -2b\)代入②，\(-2b - b + 1 = 0\)，解得\(b = \frac{1}{3}\)，则\(a = -2×\frac{1}{3} = -\frac{2}{3}\)；

验证：\(\frac{a}{2} = \frac{-\frac{2}{3}}{2} = -\frac{1}{3}\)，\(\frac{b}{-1} = -\frac{1}{3}\)，\(\frac{1}{1} = 1\)，满足\(\frac{a}{2} = \frac{b}{-1} \neq \frac{1}{1}\)，故\(a = -\frac{2}{3}\)，\(b = \frac{1}{3}\)。

第二步：求两直线距离：

先将\(l_1\)化为标准形式：\(-\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}y + 1 = 0\)，两边乘3得\(-2x + y + 3 = 0\)，即\(2x - y - 3 = 0\)；

\(l_2: 2x - y + 1 = 0\)，平行直线距离公式：\(d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)（\(A,B\)相同）；

代入得\(d = \frac{|-3 - 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}\)。