1. 多边形法则（三角形法则的推广）

原理：

当有多个向量\(\overrightarrow{a}_{1},\overrightarrow{a}_{2},\overrightarrow{a}_{3},\cdots,\overrightarrow{a}_{n}\)相加时，将这些向量依次首尾相连，即把\(\overrightarrow{a}_{2}\)的起点放在\(\overrightarrow{a}_{1}\)的终点，\(\overrightarrow{a}_{3}\)的起点放在\(\overrightarrow{a}_{2}\)的终点，以此类推。最后，从第一个向量\(\overrightarrow{a}_{1}\)的起点指向最后一个向量\(\overrightarrow{a}_{n}\)的终点的向量就是这些向量的和\(\overrightarrow{a}_{1}+\overrightarrow{a}_{2}+\overrightarrow{a}_{3}+\cdots+\overrightarrow{a}_{n}\)。这是三角形法则在多个向量相加情况下的扩展。

举例：

设有向量\(\overrightarrow{a}=(1,0)\)，\(\overrightarrow{b}=(0,1)\)，\(\overrightarrow{c}=(-1, - 1)\)。先将\(\overrightarrow{a}\)的起点放在原点，终点为\((1,0)\)，然后把\(\overrightarrow{b}\)的起点放在\(\overrightarrow{a}\)的终点\((1,0)\)，此时\(\overrightarrow{b}\)的终点为\((1,1)\)，再把\(\overrightarrow{c}\)的起点放在\(\overrightarrow{b}\)的终点\((1,1)\)，\(\overrightarrow{c}\)的终点为\((0,0)\)。所以\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=(0,0)\)，从几何意义上看，这些向量依次连接后形成了一个封闭的多边形。

2. 利用向量加法的运算律逐步相加

交换律和结合律的运用：

根据向量加法的交换律\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\)和结合律\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)，可以对多个向量进行重新组合相加。例如，对于向量\(\overrightarrow{a}=(2,3)\)，\(\overrightarrow{b}=( - 1,2)\)，\(\overrightarrow{c}=(3, - 1)\)，计算\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\)。

可以先利用交换律将\(\overrightarrow{c}\)与\(\overrightarrow{a}\)相加，即\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})+\overrightarrow{b}\)。

计算\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=(2 + 3,3 - 1)=(5,2)\)。

再计算\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})+\overrightarrow{b}=(5,2)+( - 1,2)=(5 - 1,2 + 2)=(4,4)\)。

3. 坐标表示下的多个向量相加

原理：

如果向量\(\overrightarrow{a}_{i}=(x_{i},y_{i})\)（\(i = 1,2,\cdots,n\)），那么\(\overrightarrow{a}_{1}+\overrightarrow{a}_{2}+\cdots+\overrightarrow{a}_{n}=(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n},y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n})\)。这是因为向量加法在坐标形式下，就是对应坐标相加。

举例：

设有向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(3, - 4)\)，\(\overrightarrow{c}=( - 2,5)\)。

计算\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\)，横坐标相加为\(1 + 3 - 2 = 2\)，纵坐标相加为\(2 - 4 + 5 = 3\)，所以\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=(2,3)\)。

4. 多个向量相加的应用场景

物理中的力的合成与位移合成：

在物理中，当一个物体受到多个力的作用时，这些力可以用向量表示。求物体所受的合力就相当于求这些表示力的向量的和。例如，一个物体同时受到水平向右大小为\(3N\)的力\(\overrightarrow{F}_{1}\)，垂直向上大小为\(4N\)的力\(\overrightarrow{F}_{2}\)和与水平方向成\(45^{\circ}\)角大小为\(5N\)的力\(\overrightarrow{F}_{3}\)，通过将这些力向量相加（可以先将它们分解为水平和垂直方向的分量，然后分别相加），就可以得到物体所受的合力向量，从而分析物体的运动状态。

对于位移也是如此，当一个物体经过多次位移后，它的总位移可以通过将每次位移对应的向量相加得到。比如，一个人先向东走了\(2\)米，再向北走了\(3\)米，最后向西走了\(1\)米，通过向量相加可以求出这个人最终相对于初始位置的位移向量。

几何图形中的向量关系应用：

在几何图形中，如多边形，各边对应的向量相加可以帮助我们研究图形的性质。例如，在一个封闭的四边形\(ABCD\)中，\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}\)，这个结论可以用于证明四边形的一些性质，如平行四边形对边相等的向量证明（在平行四边形\(ABCD\)中，\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)可以通过\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}\)变形得到\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AD}\)，又因为\(\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AD}\)，所以\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)）。

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