平面向量

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一、平面向量基本概念

1. 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量。

2. 向量的表示：

几何表示：用有向线段表示。

符号表示：\(\vec{a}\)、\(\overrightarrow{AB}\) 等。

坐标表示：若 \(\vec{a}\) 的起点在原点，终点为 \((x, y)\)，则 \(\vec{a} = (x, y)\)。

3. 向量的模：向量的大小，记作 \(|\vec{a}|\) 或 \(|\overrightarrow{AB}|\)。

4. 零向量：模为 0 的向量，记作 \(\vec{0}\)。其方向是任意的。

5. 单位向量：模为 1 的向量。与 \(\vec{a}\) 同方向的单位向量为 \(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\)。

6. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。规定 \(\vec{0}\) 与任意向量平行。

7. 相等向量：长度相等且方向相同的向量。

8. 相反向量：长度相等且方向相反的向量。\(\vec{a}\) 的相反向量是 \(-\vec{a}\)。

二、平面向量的线性运算

1. 加法：

三角形法则：首尾相接，起点指向终点。

平行四边形法则：共起点，对角线为和。

运算律：交换律 \(\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}\)；结合律 \((\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})\)。

2. 减法：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。\(\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})\)。几何上，是将两个向量的起点移到同一点，差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

3. 数乘：

定义：实数 \(\lambda\) 与向量 \(\vec{a}\) 的积是一个向量，记作 \(\lambda\vec{a}\)。

模：\(|\lambda\vec{a}| = |\lambda||\vec{a}|\)。

方向：当 \(\lambda > 0\) 时，\(\lambda\vec{a}\) 与 \(\vec{a}\) 同向；当 \(\lambda < 0\) 时，\(\lambda\vec{a}\) 与 \(\vec{a}\) 反向；当 \(\lambda = 0\) 时，\(\lambda\vec{a} = \vec{0}\)。

运算律：\(\lambda(\mu\vec{a}) = (\lambda\mu)\vec{a}\)；\((\lambda + \mu)\vec{a} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{a}\)；\(\lambda(\vec{a} + \vec{b}) = \lambda\vec{a} + \lambda\vec{b}\)。

4. 向量共线定理：非零向量 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 共线的充要条件是存在唯一实数 \(\lambda\)，使得 \(\vec{b} = \lambda\vec{a}\)。

三、平面向量的基本定理及坐标表示

1. 平面向量基本定理：如果 \(\vec{e_1}\)、\(\vec{e_2}\) 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 \(\vec{a}\)，有且只有一对实数 \(\lambda_1\)、\(\lambda_2\)，使得 \(\vec{a} = \lambda_1\vec{e_1} + \lambda_2\vec{e_2}\)。不共线的向量 \(\vec{e_1}\)、\(\vec{e_2}\) 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

2. 坐标表示：

若 \(\vec{a} = (x_1, y_1)\)，\(\vec{b} = (x_2, y_2)\)，则 \(\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)\)，\(\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)\)，\(\lambda\vec{a} = (\lambda x_1, \lambda y_1)\)。

若 \(A(x_1, y_1)\)，\(B(x_2, y_2)\)，则 \(\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)\)。

3. 向量的数量积：

定义：已知两个非零向量 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)，它们的夹角为 \(\theta\)，则数量 \(|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\) 叫做 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 的数量积（或内积），记作 \(\vec{a} \cdot \vec{b}\)。即 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)。

几何意义：数量积 \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) 等于 \(\vec{a}\) 的长度 \(|\vec{a}|\) 与 \(\vec{b}\) 在 \(\vec{a}\) 方向上的投影 \(|\vec{b}|\cos\theta\) 的乘积。

坐标表示：若 \(\vec{a} = (x_1, y_1)\)，\(\vec{b} = (x_2, y_2)\)，则 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2\)。

运算律：交换律 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\)；数乘结合律 \((\lambda\vec{a}) \cdot \vec{b} = \lambda(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot (\lambda\vec{b})\)；分配律 \((\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}\)。

4. 向量的模：\(|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}\)。

5. 向量的夹角：\(\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}\sqrt{x_2^2 + y_2^2}}\)。

6. 向量垂直的充要条件：\(\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff x_1x_2 + y_1y_2 = 0\)。

四、平面向量的应用

1. 向量在几何中的应用：

证明线段平行、垂直：利用向量共线或垂直的条件。

求线段的长度、夹角：利用向量的模和数量积公式。

解决三角形、四边形等几何问题：如证明定理（如平行四边形法则、三角形中位线定理）、求面积等。

2. 向量在物理中的应用：

力的合成与分解：利用向量的加法和减法。

速度的合成与分解：利用向量的加法和减法。

功的计算：力是向量，位移是向量，功是它们的数量积。

五、平面向量的二级结论

1. 若 \(\vec{a} = (x_1, y_1)\)，\(\vec{b} = (x_2, y_2)\)，则 \(\vec{a} \parallel \vec{b}\) 的充要条件是 \(x_1y_2 - x_2y_1 = 0\)。

2. 若 \(\vec{a} = (x_1, y_1)\)，\(\vec{b} = (x_2, y_2)\)，则 \(\vec{a} \perp \vec{b}\) 的充要条件是 \(x_1x_2 + y_1y_2 = 0\)。

3. 三角形重心坐标公式：若 \(\triangle ABC\) 的顶点坐标为 \(A(x_A, y_A)\)，\(B(x_B, y_B)\)，\(C(x_C, y_C)\)，则其重心 \(G\) 的坐标为 \(G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)\)。

4. 三角形垂心坐标公式：若 \(\triangle ABC\) 的顶点坐标为 \(A(x_A, y_A)\)，\(B(x_B, y_B)\)，\(C(x_C, y_C)\)，则其垂心 \(H\) 的坐标满足：

\(\begin{cases}(x_H - x_A)(x_H - x_B) + (y_H - y_A)(y_H - y_B) = 0 \\(x_H - x_B)(x_H - x_C) + (y_H - y_B)(y_H - y_C) = 0\end{cases}\)

（通常通过向量垂直条件求解）

5. 三角形外心坐标公式：若 \(\triangle ABC\) 的顶点坐标为 \(A(x_A, y_A)\)，\(B(x_B, y_B)\)，\(C(x_C, y_C)\)，则其外心 \(O\) 是三边垂直平分线的交点，坐标满足：

\(|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}|\)

即

\((x_O - x_A)^2 + (y_O - y_A)^2 = (x_O - x_B)^2 + (y_O - y_B)^2 = (x_O - x_C)^2 + (y_O - y_C)^2\)

6. 三角形内心坐标公式：若 \(\triangle ABC\) 的顶点坐标为 \(A(x_A, y_A)\)，\(B(x_B, y_B)\)，\(C(x_C, y_C)\)，且三边长分别为 \(a, b, c\)（\(a = |BC|, b = |AC|, c = |AB|\)），则其内心 \(I\) 的坐标为：

\(I\left(\frac{a x_A + b x_B + c x_C}{a + b + c}, \frac{a y_A + b y_B + c y_C}{a + b + c}\right)\)

7. 向量的定比分点公式：若点 \(P\) 分有向线段 \(\overrightarrow{P_1P_2}\) 所成的比为 \(\lambda\)（即 \(\overrightarrow{P_1P} = \lambda \overrightarrow{PP_2}\)），且 \(P_1(x_1, y_1)\)，\(P_2(x_2, y_2)\)，则点 \(P\) 的坐标为：

\(P\left(\frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}\right)\)

当 \(\lambda = 1\) 时，\(P\) 为 \(\overrightarrow{P_1P_2}\) 的中点，坐标为 \(P\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\)。

8. 向量的投影公式：向量 \(\vec{b}\) 在向量 \(\vec{a}\) 方向上的投影为 \(|\vec{b}|\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|}\)。

9. 三角形面积公式：若 \(\triangle ABC\) 的顶点坐标为 \(A(x_A, y_A)\)，\(B(x_B, y_B)\)，\(C(x_C, y_C)\)，则其面积为：

\(S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2}|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|\)

其中 \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\) 表示向量的叉乘（在二维平面中，其模长等于以 \(\overrightarrow{AB}\) 和 \(\overrightarrow{AC}\) 为邻边的平行四边形的面积）。

10. 三点共线定理：若点 \(P\)、\(A\)、\(B\) 三点共线，则存在实数 \(\lambda\) 和 \(\mu\)，使得 \(\overrightarrow{OP} = \lambda \overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB}\)，且 \(\lambda + \mu = 1\)。反之亦然。

11. 向量的模长不等式：\(||\vec{a}| - |\vec{b}|| \leq |\vec{a} \pm \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|\)。当且仅当 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 同向时，\(|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|\)；当且仅当 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 反向时，\(|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|\)。

12. 数量积的不等式：\((\vec{a} \cdot \vec{b})^2 \leq |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2\)。当且仅当 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 共线时，等号成立。

13. 向量的旋转：将向量 \(\vec{a}\) 绕其起点逆时针旋转 \(\theta\) 得到向量 \(\vec{b}\)，则 \(\vec{b} = (|\vec{a}|\cos\theta - y_1\sin\theta, |\vec{a}|\sin\theta + x_1\cos\theta)\)，其中 \(\vec{a} = (x_1, y_1)\)。

14. 向量的方向向量：与非零向量 \(\vec{a} = (x, y)\) 同方向的向量可以表示为 \((x, y)\) 或 \(\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right)\)。

15. 向量的法向量：与非零向量 \(\vec{a} = (x, y)\) 垂直的向量可以表示为 \((y, -x)\) 或 \((-y, x)\)。

16. 向量的线性组合：若 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 是平面内的一组基底，则平面内任意向量 \(\vec{c}\) 都可以唯一表示为 \(\vec{c} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{b}\)，其中 \(\lambda\)、\(\mu\) 为实数。

17. 向量的中点公式：若 \(M\) 是线段 \(AB\) 的中点，则 \(\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})\)。

18. 向量的重心性质：在 \(\triangle ABC\) 中，\(G\) 为重心，则 \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}\)。

19. 向量的垂心性质：在 \(\triangle ABC\) 中，\(H\) 为垂心，则 \(\overrightarrow{HA} \cdot \overrightarrow{HB} = \overrightarrow{HB} \cdot \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{HC} \cdot \overrightarrow{HA}\)。

20. 向量的外心性质：在 \(\triangle ABC\) 中，\(O\) 为外心，则 \(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA}\)。

核心知识点梳理

1. 基本概念

向量：既有大小又有方向的量，记作 \(\vec{a}\) 或 \(\overrightarrow{AB}\)。

模：向量的大小，记作 \(|\vec{a}|\) 或 \(|\overrightarrow{AB}|\)。

零向量：模为0的向量，方向任意，记作 \(\vec{0}\)。

单位向量：模为1的向量，与 \(\vec{a}\) 同方向的单位向量为 \(\vec{e}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\)。

相等向量：模相等且方向相同的向量。

相反向量：模相等且方向相反的向量，\(\vec{a}\) 的相反向量为 \(-\vec{a}\)。

共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量，零向量与任意向量共线。

垂直向量：夹角为 \(90^\circ\) 的两个向量，记作 \(\vec{a}\perp\vec{b}\)。

2. 向量的运算

（1）线性运算

加法：三角形法则、平行四边形法则，满足交换律 \(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\)，结合律 \((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\)。

减法：\(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\)，三角形法则（指向被减向量）。

数乘：实数 \(\lambda\) 与向量 \(\vec{a}\) 的积是向量，记作 \(\lambda\vec{a}\)，模为 \(|\lambda||\vec{a}|\)；方向：\(\lambda>0\) 时与 \(\vec{a}\) 同向，\(\lambda<0\) 时反向，\(\lambda=0\) 时为零向量。

数乘满足：\(\lambda(\mu\vec{a})=(\lambda\mu)\vec{a}\)，\((\lambda+\mu)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}\)，\(\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}\)。

（2）数量积（内积）

定义：非零向量 \(\vec{a},\vec{b}\) 的夹角为 \(\theta\)，则 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)，零向量与任意向量的数量积为0。

性质：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\)；\((\lambda\vec{a})\cdot\vec{b}=\lambda(\vec{a}\cdot\vec{b})=\vec{a}\cdot(\lambda\vec{b})\)；\((\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}\)。

模的公式：\(|\vec{a}|^2=\vec{a}\cdot\vec{a}\)，\(|\vec{a}\pm\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2\pm2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2\)。

垂直的充要条件：\(\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)（\(\vec{a},\vec{b}\) 为非零向量）。

夹角公式：\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\)（\(\vec{a},\vec{b}\) 为非零向量）。

3. 向量的表示方法

（1）坐标表示

平面直角坐标系中，设 \(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，则：

线性运算：\(\vec{a}+\vec{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)，\(\vec{a}-\vec{b}=(x_1-x_2,y_1-y_2)\)，\(\lambda\vec{a}=(\lambda x_1,\lambda y_1)\)。

数量积：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2\)。

模：\(|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}\)。

夹角：\(\cos\theta=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}\)。

共线的充要条件：\(\vec{a}\parallel\vec{b}\Leftrightarrow x_1y_2-x_2y_1=0\)。

垂直的充要条件：\(\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow x_1x_2+y_1y_2=0\)。

（2）基底表示

平面向量基本定理：如果 \(\vec{e_1},\vec{e_2}\) 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 \(\vec{a}\)，有且只有一对实数 \(\lambda_1,\lambda_2\)，使得 \(\vec{a}=\lambda_1\vec{e_1}+\lambda_2\vec{e_2}\)。其中，\(\{\vec{e_1},\vec{e_2}\}\) 称为这一平面内向量的一组基底。

4. 常用结论

三点共线：\(A,B,C\) 三点共线 \(\Leftrightarrow\) 存在实数 \(\lambda\)，使得 \(\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{AC}\) \(\Leftrightarrow\) 存在实数 \(x,y\)，使得 \(\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}\)，且 \(x+y=1\)（\(O\) 为平面内任意一点）。

中点公式：\(M\) 是 \(AB\) 的中点，则 \(\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\)（\(O\) 为平面内任意一点）。

重心公式：\(G\) 是 \(\triangle ABC\) 的重心 \(\Leftrightarrow\) \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}\) \(\Leftrightarrow\) \(\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\)（\(O\) 为平面内任意一点）。

二级结论（高考直接套用，节省时间）

1. 线性运算类

结论1：向量拆分的系数和。若 \(\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}\)，且 \(P\) 在直线 \(AB\) 上，则 \(x+y=1\)；反之，若 \(x+y=1\)，则 \(P\) 在直线 \(AB\) 上。

推论：若 \(P\) 为线段 \(AB\) 的中点，则 \(x=y=\frac{1}{2}\)；若 \(P\) 为线段 \(AB\) 的三等分点（靠近 \(A\)），则 \(x=\frac{2}{3},y=\frac{1}{3}\)。

结论2：三角形的五心向量表示（高考高频）。

（1）重心 \(G\)：\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}\) 或 \(\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\)；

（2）垂心 \(H\)：\(\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{HB}\cdot\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HC}\cdot\overrightarrow{HA}\)；

（3）外心 \(O\)：\(|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|\)；

（4）内心 \(I\)：\(a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\vec{0}\)（\(a,b,c\) 分别为 \(\triangle ABC\) 中角 \(A,B,C\) 所对的边）；

（5）旁心：\(a\overrightarrow{IA}=b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}\)（旁心为角 \(A\) 相邻的旁切圆的圆心）。

结论3：向量的中点链。在任意四边形 \(ABCD\) 中，\(E,F\) 分别为 \(AB,CD\) 的中点，则 \(\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})\)；特别地，在平行四边形中，\(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\)。

2. 数量积类

结论4：数量积的最值。设 \(|\vec{a}|=m\)，\(|\vec{b}|=n\)，则 \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) 的最大值为 \(mn\)（当 \(\vec{a},\vec{b}\) 同向时取得），最小值为 \(-mn\)（当 \(\vec{a},\vec{b}\) 反向时取得）。

结论5：模长的最值。设 \(|\vec{a}|=m\)，\(|\vec{b}|=n\)，则 \(|\vec{a}+\vec{b}|\) 的最大值为 \(m+n\)（同向），最小值为 \(|m-n|\)（反向）；\(|\vec{a}-\vec{b}|\) 的最大值为 \(m+n\)（反向），最小值为 \(|m-n|\)（同向）。

结论6：投影的公式。向量 \(\vec{a}\) 在 \(\vec{b}\) 方向上的投影为 \(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}\)，向量 \(\vec{b}\) 在 \(\vec{a}\) 方向上的投影为 \(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|}\)；数量积 \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) 等于 \(\vec{a}\) 的模乘以 \(\vec{b}\) 在 \(\vec{a}\) 方向上的投影，也等于 \(\vec{b}\) 的模乘以 \(\vec{a}\) 在 \(\vec{b}\) 方向上的投影。

结论7：极化恒等式（高考核心结论，解决中点、线段长度问题的神器）。

（1）平面内任意两个向量 \(\vec{a},\vec{b}\)，有 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{1}{4}[|\vec{a}+\vec{b}|^2-|\vec{a}-\vec{b}|^2]\)；

（2）三角形中，设 \(M\) 为 \(BC\) 的中点，则 \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AM}|^2-|\overrightarrow{MB}|^2\)。

推论：在圆中，设 \(AB\) 为弦，\(M\) 为 \(AB\) 的中点，\(O\) 为圆心，则 \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OM}|^2-|\overrightarrow{MA}|^2\)。

结论8：向量的平方和。若 \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}\)，则 \(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2=-2(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a})\)。

结论9：垂直向量的数量积。若 \(\vec{a}\perp\vec{b}\)，则 \(|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|\)（平行四边形为矩形）；反之，若 \(|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|\)，则 \(\vec{a}\perp\vec{b}\)。

3. 坐标运算类

结论10：向量的旋转。将向量 \(\vec{a}=(x,y)\) 绕原点逆时针旋转 \(\theta\) 角，得到的向量为 \((x\cos\theta-y\sin\theta,x\sin\theta+y\cos\theta)\)；顺时针旋转 \(\theta\) 角，得到的向量为 \((x\cos\theta+y\sin\theta,-x\sin\theta+y\cos\theta)\)。

特例：将向量 \((x,y)\) 绕原点逆时针旋转 \(90^\circ\)，得到 \((-y,x)\)；顺时针旋转 \(90^\circ\)，得到 \((y,-x)\)。

结论11：向量的夹角为锐角或钝角的条件。

（1） \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 的夹角为锐角 \(\Leftrightarrow\) \(\vec{a}\cdot\vec{b}>0\) 且 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 不共线；

（2） \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 的夹角为钝角 \(\Leftrightarrow\) \(\vec{a}\cdot\vec{b}<0\) 且 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 不共线。

结论12：两点间的距离公式。设 \(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，则 \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)，与平面直角坐标系中两点间的距离公式一致。

4. 共线与垂直类

结论13：三点共线的推广。若 \(A,B,C,D\) 四点共线，且 \(\overrightarrow{OA}=x\overrightarrow{OB}+y\overrightarrow{OC}+z\overrightarrow{OD}\)，则 \(x+y+z=1\)。

结论14：垂直向量的推广。若 \(\vec{a}\perp\vec{b}\)，\(\vec{c}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{b}\)，\(\vec{d}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}\)，则 \(\vec{c}\perp\vec{d}\Leftrightarrow\lambda\alpha|\vec{a}|^2+\mu\beta|\vec{b}|^2=0\)。

题型1：线性运算与基底表示

例1 设 \(\vec{e_1},\vec{e_2}\) 是平面内的一组基底，若 \(\vec{a}=3\vec{e_1}-2\vec{e_2}\)，\(\vec{b}=-\vec{e_1}+k\vec{e_2}\)，且 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 共线，则 \(k=\)（）

A. \(\frac{1}{3}\) B. \(-\frac{1}{3}\) C. \(\frac{2}{3}\) D. \(-\frac{2}{3}\)

解析共线向量的基底表示：存在实数 \(\lambda\)，使得 \(\vec{a}=\lambda\vec{b}\)，即 \(3\vec{e_1}-2\vec{e_2}=\lambda(-\vec{e_1}+k\vec{e_2})\)。由平面向量基本定理，得 \(\begin{cases}3=-\lambda\\-2=\lambda k\end{cases}\)，解得 \(\lambda=-3\)，\(k=\frac{2}{3}\)。故选C。

例2 已知 \(D,E,F\) 分别为 \(\triangle ABC\) 的边 \(BC,CA,AB\) 的中点，且 \(\overrightarrow{BC}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{CA}=\vec{b}\)，则下列结论正确的是（）

① \(\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{2}\vec{a}-\vec{b}\)；② \(\overrightarrow{BE}=\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}\)；③ \(\overrightarrow{CF}=-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}\)；④ \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\vec{0}\)。

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④

解析利用中点性质和线性运算：

\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=-\vec{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}=-\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}\)，①正确；

\(\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}=\vec{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}=\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}\)，②正确；

\(\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BF}=-\vec{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=-\vec{a}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA})=-\vec{a}+\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})=-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}\)，③正确；

\(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=(-\frac{1}{2}\vec{a}-\vec{b})+(\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b})+(-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b})=\vec{0}\)，④正确。故选B。

题型2：三点共线与重心

例3 已知 \(O\) 为平面内任意一点，\(A,B,C\) 三点不共线，若 \(\overrightarrow{OP}=\frac{1}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{5}\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{OC}\)，且 \(P,A,B,C\) 四点共面，则 \(t=\)（）

A. \(\frac{1}{5}\) B. \(\frac{2}{5}\) C. \(\frac{3}{5}\) D. \(\frac{4}{5}\)

解析四点共面的向量条件：若 \(\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}\)，且 \(P,A,B,C\) 共面，则 \(x+y+z=1\)。因此，\(\frac{1}{5}+\frac{2}{5}+t=1\)，解得 \(t=\frac{2}{5}\)。故选B。

例4 已知 \(G\) 为 \(\triangle ABC\) 的重心，若 \(\overrightarrow{GA}=2\vec{i}-3\vec{j}\)，\(\overrightarrow{GB}=-4\vec{i}+\vec{j}\)，则 \(\overrightarrow{GC}=\)（）

A. \(2\vec{i}+2\vec{j}\) B. \(-2\vec{i}-2\vec{j}\) C. \(2\vec{i}-2\vec{j}\) D. \(-2\vec{i}+2\vec{j}\)

解析重心的向量性质：\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}\)，因此 \(\overrightarrow{GC}=-(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB})=-(2\vec{i}-3\vec{j}-4\vec{i}+\vec{j})=2\vec{i}+2\vec{j}\)。故选A。

题型3：数量积的基本运算

例5 已知 \(|\vec{a}|=2\)，\(|\vec{b}|=3\)，\(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 的夹角为 \(60^\circ\)，则 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\)（）

A. 3 B. 6 C. \(3\sqrt{3}\) D. \(6\sqrt{3}\)

解析数量积的定义：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta=2\times3\times\cos60^\circ=6\times\frac{1}{2}=3\)。故选A。

例6 已知 \(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-2,3)\)，则 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\)（）

A. -1 B. 1 C. -4 D. 4

解析坐标形式的数量积：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times(-2)+2\times3=-2+6=4\)。故选D。

题型4：极化恒等式的应用

例7 已知 \(M\) 为 \(\triangle ABC\) 的边 \(BC\) 的中点，\(|\overrightarrow{BC}|=4\)，\(|\overrightarrow{AM}|=3\)，则 \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\)（）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

解析极化恒等式的三角形形式：\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AM}|^2-|\overrightarrow{MB}|^2\)。由题意，\(|\overrightarrow{MB}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{BC}|=2\)，因此 \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=3^2-2^2=9-4=5\)。故选A。

例8 已知圆 \(O\) 的半径为 2，\(AB\) 为圆 \(O\) 的弦，\(M\) 为 \(AB\) 的中点，\(OM=1\)，则 \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\)（）

A. -1 B. 1 C. -2 D. 2

解析极化恒等式的圆的形式：\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OM}|^2-|\overrightarrow{MA}|^2\)。由勾股定理，\(|\overrightarrow{MA}|=\sqrt{|\overrightarrow{OA}|^2-|\overrightarrow{OM}|^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}\)，因此 \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=1^2-(\sqrt{3})^2=1-3=-2\)。故选C。

题型5：模长的计算

例9 已知 \(|\vec{a}|=3\)，\(|\vec{b}|=4\)，\(\vec{a}\perp\vec{b}\)，则 \(|\vec{a}+\vec{b}|=\)（）

A. 5 B. 7 C. 25 D. 49

解析垂直向量的模长公式：\(|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2\)。因为 \(\vec{a}\perp\vec{b}\)，所以 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，因此 \(|\vec{a}+\vec{b}|^2=9+0+16=25\)，故 \(|\vec{a}+\vec{b}|=5\)。故选A。

例10 已知 \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}\)，\(|\vec{a}|=1\)，\(|\vec{b}|=2\)，\(|\vec{c}|=3\)，则 \(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a}=\)（）

A. -7 B. -6 C. -5 D. -4

解析向量的平方和公式：\(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2=-2(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a})\)。因此，\(1+4+9=-2(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a})\)，解得 \(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a}=-7\)。故选A。

题型6：向量的夹角

例11 已知 \(\vec{a}=(1,0)\)，\(\vec{b}=(1,1)\)，则向量 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 的夹角为（）

A. \(30^\circ\) B. \(45^\circ\) C. \(60^\circ\) D. \(90^\circ\)

解析坐标形式的夹角公式：\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{1\times1+0\times1}{1\times\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)。因为 \(0^\circ\leq\theta\leq180^\circ\)，所以 \(\theta=45^\circ\)。故选B。

例12 已知 \(|\vec{a}|=2\)，\(|\vec{b}|=1\)，\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\)，则向量 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 的夹角为（）

A. \(30^\circ\) B. \(45^\circ\) C. \(60^\circ\) D. \(90^\circ\)

解析数量积的夹角公式：\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{1}{2\times1}=\frac{1}{2}\)。因为 \(0^\circ\leq\theta\leq180^\circ\)，所以 \(\theta=60^\circ\)。故选C。

题型7：向量的垂直与共线

例13 已知 \(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec{b}=(4,k)\)，若 \(\vec{a}\perp\vec{b}\)，则 \(k=\)（）

A. \(-\frac{8}{3}\) B. \(\frac{8}{3}\) C. \(-\frac{3}{8}\) D. \(\frac{3}{8}\)

解析坐标形式的垂直条件：\(\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow x_1x_2+y_1y_2=0\)。因此，\(2\times4+3\times k=0\)，解得 \(k=-\frac{8}{3}\)。故选A。

例14 已知 \(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(2,m)\)，若 \(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，则 \(m=\)（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解析坐标形式的共线条件：\(\vec{a}\parallel\vec{b}\Leftrightarrow x_1y_2-x_2y_1=0\)。因此，\(1\times m-2\times2=0\)，解得 \(m=4\)。故选D。

题型8：向量的旋转

例15 将向量 \(\vec{a}=(1,0)\) 绕原点逆时针旋转 \(90^\circ\)，得到的向量为（）

A. \((0,1)\) B. \((0,-1)\) C. \((-1,0)\) D. \((1,0)\)

解析向量旋转的特例：将向量 \((x,y)\) 绕原点逆时针旋转 \(90^\circ\)，得到 \((-y,x)\)。因此，向量 \((1,0)\) 旋转后得到 \((0,1)\)。故选A。

例16 将向量 \(\vec{a}=(2,3)\) 绕原点顺时针旋转 \(90^\circ\)，得到的向量为（）

A. \((3,-2)\) B. \((3,2)\) C. \((-3,2)\) D. \((-3,-2)\)

解析向量旋转的特例：将向量 \((x,y)\) 绕原点顺时针旋转 \(90^\circ\)，得到 \((y,-x)\)。因此，向量 \((2,3)\) 旋转后得到 \((3,-2)\)。故选A。

题型9：数量积的最值

例17 已知 \(|\vec{a}|=2\)，\(|\vec{b}|=1\)，则 \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) 的最大值为（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解析数量积的最值：\(\vec{a}\cdot\vec{b}\) 的最大值为 \(|\vec{a}||\vec{b}|=2\times1=2\)，当 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 同向时取得。故选B。

例18 已知 \(|\vec{a}|=3\)，\(|\vec{b}|=4\)，则 \(|\vec{a}-\vec{b}|\) 的最小值为（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解析模长的最值：\(|\vec{a}-\vec{b}|\) 的最小值为 \(||\vec{a}|-|\vec{b}||=|3-4|=1\)，当 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 同向时取得。故选A。

题型10：综合应用

例19 已知 \(O\) 为坐标原点，\(A(1,2)\)，\(B(2,3)\)，\(C(-2,5)\)，求证：\(\triangle ABC\) 为直角三角形。

解析利用向量垂直的条件：计算 \(\overrightarrow{AB}=(2-1,3-2)=(1,1)\)，\(\overrightarrow{AC}=(-2-1,5-2)=(-3,3)\)。因为 \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1\times(-3)+1\times3=0\)，所以 \(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}\)，即 \(\angle BAC=90^\circ\)，故 \(\triangle ABC\) 为直角三角形。

例20 已知 \(|\vec{a}|=1\)，\(|\vec{b}|=2\)，\(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 的夹角为 \(60^\circ\)，求 \(|2\vec{a}-\vec{b}|\) 的值。

解析模长的计算：\(|2\vec{a}-\vec{b}|^2=(2\vec{a}-\vec{b})^2=4|\vec{a}|^2-4\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2\)。由题意，\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times2\times\cos60^\circ=1\)，因此 \(|2\vec{a}-\vec{b}|^2=4\times1-4\times1+4=4\)，故 \(|2\vec{a}-\vec{b}|=2\)。