反常积分：无穷限、无界函数

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在定积分中，我们要求积分区间有限且被积函数在区间上有界，但实际问题中常需处理“积分区间无限”或“被积函数在区间内无界”的积分，这类积分称为反常积分（广义积分）。反常积分的核心是通过“极限思想”将其转化为定积分的极限，再判断极限是否存在（收敛）或不存在（发散）。

反常积分分为无穷限反常积分（积分区间无限）和无界函数反常积分（被积函数在区间内某点无界，也称“瑕积分”），两类积分的定义均基于“定积分+极限”的逻辑。

第一类：无穷限反常积分（积分区间无限）

积分区间为 \( [a, +\infty) \)、\( (-\infty, b] \) 或 \( (-\infty, +\infty) \)，核心是对“无限区间”取极限，转化为有限区间的定积分。

1. 定义1：积分区间 \( [a, +\infty) \)

设函数 \( f(x) \) 在 \( [a, +\infty) \) 上连续，取 \( t > a \)，若极限 \( \lim_{t \to +\infty} \int_a^t f(x) dx \) 存在，则称该反常积分收敛，极限值为反常积分的值；若极限不存在，则称反常积分发散。记为：

\( \int_a^{+\infty} f(x) dx = \lim_{t \to +\infty} \int_a^t f(x) dx \)

2. 定义2：积分区间 \( (-\infty, b] \)

设函数 \( f(x) \) 在 \( (-\infty, b] \) 上连续，取 \( t < b \)，若极限 \( \lim_{t \to -\infty} \int_t^b f(x) dx \) 存在，则反常积分收敛，否则发散。记为：

\( \int_{-\infty}^b f(x) dx = \lim_{t \to -\infty} \int_t^b f(x) dx \)

3. 定义3：积分区间 \( (-\infty, +\infty) \)

设函数 \( f(x) \) 在 \( (-\infty, +\infty) \) 上连续，取任意常数 \( c \)，若反常积分 \( \int_{-\infty}^c f(x) dx \) 和 \( \int_c^{+\infty} f(x) dx \) 均收敛，则称 \( \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx \) 收敛，且值为两者之和；若至少一个发散，则原积分发散。记为：

\( \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^c f(x) dx + \int_c^{+\infty} f(x) dx \)

（通常取 \( c = 0 \)，计算更简便）

第二类：无界函数反常积分（瑕积分，被积函数无界）

被积函数 \( f(x) \) 在积分区间内某点（称为瑕点）的邻域内无界（即极限为 \( \pm\infty \)），积分区间有限，核心是对“瑕点附近的区间”取极限，转化为不含瑕点的定积分。

1. 定义1：瑕点在区间左端点 \( x = a \)

设函数 \( f(x) \) 在 \( (a, b] \) 上连续，且 \( \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty \)（\( a \) 为瑕点），取 \( \varepsilon > 0 \)，若极限 \( \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x) dx \) 存在，则反常积分收敛，否则发散。记为：

\( \int_a^b f(x) dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x) dx \)

2. 定义2：瑕点在区间右端点 \( x = b \)

设函数 \( f(x) \) 在 \( [a, b) \) 上连续，且 \( \lim_{x \to b^-} f(x) = \pm\infty \)（\( b \) 为瑕点），取 \( \varepsilon > 0 \)，若极限 \( \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_a^{b-\varepsilon} f(x) dx \) 存在，则反常积分收敛，否则发散。记为：

\( \int_a^b f(x) dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_a^{b-\varepsilon} f(x) dx \)

3. 定义3：瑕点在区间内部 \( x = c \)（\( a < c < b \)）

设函数 \( f(x) \) 在 \( [a, c) \) 和 \( (c, b] \) 上连续，且 \( \lim_{x \to c} f(x) = \pm\infty \)（\( c \) 为瑕点），若反常积分 \( \int_a^c f(x) dx \) 和 \( \int_c^b f(x) dx \) 均收敛，则称 \( \int_a^b f(x) dx \) 收敛，且值为两者之和；若至少一个发散，则原积分发散。记为：

\( \int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx \)

关键概念辨析

1. 瑕点的判断：瑕点是被积函数无界的点，常见于分母为0的点（如 \( \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx \) 中 \( x = 0 \)）、对数函数的真数为0的点（如 \( \int_0^1 \ln x dx \) 中 \( x = 0 \)）。

2. 收敛与发散的本质：反常积分的收敛性等价于“定积分的极限存在”，发散则等价于“极限不存在（包括极限为 \( \pm\infty \)）”。

3. 计算逻辑：先确定反常积分的类型（无穷限/瑕积分）→ 找到对应的极限表达式→ 计算定积分→ 求极限→ 判断收敛性并给出结果（若收敛）。

例1：计算 \( \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx \)（幂函数型，无穷限积分）

步骤1：按定义转化为极限，取 \( t > 1 \)：

\( \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{t \to +\infty} \int_1^t x^{-2} dx \)

步骤2：计算定积分（用幂函数积分公式 \( \int x^\mu dx = \frac{x^{\mu+1}}{\mu+1} + C \)，\( \mu = -2 \)）：

\( \int_1^t x^{-2} dx = \left. \frac{x^{-1}}{-1} \right|_1^t = -\frac{1}{t} - (-\frac{1}{1}) = 1 - \frac{1}{t} \)

步骤3：求极限：

\( \lim_{t \to +\infty} (1 - \frac{1}{t}) = 1 - 0 = 1 \)

结论：反常积分收敛，值为1。

例2：判断 \( \int_1^{+\infty} \frac{1}{x} dx \) 的收敛性（调和函数型，无穷限积分）

步骤1：转化为极限：

\( \int_1^{+\infty} \frac{1}{x} dx = \lim_{t \to +\infty} \int_1^t \frac{1}{x} dx \)

步骤2：计算定积分（对数积分公式）：

\( \int_1^t \frac{1}{x} dx = \ln t - \ln 1 = \ln t \)

步骤3：求极限：

\( \lim_{t \to +\infty} \ln t = +\infty \)

结论：极限不存在，反常积分发散。

例3：计算 \( \int_0^{+\infty} e^{-kx} dx \)（\( k > 0 \)，指数函数型，无穷限积分）

步骤1：转化为极限，取 \( t > 0 \)：

\( \int_0^{+\infty} e^{-kx} dx = \lim_{t \to +\infty} \int_0^t e^{-kx} dx \)

步骤2：计算定积分（凑微分，令 \( u = -kx \)，\( du = -k dx \)）：

\( \int_0^t e^{-kx} dx = -\frac{1}{k} \int_0^t e^{-kx} d(-kx) = -\frac{1}{k} \left. e^{-kx} \right|_0^t = -\frac{1}{k}(e^{-kt} - e^0) = \frac{1}{k}(1 - e^{-kt}) \)

步骤3：求极限（\( k > 0 \)，\( t \to +\infty \) 时 \( e^{-kt} \to 0 \)）：

\( \lim_{t \to +\infty} \frac{1}{k}(1 - e^{-kt}) = \frac{1}{k}(1 - 0) = \frac{1}{k} \)

结论：反常积分收敛，值为 \( \frac{1}{k} \)。

例4：判断 \( \int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{x} dx \) 的收敛性（负无穷限积分）

步骤1：转化为极限，取 \( t < -1 \)：

\( \int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{x} dx = \lim_{t \to -\infty} \int_t^{-1} \frac{1}{x} dx \)

步骤2：计算定积分：

\( \int_t^{-1} \frac{1}{x} dx = \ln|-1| - \ln|t| = 0 - \ln(-t) = -\ln(-t) \)（因 \( t < 0 \)，\( |t| = -t \)）

步骤3：求极限：

\( \lim_{t \to -\infty} -\ln(-t) = -\lim_{u \to +\infty} \ln u = -\infty \)（令 \( u = -t \)，\( u \to +\infty \)）

结论：极限不存在，反常积分发散。

例5：计算 \( \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1 + x^2} dx \)（对称无穷限积分，反正切函数型）

步骤1：按定义取 \( c = 0 \)，拆分为两个积分：

\( \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1 + x^2} dx = \int_{-\infty}^0 \frac{1}{1 + x^2} dx + \int_0^{+\infty} \frac{1}{1 + x^2} dx \)

步骤2：分别计算两个积分的极限：

对 \( \int_0^{+\infty} \frac{1}{1 + x^2} dx \)：\( \lim_{t \to +\infty} \int_0^t \frac{1}{1 + x^2} dx = \lim_{t \to +\infty} \arctan t = \frac{\pi}{2} \)

对 \( \int_{-\infty}^0 \frac{1}{1 + x^2} dx \)：\( \lim_{t \to -\infty} \int_t^0 \frac{1}{1 + x^2} dx = \lim_{t \to -\infty} (\arctan 0 - \arctan t) = 0 - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \)

步骤3：求和：

\( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi \)

结论：反常积分收敛，值为 \( \pi \)。

例6：计算 \( \int_2^{+\infty} \frac{1}{x \ln x} dx \)（对数复合函数型，无穷限积分）

步骤1：转化为极限，取 \( t > 2 \)：

\( \int_2^{+\infty} \frac{1}{x \ln x} dx = \lim_{t \to +\infty} \int_2^t \frac{1}{x \ln x} dx \)

步骤2：计算定积分（凑微分，令 \( u = \ln x \)，\( du = \frac{1}{x} dx \)）：

\( \int_2^t \frac{1}{x \ln x} dx = \int_{\ln 2}^{\ln t} \frac{1}{u} du = \ln(\ln t) - \ln(\ln 2) \)

步骤3：求极限：

\( \lim_{t \to +\infty} [\ln(\ln t) - \ln(\ln 2)] = +\infty \)

结论：反常积分发散。

例7：判断 \( \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx \) 的收敛性（幂函数型无穷限积分，p-积分）

步骤1：分情况讨论 \( p \) 的取值：

情况1：\( p = 1 \)：即例2，\( \int_1^{+\infty} \frac{1}{x} dx = \lim_{t \to +\infty} \ln t = +\infty \)，发散；

情况2：\( p > 1 \)：计算极限：

\( \lim_{t \to +\infty} \int_1^t x^{-p} dx = \lim_{t \to +\infty} \left. \frac{x^{-p+1}}{-p+1} \right|_1^t = \lim_{t \to +\infty} \frac{1}{1 - p}(t^{1 - p} - 1) = \frac{1}{p - 1} \)（因 \( 1 - p < 0 \)，\( t^{1 - p} \to 0 \)），收敛；

情况3：\( p < 1 \)：计算极限：

\( \lim_{t \to +\infty} \frac{1}{1 - p}(t^{1 - p} - 1) = +\infty \)（因 \( 1 - p > 0 \)，\( t^{1 - p} \to +\infty \)），发散。

结论：\( \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx \) 当 \( p > 1 \) 时收敛（值为 \( \frac{1}{p - 1} \)），当 \( p \leq 1 \) 时发散（p-积分收敛准则）。

例8：计算 \( \int_0^{+\infty} x e^{-x} dx \)（幂函数×指数函数，分部积分+无穷限）

步骤1：转化为极限，取 \( t > 0 \)：

\( \int_0^{+\infty} x e^{-x} dx = \lim_{t \to +\infty} \int_0^t x e^{-x} dx \)

步骤2：计算定积分（分部积分，令 \( u = x \)，\( dv = e^{-x} dx \)，则 \( du = dx \)，\( v = -e^{-x} \)）：

\( \int_0^t x e^{-x} dx = -x e^{-x} \bigg|_0^t + \int_0^t e^{-x} dx = -t e^{-t} - e^{-x} \bigg|_0^t = -t e^{-t} - (e^{-t} - 1) = 1 - t e^{-t} - e^{-t} \)

步骤3：求极限（\( t \to +\infty \) 时，\( e^{-t} \to 0 \)，\( t e^{-t} = \frac{t}{e^t} \to 0 \)，洛必达法则可证）：

\( \lim_{t \to +\infty} (1 - t e^{-t} - e^{-t}) = 1 - 0 - 0 = 1 \)

结论：反常积分收敛，值为1。

例9：判断 \( \int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx \) 的收敛性（Dirichlet判别法应用）

步骤1：Dirichlet判别法：若 \( \int_a^t f(x) dx \) 在 \( t \geq a \) 上有界，且 \( g(x) \) 在 \( [a, +\infty) \) 上单调趋于0，则 \( \int_a^{+\infty} f(x) g(x) dx \) 收敛。

步骤2：令 \( f(x) = \sin x \)，\( g(x) = \frac{1}{x} \)：

\( \int_1^t \sin x dx = \cos 1 - \cos t \)，因 \( |\cos t| \leq 1 \)，故 \( |\int_1^t \sin x dx| \leq |\cos 1| + 1 \)，有界；

\( g(x) = \frac{1}{x} \) 在 \( [1, +\infty) \) 上单调递减，且 \( \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 \)。

结论：满足Dirichlet判别法，反常积分收敛（注：此积分为“条件收敛”，\( \int_1^{+\infty} \frac{|\sin x|}{x} dx \) 发散）。

例10：计算 \( \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2 + 2x + 2} dx \)（分式化简，无穷限积分）

步骤1：先化简被积函数（配方法）：

\( x^2 + 2x + 2 = (x + 1)^2 + 1 \)

步骤2：转化为极限，取 \( t > 1 \)：

\( \int_1^{+\infty} \frac{1}{(x + 1)^2 + 1} dx = \lim_{t \to +\infty} \int_1^t \frac{1}{(x + 1)^2 + 1} dx \)

步骤3：计算定积分（凑微分，令 \( u = x + 1 \)，\( du = dx \)）：

\( \int_1^t \frac{1}{u^2 + 1} du = \arctan u \bigg|_1^t = \arctan(t + 1) - \arctan 2 \)

步骤4：求极限：

\( \lim_{t \to +\infty} [\arctan(t + 1) - \arctan 2] = \frac{\pi}{2} - \arctan 2 \)

结论：反常积分收敛，值为 \( \frac{\pi}{2} - \arctan 2 \)（或用 \( \arccot 2 \) 表示，因 \( \arctan x + \arccot x = \frac{\pi}{2} \)）。

例11：计算 \( \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx \)（瑕点在左端点 \( x = 0 \)，幂函数型瑕积分）

步骤1：判断瑕点：\( \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{x}} = +\infty \)，故 \( x = 0 \) 是瑕点；

步骤2：按定义转化为极限，取 \( \varepsilon > 0 \)：

\( \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{\varepsilon}^1 x^{-\frac{1}{2}} dx \)

步骤3：计算定积分（幂函数积分公式）：

\( \int_{\varepsilon}^1 x^{-\frac{1}{2}} dx = 2x^{\frac{1}{2}} \bigg|_{\varepsilon}^1 = 2(1 - \sqrt{\varepsilon}) \)

步骤4：求极限：

\( \lim_{\varepsilon \to 0^+} 2(1 - \sqrt{\varepsilon}) = 2(1 - 0) = 2 \)

结论：反常积分收敛，值为2。

例12：判断 \( \int_0^1 \frac{1}{x} dx \) 的收敛性（瑕点在 \( x = 0 \)，调和函数型瑕积分）

步骤1：瑕点：\( \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty \)，\( x = 0 \) 是瑕点；

步骤2：转化为极限：

\( \int_0^1 \frac{1}{x} dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{\varepsilon}^1 \frac{1}{x} dx \)

步骤3：计算定积分：

\( \int_{\varepsilon}^1 \frac{1}{x} dx = \ln 1 - \ln \varepsilon = -\ln \varepsilon \)

步骤4：求极限：

\( \lim_{\varepsilon \to 0^+} (-\ln \varepsilon) = +\infty \)

结论：极限不存在，反常积分发散。

例13：计算 \( \int_0^1 \ln x dx \)（瑕点在 \( x = 0 \)，对数函数型瑕积分，分部积分）

步骤1：瑕点：\( \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty \)，\( x = 0 \) 是瑕点；

步骤2：转化为极限：

\( \int_0^1 \ln x dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{\varepsilon}^1 \ln x dx \)

步骤3：计算定积分（分部积分，令 \( u = \ln x \)，\( dv = dx \)，则 \( du = \frac{1}{x} dx \)，\( v = x \)）：

\( \int_{\varepsilon}^1 \ln x dx = x \ln x \bigg|_{\varepsilon}^1 - \int_{\varepsilon}^1 x \cdot \frac{1}{x} dx = (1 \cdot \ln 1 - \varepsilon \ln \varepsilon) - \int_{\varepsilon}^1 1 dx = -\varepsilon \ln \varepsilon - (1 - \varepsilon) \)

步骤4：求极限（\( \varepsilon \to 0^+ \) 时，\( \varepsilon \ln \varepsilon = \frac{\ln \varepsilon}{\frac{1}{\varepsilon}} \to 0 \)，洛必达法则可证）：

\( \lim_{\varepsilon \to 0^+} [-\varepsilon \ln \varepsilon - 1 + \varepsilon] = -0 - 1 + 0 = -1 \)

结论：反常积分收敛，值为-1。

例14：判断 \( \int_1^2 \frac{1}{(x - 1)^2} dx \) 的收敛性（瑕点在左端点 \( x = 1 \)）

步骤1：瑕点：\( \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{(x - 1)^2} = +\infty \)，\( x = 1 \) 是瑕点；

步骤2：转化为极限，取 \( \varepsilon > 0 \)：

\( \int_1^2 \frac{1}{(x - 1)^2} dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{1+\varepsilon}^2 (x - 1)^{-2} dx \)

步骤3：计算定积分（凑微分，令 \( u = x - 1 \)）：

\( \int_{1+\varepsilon}^2 u^{-2} du = -u^{-1} \bigg|_{\varepsilon}^1 = -1 - (-\frac{1}{\varepsilon}) = \frac{1}{\varepsilon} - 1 \)

步骤4：求极限：

\( \lim_{\varepsilon \to 0^+} (\frac{1}{\varepsilon} - 1) = +\infty \)

结论：反常积分发散。

例15：计算 \( \int_0^2 \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} dx \)（瑕点在右端点 \( x = 2 \)，根式型瑕积分）

步骤1：瑕点：\( \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} = +\infty \)，\( x = 2 \) 是瑕点；

步骤2：转化为极限，取 \( \varepsilon > 0 \)：

\( \int_0^2 \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_0^{2 - \varepsilon} \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} dx \)

步骤3：计算定积分（反正弦函数积分公式 \( \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin \frac{x}{a} + C \)，\( a = 2 \)）：

\( \int_0^{2 - \varepsilon} \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} dx = \arcsin \frac{2 - \varepsilon}{2} - \arcsin 0 = \arcsin \frac{2 - \varepsilon}{2} \)

步骤4：求极限：

\( \lim_{\varepsilon \to 0^+} \arcsin \frac{2 - \varepsilon}{2} = \arcsin 1 = \frac{\pi}{2} \)

结论：反常积分收敛，值为 \( \frac{\pi}{2} \)。

例16：判断 \( \int_0^1 \frac{1}{x^q} dx \) 的收敛性（幂函数型瑕积分，q-积分）

步骤1：分情况讨论 \( q \) 的取值（瑕点为 \( x = 0 \)）：

情况1：\( q = 1 \)：即例12，\( \int_0^1 \frac{1}{x} dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} (-\ln \varepsilon) = +\infty \)，发散；

情况2：\( q < 1 \)：计算极限：

\( \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{\varepsilon}^1 x^{-q} dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left. \frac{x^{1 - q}}{1 - q} \right|_{\varepsilon}^1 = \frac{1}{1 - q} \lim_{\varepsilon \to 0^+} (1 - \varepsilon^{1 - q}) = \frac{1}{1 - q} \)（因 \( 1 - q > 0 \)，\( \varepsilon^{1 - q} \to 0 \)），收敛；

情况3：\( q > 1 \)：计算极限：

\( \lim_{\varepsilon \to 0^+} \frac{1}{1 - q} (1 - \varepsilon^{1 - q}) = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \frac{1}{1 - q} (1 - \frac{1}{\varepsilon^{q - 1}}) = +\infty \)（因 \( q - 1 > 0 \)，\( \varepsilon^{q - 1} \to 0 \)），发散。

结论：\( \int_0^1 \frac{1}{x^q} dx \) 当 \( q < 1 \) 时收敛（值为 \( \frac{1}{1 - q} \)），当 \( q \geq 1 \) 时发散（瑕积分q-积分收敛准则）。

例17：计算 \( \int_1^3 \frac{1}{\sqrt{(x - 1)(3 - x)}} dx \)（瑕点在区间内部 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \)）

步骤1：判断瑕点：\( \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\sqrt{(x - 1)(3 - x)}} = +\infty \)，\( \lim_{x \to 3^-} \frac{1}{\sqrt{(x - 1)(3 - x)}} = +\infty \)，故瑕点为 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \)；

步骤2：按定义拆分为两个积分（取中间点 \( c = 2 \)）：

\( \int_1^3 \frac{1}{\sqrt{(x - 1)(3 - x)}} dx = \int_1^2 \frac{1}{\sqrt{(x - 1)(3 - x)}} dx + \int_2^3 \frac{1}{\sqrt{(x - 1)(3 - x)}} dx \)

步骤3：分别计算两个积分的极限（先化简被积函数，配方法）：

\( (x - 1)(3 - x) = -x^2 + 4x - 3 = -(x^2 - 4x + 4) + 1 = 1 - (x - 2)^2 \)

因此被积函数化为 \( \frac{1}{\sqrt{1 - (x - 2)^2}} \)，积分公式为 \( \arcsin(x - 2) + C \)；

对 \( \int_1^2 \)：\( \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{1+\varepsilon}^2 \frac{1}{\sqrt{1 - (x - 2)^2}} dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} [\arcsin 0 - \arcsin(-1 + \varepsilon)] = 0 - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \)

对 \( \int_2^3 \)：\( \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_2^{3 - \varepsilon} \frac{1}{\sqrt{1 - (x - 2)^2}} dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} [\arcsin(1 - \varepsilon) - \arcsin 0] = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2} \)

步骤4：求和：

\( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi \)

结论：反常积分收敛，值为 \( \pi \)。

例18：计算 \( \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx \)（瑕点在 \( x = 1 \)，凑微分法）

步骤1：瑕点：\( \lim_{x \to 1^-} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = +\infty \)，\( x = 1 \) 是瑕点；

步骤2：转化为极限：

\( \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_0^{1 - \varepsilon} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx \)

步骤3：计算定积分（凑微分，令 \( u = 1 - x^2 \)，\( du = -2x dx \)，即 \( - \frac{1}{2} du = x dx \)）：

\( \int_0^{1 - \varepsilon} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = -\frac{1}{2} \int_1^{1 - (1 - \varepsilon)^2} u^{-\frac{1}{2}} du = -\frac{1}{2} \cdot 2u^{\frac{1}{2}} \bigg|_1^{\varepsilon(2 - \varepsilon)} = -[\sqrt{\varepsilon(2 - \varepsilon)} - 1] = 1 - \sqrt{\varepsilon(2 - \varepsilon)} \)

步骤4：求极限：

\( \lim_{\varepsilon \to 0^+} [1 - \sqrt{\varepsilon(2 - \varepsilon)}] = 1 - 0 = 1 \)

结论：反常积分收敛，值为1。

例19：判断 \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x} dx \) 的收敛性（瑕点在 \( x = 0 \)，等价无穷小替换）

步骤1：瑕点：\( \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sin x} = +\infty \)，\( x = 0 \) 是瑕点；

步骤2：转化为极限：

\( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x} dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{\varepsilon}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x} dx \)

步骤3：简化判断（等价无穷小替换，\( x \to 0^+ \) 时 \( \sin x \sim x \)）：

反常积分的收敛性由瑕点附近的被积函数主导，即 \( \int_{\varepsilon}^{\delta} \frac{1}{\sin x} dx \sim \int_{\varepsilon}^{\delta} \frac{1}{x} dx \)（\( \delta \) 为小正数）；

由例12知 \( \int_{\varepsilon}^{\delta} \frac{1}{x} dx = \ln \delta - \ln \varepsilon \to +\infty \)（\( \varepsilon \to 0^+ \)），故原积分发散。

步骤4：验证（直接计算定积分）：

\( \int \frac{1}{\sin x} dx = \ln|\tan \frac{x}{2}| + C \)，因此 \( \lim_{\varepsilon \to 0^+} [\ln \tan \frac{\pi}{4} - \ln \tan \frac{\varepsilon}{2}] = \lim_{\varepsilon \to 0^+} [0 - \ln \frac{\varepsilon}{2}] = +\infty \)

结论：反常积分发散。

例20：计算 \( \int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx \)（瑕点在两端点 \( x = -1 \) 和 \( x = 1 \)，对称区间）

步骤1：瑕点：\( \lim_{x \to -1^+} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = +\infty \)，\( \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = +\infty \)，瑕点为 \( x = \pm1 \)；

步骤2：转化为极限（取中间点 \( c = 0 \)，利用偶函数对称性简化）：

\( \int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = 2 \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = 2 \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_0^{1 - \varepsilon} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx \)

步骤3：计算极限（参考例15，\( \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \arcsin x + C \)）：

\( 2 \lim_{\varepsilon \to 0^+} [\arcsin(1 - \varepsilon) - \arcsin 0] = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi \)

结论：反常积分收敛，值为 \( \pi \)（此积分几何意义为单位圆上半部分的弧长，与结果一致）。