椭圆方程

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一、椭圆的基本概念与标准方程

1. 定义

平面内与两个定点 \(F_1\)、\(F_2\)（称为焦点）的距离之和等于常数（记为 \(2a\)，且 \(2a > |F_1F_2| = 2c\)，\(a > c > 0\)）的点的轨迹叫做椭圆。

核心条件：\(|PF_1| + |PF_2| = 2a\)（\(P\) 为椭圆上任意一点），其中 \(2c\) 为两焦点间距离，\(b = \sqrt{a^2 - c^2}\)（\(b > 0\)，称为短半轴长），满足 \(a^2 = b^2 + c^2\)（椭圆的核心关系式）。

2. 标准方程

椭圆的标准方程分两种形式，取决于焦点在x轴还是y轴上，核心是“焦点在分母大的项对应的轴上”。

（1）焦点在x轴上

方程形式：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)）

焦点坐标：\(F_1(-c, 0)\)，\(F_2(c, 0)\)（\(c = \sqrt{a^2 - b^2}\)）

顶点坐标：左顶点\((-a, 0)\)、右顶点\((a, 0)\)（实轴顶点），上顶点\((0, b)\)、下顶点\((0, -b)\)（虚轴顶点）

（2）焦点在y轴上

方程形式：\(\frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)）

焦点坐标：\(F_1(0, -c)\)，\(F_2(0, c)\)（\(c = \sqrt{a^2 - b^2}\)）

顶点坐标：上顶点\((0, a)\)、下顶点\((0, -a)\)（实轴顶点），左顶点\((-b, 0)\)、右顶点\((b, 0)\)（虚轴顶点）

（3）特殊情况：中心在点\((h, k)\)的椭圆（平移后的方程）

若椭圆中心不在原点，而是在点\((h, k)\)，则标准方程需进行平移变换：

焦点在平行于x轴的直线上：\(\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)）

焦点在平行于y轴的直线上：\(\frac{(y - k)^2}{a^2} + \frac{(x - h)^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)）

二、椭圆的核心性质

1. 基本量关系

长半轴长：\(a\)（椭圆上点到中心的最大距离，对应“长轴”长度为\(2a\)）

短半轴长：\(b\)（椭圆上点到中心的最小距离，对应“短轴”长度为\(2b\)）

焦距：\(2c\)（两焦点间距离，\(c = \sqrt{a^2 - b^2}\)）

离心率：\(e = \frac{c}{a}\)（衡量椭圆“扁圆程度”，\(0 < e < 1\)，\(e\) 越接近0，椭圆越圆；\(e\) 越接近1，椭圆越扁）

准线方程：椭圆有两条准线，平行于短轴，距离中心\(\frac{a^2}{c}\)

焦点在x轴上：准线为\(x = \pm \frac{a^2}{c}\)

焦点在y轴上：准线为\(y = \pm \frac{a^2}{c}\)

2. 几何性质

1. 对称性：椭圆关于x轴、y轴和原点都对称（中心对称+轴对称），对称中心称为“椭圆中心”（标准方程中为原点）。

2. 范围：

焦点在x轴上：\(|x| \leq a\)，\(|y| \leq b\)（椭圆在矩形\([-a, a] \times [-b, b]\)内）

焦点在y轴上：\(|y| \leq a\)，\(|x| \leq b\)（椭圆在矩形\([-b, b] \times [-a, a]\)内）

3. 焦半径公式（椭圆上任意一点\(P(x_0, y_0)\)到焦点的距离）：

焦点在x轴上：

到左焦点\(F_1(-c, 0)\)的距离：\(|PF_1| = a + ex_0\)

到右焦点\(F_2(c, 0)\)的距离：\(|PF_2| = a - ex_0\)

焦点在y轴上：

到下焦点\(F_1(0, -c)\)的距离：\(|PF_1| = a + ey_0\)

到上焦点\(F_2(0, c)\)的距离：\(|PF_2| = a - ey_0\)

（推导依据：椭圆定义\(|PF_1| + |PF_2| = 2a\)，结合准线性质“椭圆上点到焦点距离与到对应准线距离之比为离心率\(e\)”）

4. 通径：过焦点且垂直于长轴的弦，长度为\(\frac{2b^2}{a}\)（椭圆的最短弦，推导：将\(x = \pm c\)代入标准方程求y值，弦长为\(2|y|\)）。

三、椭圆的二级结论（高频考点与解题技巧）

二级结论是椭圆性质的延伸，能大幅简化解题步骤，需结合定义和几何意义理解记忆。

1. 焦点三角形相关结论

以椭圆上任意一点\(P\)和两焦点\(F_1\)、\(F_2\)构成的三角形\(\triangle PF_1F_2\)称为“焦点三角形”，设其顶角为\(\angle F_1PF_2 = \theta\)，则：

周长：\(|PF_1| + |PF_2| + |F_1F_2| = 2a + 2c\)

面积：\(S_{\triangle PF_1F_2} = b^2 \tan\frac{\theta}{2}\)（推导：用余弦定理\(|F_1F_2|^2 = |PF_1|^2 + |PF_2|^2 - 2|PF_1||PF_2|\cos\theta\)，结合\(|PF_1| + |PF_2| = 2a\)，化简得\(|PF_1||PF_2| = \frac{2b^2}{1 + \cos\theta}\)，再用面积公式\(S = \frac{1}{2}|PF_1||PF_2|\sin\theta\)）

顶角最大值：当\(P\)在短轴顶点时，\(\theta\)最大（因此时\(|PF_1| = |PF_2| = a\)，焦点三角形为等腰三角形，底边\(|F_1F_2| = 2c\)，顶角最大）

2. 直线与椭圆的位置关系

设直线\(l: y = kx + m\)（斜率存在），椭圆\(C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)），联立方程消去\(y\)得：

\((b^2 + a^2k^2)x^2 + 2a^2kmx + a^2(m^2 - b^2) = 0\)，设判别式为\(\Delta\)，则：

相交：\(\Delta > 0\)（直线与椭圆有两个不同交点），此时\(\Delta = 4a^2b^2(a^2k^2 + b^2 - m^2)\)，即\(m^2 < a^2k^2 + b^2\)

相切：\(\Delta = 0\)（直线与椭圆有一个公共点，即切线），此时\(m^2 = a^2k^2 + b^2\)

相离：\(\Delta < 0\)（直线与椭圆无交点），此时\(m^2 > a^2k^2 + b^2\)

（1）弦长公式

若直线\(l\)与椭圆交于\(A(x_1, y_1)\)、\(B(x_2, y_2)\)，则弦长\(|AB|\)：

当直线斜率为\(k\)时：\(|AB| = \sqrt{1 + k^2} \cdot |x_1 - x_2| = \sqrt{1 + k^2} \cdot \frac{\sqrt{\Delta}}{|A|}\)（\(A\)为联立后二次方程的\(x^2\)系数）

当直线斜率不存在（垂直x轴）时：\(|AB| = 2|y_1|\)（代入\(x = x_0\)求\(y\)值）

（2）中点弦结论（点差法）

若椭圆的弦\(AB\)的中点为\(M(x_0, y_0)\)，则弦\(AB\)的斜率\(k_{AB}\)满足：

焦点在x轴上：\(k_{AB} = -\frac{b^2x_0}{a^2y_0}\)

焦点在y轴上：\(k_{AB} = -\frac{b^2y_0}{a^2x_0}\)

（推导：设\(A(x_1, y_1)\)、\(B(x_2, y_2)\)，代入椭圆方程得两式，相减并利用中点坐标\(x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2}\)、\(y_0 = \frac{y_1 + y_2}{2}\)，化简得斜率）

3. 其他常用结论

1. 椭圆的切线方程：

过椭圆\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)上一点\(P(x_0, y_0)\)的切线方程：\(\frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1\)

斜率为\(k\)的椭圆切线方程：\(y = kx \pm \sqrt{a^2k^2 + b^2}\)（对应“相切时\(m^2 = a^2k^2 + b^2\)”）

2. 椭圆的焦点弦性质：

过焦点的弦\(AB\)，设其倾斜角为\(\alpha\)，则弦长\(|AB| = \frac{2b^2}{a(1 - e^2\cos^2\alpha)}\)（推导：用焦半径公式结合三角函数表示\(x_1, x_2\)）

3. 椭圆的“准线性质”：

椭圆上任意一点到焦点的距离与到对应准线的距离之比等于离心率\(e\)（即\(\frac{|PF|}{d} = e\)，\(d\)为点\(P\)到准线的距离，是焦半径公式的推导依据）

4. 椭圆的参数方程：

\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)可表示为\(\begin{cases} x = a\cos\theta \\ y = b\sin\theta \end{cases}\)（\(\theta\)为参数，称为“离心角”，几何意义：以椭圆长轴为直径的圆上点的横坐标与椭圆横坐标相同，纵坐标按比例缩放）

例题1：求椭圆的标准方程。已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为8，离心率为\(\frac{1}{2}\)，求椭圆的标准方程。

解：

由题意得：

长轴长\(2a = 8\)，故\(a = 4\)；

离心率\(e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}\)，故\(c = ae = 4 \times \frac{1}{2} = 2\)；

由\(a^2 = b^2 + c^2\)，得\(b^2 = a^2 - c^2 = 16 - 4 = 12\)；

因焦点在x轴上，故椭圆标准方程为\(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1\)。

例题2：判断椭圆的焦点位置与基本量。判断椭圆\(\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{7} = 1\)的焦点位置，并求\(a, b, c, e\)。

解：

椭圆方程中，分母大的项对应焦点所在轴：

分母\(7 > 5\)，故焦点在y轴上；

\(a^2 = 7\)，故\(a = \sqrt{7}\)；\(b^2 = 5\)，故\(b = \sqrt{5}\)；

\(c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{7 - 5} = \sqrt{2}\)；

离心率\(e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{14}}{7}\)。

例题3：利用椭圆定义求轨迹方程。已知平面内两点\(F_1(-2, 0)\)、\(F_2(2, 0)\)，动点\(P\)满足\(|PF_1| + |PF_2| = 6\)，求点\(P\)的轨迹方程。

解：

由椭圆定义，动点\(P\)的轨迹为椭圆：

两焦点间距离\(|F_1F_2| = 4 = 2c\)，故\(c = 2\)；

常数\(2a = 6\)，故\(a = 3\)；

\(b^2 = a^2 - c^2 = 9 - 4 = 5\)；

焦点在x轴上，故轨迹方程为\(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1\)。

例题4：焦半径公式的应用。已知椭圆\(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\)，求椭圆上点\(P(3, y_0)\)到右焦点的距离。

解：

先确定椭圆基本量：

焦点在x轴上，\(a^2 = 25\)（\(a = 5\)），\(b^2 = 16\)，故\(c = \sqrt{25 - 16} = 3\)，离心率\(e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5}\)；

右焦点对应的焦半径公式为\(|PF_2| = a - ex_0\)（\(x_0 = 3\)为点\(P\)的横坐标）；

代入得\(|PF_2| = 5 - \frac{3}{5} \times 3 = 5 - \frac{9}{5} = \frac{16}{5}\)。

例题5：焦点三角形的面积计算。已知椭圆\(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\)，两焦点为\(F_1, F_2\)，点\(P\)在椭圆上且\(\angle F_1PF_2 = 60^\circ\)，求\(\triangle F_1PF_2\)的面积。

解：

先确定基本量：

\(a^2 = 16\)（\(a = 4\)），\(b^2 = 9\)（\(b = 3\)），\(c = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}\)；

由焦点三角形面积公式\(S = b^2 \tan\frac{\theta}{2}\)（\(\theta = 60^\circ\)）；

代入得\(S = 9 \times \tan30^\circ = 9 \times \frac{\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}\)。

例题6：椭圆的准线方程。求椭圆\(\frac{y^2}{25} + \frac{x^2}{16} = 1\)的准线方程。

解：

椭圆焦点在y轴上，基本量：

\(a^2 = 25\)（\(a = 5\)），\(b^2 = 16\)，故\(c = \sqrt{25 - 16} = 3\)；

焦点在y轴上的准线方程为\(y = \pm \frac{a^2}{c}\)；

代入得准线方程为\(y = \pm \frac{25}{3}\)。

例题7：直线与椭圆的位置关系判断。判断直线\(y = x + 1\)与椭圆\(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1\)的位置关系。

解：

联立直线与椭圆方程，消去\(y\)：

\(\frac{x^2}{4} + \frac{(x + 1)^2}{2} = 1\)，化简得：

\(\frac{x^2}{4} + \frac{x^2 + 2x + 1}{2} = 1\) → \(x^2 + 2x^2 + 4x + 2 = 4\) → \(3x^2 + 4x - 2 = 0\)；

计算判别式\(\Delta = 4^2 - 4 \times 3 \times (-2) = 16 + 24 = 40 > 0\)；

故直线与椭圆相交，有两个不同交点。

例题8：椭圆的弦长计算。求直线\(y = 2x + 1\)与椭圆\(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\)相交所得弦的长度。

解：

1. 联立方程消去\(y\)：

\(\frac{x^2}{9} + \frac{(2x + 1)^2}{4} = 1\) → \(4x^2 + 9(4x^2 + 4x + 1) = 36\) → \(4x^2 + 36x^2 + 36x + 9 - 36 = 0\) → \(40x^2 + 36x - 27 = 0\)；

2. 设交点为\(A(x_1, y_1)\)、\(B(x_2, y_2)\)，则\(x_1 + x_2 = -\frac{36}{40} = -\frac{9}{10}\)，\(x_1x_2 = -\frac{27}{40}\)，二次项系数\(A = 40\)；

3. 弦长公式\(|AB| = \sqrt{1 + k^2} \cdot \frac{\sqrt{\Delta}}{|A|}\)，其中\(k = 2\)，\(\Delta = 36^2 - 4 \times 40 \times (-27) = 1296 + 4320 = 5616\)，\(\sqrt{\Delta} = \sqrt{5616} = 12\sqrt{39}\)；

4. 代入得\(|AB| = \sqrt{1 + 4} \cdot \frac{12\sqrt{39}}{40} = \sqrt{5} \cdot \frac{3\sqrt{39}}{10} = \frac{3\sqrt{195}}{10}\)。

例题9：中点弦问题（点差法）已知椭圆\(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\)的弦\(AB\)的中点为\(M(2, 1)\)，求弦\(AB\)的斜率。

解：

椭圆焦点在x轴上，中点弦斜率公式为\(k_{AB} = -\frac{b^2x_0}{a^2y_0}\)（\(x_0 = 2\)，\(y_0 = 1\)为中点坐标）；

基本量：\(a^2 = 16\)，\(b^2 = 9\)；

代入得\(k_{AB} = -\frac{9 \times 2}{16 \times 1} = -\frac{18}{16} = -\frac{9}{8}\)。

例题10：椭圆的切线方程（过椭圆上一点）求过椭圆\(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\)上一点\(P(3, \frac{16}{5})\)的切线方程。

解：

过椭圆\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)上一点\((x_0, y_0)\)的切线方程为\(\frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1\)；

代入\(x_0 = 3\)，\(y_0 = \frac{16}{5}\)，\(a^2 = 25\)，\(b^2 = 16\)：

\(\frac{3x}{25} + \frac{\frac{16}{5}y}{16} = 1\) → \(\frac{3x}{25} + \frac{y}{5} = 1\)；

整理为标准形式：\(3x + 5y - 25 = 0\)。

例题11：椭圆的参数方程应用。已知椭圆\(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1\)，求椭圆上一点\(P\)到直线\(l: x + y - 5 = 0\)的最小距离。

解：

1. 椭圆参数方程为\(\begin{cases} x = 2\cos\theta \\ y = \sqrt{3}\sin\theta \end{cases}\)（\(\theta\)为参数），则点\(P(2\cos\theta, \sqrt{3}\sin\theta)\)；

2. 点到直线的距离公式：\(d = \frac{|2\cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta - 5|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2\cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta - 5|}{\sqrt{2}}\)；

3. 化简分子中的三角函数：\(2\cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta = \sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2}\sin(\theta + \varphi) = \sqrt{7}\sin(\theta + \varphi)\)（\(\varphi\)为辅助角），其取值范围为\([-\sqrt{7}, \sqrt{7}]\)；

4. 分子最小值为\(|\sqrt{7} - 5|\)（因\(\sqrt{7} \approx 2.645 < 5\)，故\(|\sqrt{7} - 5| = 5 - \sqrt{7}\)）；

5. 最小距离\(d_{min} = \frac{5 - \sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2} - \sqrt{14}}{2}\)。

例题12：椭圆的离心率计算（焦点在y轴）已知椭圆的焦点在y轴上，短轴长为6，且过点\((2, 3)\)，求椭圆的离心率。

解：

1. 焦点在y轴上，设椭圆方程为\(\frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)）；

2. 短轴长\(2b = 6\)，故\(b = 3\)，\(b^2 = 9\)；

3. 椭圆过点\((2, 3)\)，代入方程得\(\frac{3^2}{a^2} + \frac{2^2}{9} = 1\) → \(\frac{9}{a^2} + \frac{4}{9} = 1\) → \(\frac{9}{a^2} = \frac{5}{9}\) → \(a^2 = \frac{81}{5}\)，故\(a = \frac{9\sqrt{5}}{5}\)；

4. 计算\(c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{\frac{81}{5} - 9} = \sqrt{\frac{81 - 45}{5}} = \sqrt{\frac{36}{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}\)；

5. 离心率\(e = \frac{c}{a} = \frac{\frac{6\sqrt{5}}{5}}{\frac{9\sqrt{5}}{5}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\)。

例题13：焦点弦的弦长计算。已知椭圆\(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1\)，过右焦点\(F_2\)作倾斜角为\(60^\circ\)的直线，交椭圆于\(A, B\)两点，求弦长\(|AB|\)。

解：

1. 椭圆基本量：\(a^2 = 16\)（\(a = 4\)），\(b^2 = 12\)，\(c = \sqrt{16 - 12} = 2\)，右焦点\(F_2(2, 0)\)，离心率\(e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}\)；

2. 焦点弦长公式（倾斜角\(\alpha = 60^\circ\)）：\(|AB| = \frac{2b^2}{a(1 - e^2\cos^2\alpha)}\)；

3. 代入数值：\(\cos60^\circ = \frac{1}{2}\)，\(\cos^260^\circ = \frac{1}{4}\)；

\(|AB| = \frac{2 \times 12}{4 \times (1 - (\frac{1}{2})^2 \times \frac{1}{4})} = \frac{24}{4 \times (1 - \frac{1}{16})} = \frac{24}{4 \times \frac{15}{16}} = \frac{24}{\frac{15}{4}} = 24 \times \frac{4}{15} = \frac{32}{5}\)。

例题14：椭圆的对称性应用。已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)），点\(A(1, 1)\)在椭圆上，且椭圆关于直线\(x + y = 0\)对称，求椭圆方程。

解：

1. 椭圆关于直线\(x + y = 0\)对称，即若点\((x, y)\)在椭圆上，则其对称点\((-y, -x)\)也在椭圆上；

2. 点\(A(1, 1)\)在椭圆上，故其对称点\((-1, -1)\)也在椭圆上；

3. 将\((1, 1)\)和\((-1, -1)\)代入椭圆方程：

\(\begin{cases} \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1 \\ \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1 \end{cases}\)（仅一个方程，需结合对称性隐含的“\(a = b\)”？不，椭圆对称于\(x + y = 0\)，说明长轴与短轴关于该直线对称，故\(a = b\)，但\(a = b\)时椭圆为圆，此时方程为\(x^2 + y^2 = 2\)（因过\((1,1)\)）；

验证：圆\(x^2 + y^2 = 2\)关于\(x + y = 0\)对称，且过\((1,1)\)，符合条件，故椭圆方程为\(\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} = 1\)（即圆，是椭圆的特殊情况，\(e = 0\)）。

例题15：椭圆与直线的相切问题。求与椭圆\(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\)相切且斜率为\(-\frac{1}{2}\)的切线方程。

解：

斜率为\(k\)的椭圆切线方程为\(y = kx \pm \sqrt{a^2k^2 + b^2}\)；

椭圆基本量：\(a^2 = 9\)，\(b^2 = 4\)，\(k = -\frac{1}{2}\)；

计算\(\sqrt{a^2k^2 + b^2} = \sqrt{9 \times (\frac{1}{4}) + 4} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}\)；

故切线方程为\(y = -\frac{1}{2}x \pm \frac{5}{2}\)，整理为标准形式：\(x + 2y \pm 5 = 0\)。

例题16：椭圆的范围应用。已知椭圆\(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\)，点\(P(x, y)\)在椭圆上，求\(x + y\)的最大值。

解：

1. 用参数方程设点\(P\)：\(x = 5\cos\theta\)，\(y = 3\sin\theta\)；

2. 则\(x + y = 5\cos\theta + 3\sin\theta\)；

3. 化简三角函数：\(5\cos\theta + 3\sin\theta = \sqrt{5^2 + 3^2}\sin(\theta + \varphi) = \sqrt{34}\sin(\theta + \varphi)\)（\(\varphi\)为辅助角）；

4. \(\sin(\theta + \varphi)\)的最大值为1，故\(x + y\)的最大值为\(\sqrt{34}\)。

例题17：椭圆的焦点到切线的距离。已知椭圆\(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\)，求右焦点到其切线\(3x + 4y - 20 = 0\)的距离。

解：

1. 椭圆基本量：\(a^2 = 16\)，\(b^2 = 9\)，\(c = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}\)，右焦点\(F_2(\sqrt{7}, 0)\)；

2. 点到直线的距离公式：\(d = \frac{|3\sqrt{7} + 4 \times 0 - 20|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3\sqrt{7} - 20|}{5}\)；

3. 因\(3\sqrt{7} \approx 7.937 < 20\)，故\(d = \frac{20 - 3\sqrt{7}}{5} = 4 - \frac{3\sqrt{7}}{5}\)；

（注：椭圆的焦点到任意切线的距离为\(b\)？验证：本题中\(b = 3\)，而\(4 - \frac{3\sqrt{7}}{5} \approx 4 - 1.587 = 2.413 \neq 3\)，说明该切线非“特殊切线”，若切线为\(\frac{x_0x}{16} + \frac{y_0y}{9} = 1\)，焦点\((\sqrt{7}, 0)\)到切线的距离为\(\frac{|\frac{\sqrt{7}x_0}{16} - 1|}{\sqrt{(\frac{x_0}{16})^2 + (\frac{y_0}{9})^2}}\)，结合\(\frac{x_0^2}{16} + \frac{y_0^2}{9} = 1\)，化简得距离为\(\frac{16 - \sqrt{7}x_0}{\sqrt{9x_0^2 + 16y_0^2}} = \frac{16 - \sqrt{7}x_0}{\sqrt{144}} = \frac{16 - \sqrt{7}x_0}{12}\)，并非定值\(b\)，需具体计算）。