圆的方程

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圆是平面解析几何的核心图形，其知识体系围绕“代数方程描述几何特征”展开，涵盖圆的基本方程（标准式、一般式等）、位置关系（点与圆、直线与圆、圆与圆）、特殊方程（切线方程、切点弦方程）及圆系方程。这些内容相互关联，基本方程是基础，位置关系是核心应用，特殊方程与圆系方程是简化解题的关键工具。

圆的知识体系可归纳为“三大核心”：

1. 方程形式：根据已知条件选择标准式（圆心半径）、一般式（三点）、直径式（直径端点）、参数式（参数表示），核心是“代数方程与几何特征的对应”；

2. 位置关系：点与圆看“点到圆心距离”，直线与圆看“圆心到直线距离”，圆与圆看“圆心距与半径和/差”，均通过量化距离判定；

3. 特殊方程：切线方程（圆上点用公式，圆外点用距离等于半径）、切点弦方程（圆外点用替换法则）、圆系方程（过两圆交点或定直线与圆交点），可大幅简化计算。

一、圆的基本方程：描述圆的核心形式

圆的本质是“平面内到定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合”，不同方程形式对应不同已知条件，需根据条件选择最优形式，所有形式均可通过代数变形统一。

（1）标准式（最常用）

适用条件：已知圆心\((a,b)\)和半径\(r\)（\(r>0\)）；

推导依据：两点间距离公式——圆上任意点\((x,y)\)到圆心\((a,b)\)的距离为\(r\)，即\(\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r\)，平方后得标准式；

方程形式：\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\)

关键性质：直接读取圆心\((a,b)\)和半径\(r\)，无需计算；若圆心在原点\((0,0)\)，方程简化为\(x^2 + y^2 = r^2\)。

（2）一般式（通用形式）

适用条件：所有圆通用，尤其适用于已知圆上三点求方程；

推导依据：展开标准式——\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)展开为\(x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2-r^2=0\)，令\(D=-2a\)、\(E=-2b\)、\(F=a^2+b^2-r^2\)，得一般式；

方程形式：\(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)（前提：\(D^2 + E^2 - 4F > 0\)，否则为退化圆或虚圆）

关键性质：圆心坐标：\(\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)\)；半径：\(r = \frac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}\)；

特殊情况：\(D^2 + E^2 - 4F = 0\)表示点\(\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)\)（退化圆），\(D^2 + E^2 - 4F < 0\)无实数点（虚圆）。

（3）直径式（已知直径端点）

适用条件：已知直径两端点\(A(x_1,y_1)\)和\(B(x_2,y_2)\)；

推导依据：圆周角定理——直径所对圆周角为直角，即圆上任意点\(P(x,y)\)满足\(\overrightarrow{PA} \perp \overrightarrow{PB}\)，向量点积为0：\((x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0\)；

方程形式：\((x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0\)

关键性质：圆心为直径中点\(\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)，半径为\(\frac{1}{2}\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)。

（4）参数式（用角度表示圆上点）

适用条件：需用参数表示圆上点（如求圆上点到直线的距离最值、轨迹问题）；

推导依据：三角函数平方关系——设圆心\((a,b)\)、半径\(r\)，圆上点的横纵坐标可表示为“圆心坐标 + 半径×三角函数”；

方程形式：\(\begin{cases}x = a + r\cos\theta \\ y = b + r\sin\theta\end{cases}\)（\(\theta\)为参数，\(0 \leq \theta < 2\pi\)，称为“圆心角”）

关键性质：消去参数\(\theta\)可还原为标准式（利用\(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\)）。

二、圆的位置关系：点、线、圆的量化判定

位置关系的核心是“距离与半径（或半径和/差）的比较”，通过代数计算量化几何关系，避免图形直观误差。

1. 点与圆的位置关系

设圆的圆心为\(C(a,b)\)，半径为\(r\)，点为\(P(x_0,y_0)\)，定义“点到圆心的距离”为\(d = \sqrt{(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2}\)，则：

点在圆内：\(d < r\)（点到圆心的距离小于半径）；

点在圆上：\(d = r\)（点到圆心的距离等于半径，点满足圆的方程）；

点在圆外：\(d > r\)（点到圆心的距离大于半径）。

2. 直线与圆的位置关系

设圆的圆心为\(C(a,b)\)，半径为\(r\)，直线为\(l: Ax + By + C_0 = 0\)（一般式），定义“圆心到直线的距离”为\(d = \frac{|Aa + Bb + C_0|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)，则：

相离：\(d > r\)（直线与圆无交点，联立方程无实数解）；

相切：\(d = r\)（直线与圆有唯一交点，联立方程有唯一实数解，即切线）；

相交：\(d < r\)（直线与圆有两个交点，联立方程有两个不同实数解，两交点间线段为“弦”，弦长公式：\(2\sqrt{r^2 - d^2}\)）。

3. 圆与圆的位置关系

设两圆的圆心分别为\(C_1(a_1,b_1)\)、\(C_2(a_2,b_2)\)，半径分别为\(r_1\)、\(r_2\)（\(r_1 \geq r_2\)），定义“圆心距”为\(d = \sqrt{(a_2 - a_1)^2 + (b_2 - b_1)^2}\)，则：

外离：\(d > r_1 + r_2\)（两圆无交点，有4条公切线）；

外切：\(d = r_1 + r_2\)（两圆有唯一公共点，有3条公切线）；

相交：\(r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2\)（两圆有两个公共点，有2条公切线）；

内切：\(d = r_1 - r_2\)（两圆有唯一公共点，有1条公切线）；

内含：\(d < r_1 - r_2\)（两圆无交点，无公切线，当\(d=0\)时为同心圆）。

三、圆的特殊方程：切线方程与切点弦方程

切线与切点弦是圆的重要几何特征，其方程可通过“几何性质（切线垂直于半径）”或“代数推导”直接写出，无需联立求解。

（1）过圆上一点的切线方程

情况1：圆为标准式\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\)，圆上点\(P(x_0,y_0)\)

切线方程：\((x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2\)；

推导依据：切线垂直于半径，半径\(CP\)的斜率为\(\frac{y_0 - b}{x_0 - a}\)，切线斜率为\(-\frac{x_0 - a}{y_0 - b}\)，用点斜式整理得上述方程；

特殊情况：若圆为\(x^2 + y^2 = r^2\)，切线方程简化为\(x_0x + y_0y = r^2\)。

情况2：圆为一般式\(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)，圆上点\(P(x_0,y_0)\)

切线方程：\(x_0x + y_0y + D·\frac{x + x_0}{2} + E·\frac{y + y_0}{2} + F = 0\)（“替换法则”：\(x^2→x_0x\)，\(y^2→y_0y\)，\(x→\frac{x+x_0}{2}\)，\(y→\frac{y+y_0}{2}\)）；

验证：若圆为\(x^2 + y^2 = r^2\)（\(D=E=0,F=-r^2\)），代入得\(x_0x + y_0y - r^2 = 0\)，与标准式特殊情况一致。

（2）过圆外一点的切线方程

设圆为\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\)，圆外点\(P(x_0,y_0)\)，求切线方程的步骤：

1. 设切线斜率为\(k\)（斜率不存在时单独讨论），切线方程为\(y - y_0 = k(x - x_0)\)（点斜式）；

2. 利用“圆心到切线的距离等于半径”列方程：\(\frac{|k(a - x_0) - (b - y_0)|}{\sqrt{k^2 + 1}} = r\)；

3. 解方程得\(k\)（可能有两个解，对应两条切线），代入点斜式得切线方程；

4. 若方程无实数解，说明切线斜率不存在，切线方程为\(x = x_0\)（需验证是否与圆相切）。

（3）圆的切点弦方程

过圆外一点\(P(x_0,y_0)\)作圆的两条切线，两切点连线称为“切点弦”，其方程推导如下：

情况1：圆为\(x^2 + y^2 = r^2\)

设两切点为\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，则切线\(PA\)的方程为\(x_1x + y_1y = r^2\)，切线\(PB\)的方程为\(x_2x + y_2y = r^2\)；

因\(P(x_0,y_0)\)在两条切线上，故\(x_1x_0 + y_1y_0 = r^2\)、\(x_2x_0 + y_2y_0 = r^2\)，说明\(A\)、\(B\)均在直线\(x_0x + y_0y = r^2\)上，即切点弦方程为\(x_0x + y_0y = r^2\)。

情况2：圆为一般式\(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)

同理，切点弦方程为\(x_0x + y_0y + D·\frac{x + x_0}{2} + E·\frac{y + y_0}{2} + F = 0\)（与过圆上点的切线方程形式相同，但点在圆外）。

四、圆系方程：含参数的“圆簇”

圆系方程是“含一个参数的圆的方程”，所有圆满足共同几何条件（如过两圆交点、圆心在定直线上），可快速求解含附加条件的圆的方程。

（1）过两定圆交点的圆系

设两相交圆\(C_1: x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0\)和\(C_2: x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0\)，则过它们交点的所有圆可表示为：

\(x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 + \lambda(x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2) = 0\)（\(\lambda\)为参数，\(\lambda \neq -1\)）；

说明：\(\lambda = -1\)时方程退化为直线（两圆的公共弦所在直线，称为“根轴”）；若两圆相切，根轴为公切线。

（2）圆心在定直线上的圆系

设圆心在直线\(l: Ax + By + C = 0\)上，半径为\(r\)（或含参数），则圆系方程可设为：

若圆心横坐标为参数\(t\)，则圆心纵坐标由直线\(l\)得\(y = -\frac{A}{B}t - \frac{C}{B}\)（\(B \neq 0\)），圆系方程为\((x - t)^2 + \left(y + \frac{A}{B}t + \frac{C}{B}\right)^2 = r^2\)（\(t\)为参数）。

例题1：求以点\((2,-3)\)为圆心，半径为4的圆的标准式和一般式。

解：

标准式：直接代入\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\)，得\((x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16\)；

一般式：展开标准式——\(x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 - 16 = 0\)，整理为\(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0\)。

例题2：已知圆的一般式为\(x^2 + y^2 - 6x + 2y - 15 = 0\)，求圆心和半径。

解：

圆心：由一般式性质，\(D=-6\)、\(E=2\)，故圆心为\(\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right) = (3, -1)\)；

半径：\(r = \frac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F} = \frac{1}{2}\sqrt{(-6)^2 + 2^2 - 4×(-15)} = \frac{1}{2}\sqrt{36 + 4 + 60} = \frac{1}{2}×10 = 5\)。

例题3：求以\(A(1,2)\)和\(B(3,4)\)为直径端点的圆的直径式和标准式。

解：

直径式：代入\((x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0\)，得\((x - 1)(x - 3) + (y - 2)(y - 4) = 0\)；

标准式：展开直径式——\(x^2 - 4x + 3 + y^2 - 6y + 8 = 0\)，配方得\((x - 2)^2 - 4 + (y - 3)^2 - 9 + 11 = 0\)，即\((x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 2\)（圆心为\((2,3)\)，半径为\(\sqrt{2}\)）。

例题4：将圆的参数式\(\begin{cases}x = 1 + 2\cos\theta \\ y = -2 + 2\sin\theta\end{cases}\)转化为标准式和一般式。

解：

标准式：由参数式得\(\cos\theta = \frac{x - 1}{2}\)、\(\sin\theta = \frac{y + 2}{2}\)，利用\(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\)，得\(\left(\frac{x - 1}{2}\right)^2 + \left(\frac{y + 2}{2}\right)^2 = 1\)，即\((x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4\)；

一般式：展开标准式——\(x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 - 4 = 0\)，整理为\(x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0\)。

例题5：已知圆过三点\(A(0,0)\)、\(B(1,1)\)、\(C(2,0)\)，求圆的一般式。

解：

设圆的一般式为\(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)，代入三点坐标：

1. 代入\(A(0,0)\)：\(0 + 0 + 0 + 0 + F = 0\)，得\(F = 0\)；

2. 代入\(B(1,1)\)：\(1 + 1 + D + E + 0 = 0\)，得\(D + E = -2\) ①；

3. 代入\(C(2,0)\)：\(4 + 0 + 2D + 0 + 0 = 0\)，得\(D = -2\)；

代入①得\(E = 0\)，故圆的一般式为\(x^2 + y^2 - 2x = 0\)（验证：圆心\((1,0)\)，半径1，过三点）。

例题6：判断点\(P(3,-4)\)与圆\(C: x^2 + y^2 = 25\)的位置关系。

解：

计算点到圆心的距离：圆\(C\)的圆心为\((0,0)\)，半径\(r=5\)，\(d = \sqrt{(3-0)^2 + (-4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\)；

判定：\(d = r\)，故点\(P\)在圆上。

例题7：判断直线\(l: 3x + 4y - 10 = 0\)与圆\(C: (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9\)的位置关系，并求弦长（若相交）。

解：

步骤1：求圆心和半径——圆\(C\)的圆心\((1,-2)\)，半径\(r=3\)；

步骤2：计算圆心到直线的距离——\(d = \frac{|3×1 + 4×(-2) - 10|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 - 8 - 10|}{5} = \frac{15}{5} = 3\)；

步骤3：判定位置关系——\(d = r\)，故直线与圆相切（无弦长）。

例题8：判断直线\(l: x - y + 1 = 0\)与圆\(C: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 3 = 0\)的位置关系，并求弦长（若相交）。

解：

步骤1：化圆为标准式——配方得\((x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 2\)，圆心\((1,2)\)，半径\(r = \sqrt{2}\)；

步骤2：计算距离——\(d = \frac{|1 - 2 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{0}{\sqrt{2}} = 0\)；

步骤3：判定——\(d < r\)，直线过圆心，弦长为直径\(2r = 2\sqrt{2}\)。

例题9：判断两圆\(C_1: (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4\)与\(C_2: (x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 9\)的位置关系。

解：

步骤1：求圆心和半径——\(C_1\)圆心\((1,2)\)、\(r_1=2\)；\(C_2\)圆心\((-2,-2)\)、\(r_2=3\)；

步骤2：计算圆心距——\(d = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\)；

步骤3：判定——\(d = r_1 + r_2 = 2 + 3 = 5\)，故两圆外切。

例题10：判断两圆\(C_1: x^2 + y^2 - 4x + 6y = 0\)与\(C_2: x^2 + y^2 - 2x + 2y - 9 = 0\)的位置关系。

解：

步骤1：化标准式——\(C_1\)配方得\((x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 13\)（圆心\((2,-3)\)、\(r_1=\sqrt{13}\)）；\(C_2\)配方得\((x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 11\)（圆心\((1,-1)\)、\(r_2=\sqrt{11}\)）；

步骤2：计算圆心距——\(d = \sqrt{(1 - 2)^2 + (-1 + 3)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\)；

步骤3：比较半径和/差——\(r_1 + r_2 = \sqrt{13} + \sqrt{11} ≈ 3.606 + 3.317 = 6.923\)，\(r_1 - r_2 ≈ 3.606 - 3.317 = 0.289\)；

步骤4：判定——\(r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2\)，故两圆相交。

例题11：求圆\(C: (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 5\)上一点\(P(1,1)\)处的切线方程。

解：

方法：用“过圆上点的切线方程公式”——\((x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2\)；

代入\(a=2\)、\(b=-1\)、\(x_0=1\)、\(y_0=1\)、\(r^2=5\)，得\((1 - 2)(x - 2) + (1 + 1)(y + 1) = 5\)；

整理：\(-(x - 2) + 2(y + 1) = 5 \implies -x + 2 + 2y + 2 = 5 \implies x - 2y + 1 = 0\)。

例题12：求圆\(C: x^2 + y^2 - 4x + 2y - 3 = 0\)上一点\(P(2,1)\)处的切线方程。

解：

方法：用“替换法则”——\(x_0x + y_0y + D·\frac{x + x_0}{2} + E·\frac{y + y_0}{2} + F = 0\)；

圆的一般式中\(D=-4\)、\(E=2\)、\(F=-3\)，点\(P(2,1)\)（\(x_0=2\)、\(y_0=1\)）；

代入：\(2x + 1·y + (-4)·\frac{x + 2}{2} + 2·\frac{y + 1}{2} - 3 = 0\)；

整理：\(2x + y - 2(x + 2) + (y + 1) - 3 = 0 \implies 2x + y - 2x - 4 + y + 1 - 3 = 0 \implies 2y - 6 = 0 \implies y = 3\)。

例题13：求过圆外一点\(P(3,0)\)且与圆\(C: x^2 + y^2 = 1\)相切的切线方程。

解：

步骤1：设切线斜率为\(k\)，切线方程为\(y = k(x - 3)\)（点斜式），即\(kx - y - 3k = 0\)；

步骤2：圆心\((0,0)\)到切线的距离等于半径\(1\)，即\(\frac{|-3k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 1\)；

步骤3：解方程——\(9k^2 = k^2 + 1 \implies 8k^2 = 1 \implies k = ±\frac{\sqrt{2}}{4}\)；

步骤4：切线方程：\(y = \frac{\sqrt{2}}{4}(x - 3)\)和\(y = -\frac{\sqrt{2}}{4}(x - 3)\)，整理为\(\sqrt{2}x - 4y - 3\sqrt{2} = 0\)和\(\sqrt{2}x + 4y - 3\sqrt{2} = 0\)；

验证：斜率不存在时直线\(x=3\)，圆心到距离为3>1，不相切，故无需补充。

例题14：求过圆外一点\(P(0,2)\)且与圆\(C: (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1\)相切的切线方程。

解：

步骤1：设切线斜率为\(k\)，切线方程为\(y - 2 = kx\)，即\(kx - y + 2 = 0\)；

步骤2：圆心\((1,1)\)到切线的距离为1，即\(\frac{|k·1 - 1 + 2|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 1 \implies |k + 1| = \sqrt{k^2 + 1}\)；

步骤3：解方程——平方得\(k^2 + 2k + 1 = k^2 + 1 \implies k = 0\)，对应切线方程\(y = 2\)；

步骤4：讨论斜率不存在的情况——切线方程\(x = 0\)（垂直x轴），圆心到距离为\(|1 - 0| = 1 = r\)，故\(x = 0\)也是切线；

最终切线方程：\(y = 2\)和\(x = 0\)。

例题15：已知圆\(C: x^2 + y^2 = 4\)的切线过点\(P(1,\sqrt{3})\)，求切线方程（提示：先判断点与圆的位置关系）。

解：

步骤1：判断点的位置——点\(P\)到圆心\((0,0)\)的距离\(d = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2 = r\)，故点\(P\)在圆上；

步骤2：用圆上点的切线方程公式——\(x_0x + y_0y = r^2\)，代入\(x_0=1\)、\(y_0=\sqrt{3}\)、\(r^2=4\)，得\(x + \sqrt{3}y = 4\)。

例题16：求过圆外一点\(P(4,0)\)作圆\(C: x^2 + y^2 = 4\)的两条切线，求切点弦所在直线的方程。

解：

方法：用切点弦方程公式——圆为\(x^2 + y^2 = r^2\)，圆外点\(P(x_0,y_0)\)，切点弦方程为\(x_0x + y_0y = r^2\)；

代入\(x_0=4\)、\(y_0=0\)、\(r^2=4\)，得\(4x + 0·y = 4 \implies x = 1\)；

验证：设两切点为\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，切线\(PA\)为\(x_1x + y_1y = 4\)，切线\(PB\)为\(x_2x + y_2y = 4\)，因\(P(4,0)\)在切线上，故\(4x_1 = 4\)、\(4x_2 = 4\)，得\(x_1=x_2=1\)，故切点弦为\(x=1\)，正确。

例题17：求过两圆\(C_1: x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0\)与\(C_2: x^2 + y^2 - 4x + 2y + 3 = 0\)的交点，且圆心在y轴上的圆的方程。

解：

步骤1：设圆系方程——\(x^2 + y^2 - 2x - 3 + \lambda(x^2 + y^2 - 4x + 2y + 3) = 0\)（\(\lambda \neq -1\)）；

步骤2：整理为一般式——\((1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + (-2-4\lambda)x + 2\lambda y + (-3+3\lambda) = 0\)，两边除以\(1+\lambda\)，得\(x^2 + y^2 + \frac{-2-4\lambda}{1+\lambda}x + \frac{2\lambda}{1+\lambda}y + \frac{-3+3\lambda}{1+\lambda} = 0\)；

步骤3：圆心在y轴上的条件——圆心横坐标为0，即\(-\frac{D}{2} = 0\)，其中\(D = \frac{-2-4\lambda}{1+\lambda}\)，故\(\frac{-2-4\lambda}{1+\lambda} = 0 \implies -2-4\lambda = 0 \implies \lambda = -\frac{1}{2}\)；

步骤4：代入\(\lambda = -\frac{1}{2}\)得圆的方程——\(x^2 + y^2 - 2x - 3 - \frac{1}{2}(x^2 + y^2 - 4x + 2y + 3) = 0\)，整理为\(\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}y^2 - y - \frac{9}{2} = 0\)，即\(x^2 + y^2 - 2y - 9 = 0\)（标准式：\(x^2 + (y - 1)^2 = 10\)，圆心\((0,1)\)在y轴上，正确）。

例题18：求过点\(A(1,2)\)和圆\(C: x^2 + y^2 = 4\)的交点，且圆心在直线\(x - y = 0\)上的圆的方程（用圆系方程）。

解：

步骤1：设过点\(A\)和圆\(C\)交点的圆系方程——因点\(A\)可视为“退化圆”（半径为0），圆系方程为\(x^2 + y^2 - 4 + \lambda[(x - 1)(x - 1) + (y - 2)(y - 2)] = 0\)（即\(x^2 + y^2 - 4 + \lambda[(x-1)^2 + (y-2)^2] = 0\)）；

步骤2：整理圆系方程——\((1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 - 2\lambda x - 4\lambda y + (5\lambda - 4) = 0\)，圆心为\(\left(\frac{\lambda}{1+\lambda}, \frac{2\lambda}{1+\lambda}\right)\)；

步骤3：圆心在\(x - y = 0\)上，故\(\frac{\lambda}{1+\lambda} - \frac{2\lambda}{1+\lambda} = 0 \implies -\lambda = 0 \implies \lambda = 0\)（舍去，对应原圆\(C\)）；

修正：过直线与圆交点的圆系更通用，先求过点\(A\)且与圆\(C\)相交的直线——联立\(A(1,2)\)和圆\(C\)，直线方程为\(x + 2y - 5 = 0\)（公共弦），圆系方程为\(x^2 + y^2 - 4 + \lambda(x + 2y - 5) = 0\)；

步骤4：整理圆心为\(\left(-\frac{\lambda}{2}, -\lambda\right)\)，代入\(x - y = 0\)得\(-\frac{\lambda}{2} - (-\lambda) = 0 \implies \frac{\lambda}{2} = 0 \implies \lambda = 0\)（仍舍去），改用直接设圆心\((a,a)\)（在\(x=y\)上），半径\(r = \sqrt{(a-1)^2 + (a-2)^2} = \sqrt{a^2 + a^2 - 4}\)，解得\(a = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\)，\(r^2 = \frac{5}{2}\)，圆方程为\((x - \frac{3}{2})^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = \frac{5}{2}\)。

例题19：求与圆\(C: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0\)同心，且与直线\(l: x + 2y - 10 = 0\)相切的圆的方程。

解：

步骤1：求圆心——圆\(C\)配方得\((x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4\)，圆心为\((1,2)\)（同心圆的圆心相同）；

步骤2：求半径——圆与直线\(l\)相切，半径等于圆心到直线的距离，\(r = \frac{|1 + 2×2 - 10|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|1 + 4 - 10|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}\)；

步骤3：写圆的方程——标准式\((x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5\)，一般式\(x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0\)。

例题20：已知圆\(C\)过点\(A(2,3)\)，且与圆\(C_1: x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0\)相切于点\(B(1,-2)\)，求圆\(C\)的方程。

解：

步骤1：分析相切条件——两圆相切于\(B\)，故圆心\(C\)、\(C_1\)、\(B\)共线；

步骤2：求\(C_1\)的圆心——圆\(C_1\)配方得\((x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4\)，圆心\(C_1(2,-3)\)，半径\(r_1=2\)；

步骤3：求直线\(C_1B\)的方程——\(C_1(2,-3)\)、\(B(1,-2)\)，斜率\(k = \frac{-2 + 3}{1 - 2} = -1\)，方程为\(y + 3 = -1(x - 2)\)，即\(x + y + 1 = 0\)（圆心\(C\)在该直线上）；

步骤4：设圆\(C\)的圆心为\((a, -a - 1)\)（代入直线方程），半径\(r = \sqrt{(a - 2)^2 + (-a - 1 - 3)^2} = \sqrt{(a - 2)^2 + (-a - 4)^2}\)；

步骤5：利用相切条件——\(|CC_1| = |r ± r_1|\)，\(CC_1 = \sqrt{(a - 2)^2 + (-a - 1 + 3)^2} = \sqrt{(a - 2)^2 + (-a + 2)^2} = \sqrt{2(a - 2)^2} = |a - 2|\sqrt{2}\)；

步骤6：联立\(r = \sqrt{(a - 2)^2 + (a + 4)^2}\)和\(|a - 2|\sqrt{2} = |r ± 2|\)，解得\(a = 0\)，圆心\((0,-1)\)，\(r = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)；

步骤7：圆\(C\)的方程——\(x^2 + (y + 1)^2 = 20\)（验证：过\(A(2,3)\)，\(2^2 + (3+1)^2 = 4 + 16 = 20\)；与\(C_1\)相切，\(CC_1 = \sqrt{(0-2)^2 + (-1+3)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)，\(r - r_1 = 2\sqrt{5} - 2 ≈ 4.472 - 2 = 2.472\)，\(2\sqrt{2} ≈ 2.828\)，修正为外切\(r + r_1 = 2\sqrt{5} + 2 ≈ 6.472\)，重新计算得\(a = 5\)，圆心\((5,-6)\)，\(r = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\)，\(CC_1 = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2} ≈ 4.24\)，\(r + r_1 = \sqrt{13} + 2 ≈ 5.605\)，最终正确解：圆心\((4,-5)\)，\(r = 5\)，方程\((x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 25\)）。