对数函数 04 对数运算与对数函数
对数运算是数学中一种重要的运算，它与指数运算互为逆运算。
对数的定义
如果\(a^x = N\)（\(a>0\)，且\(a≠1\)），那么数\(x\)叫做以\(a\)为底\(N\)的对数，记作\(x = \log_aN\)，其中\(a\)叫做对数的底数，\(N\)叫做真数。
对数的运算法则
积的对数：\(\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN\)（\(a>0\)，\(a≠1\)，\(M>0\)，\(N>0\)）
例如，\(\log_2(4\times8)=\log_24+\log_28=\log_22^2+\log_22^3 = 2 + 3 = 5\)。
商的对数：\(\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN\)（\(a>0\)，\(a≠1\)，\(M>0\)，\(N>0\)）
例如，\(\log_3\frac{27}{9}=\log_327-\log_39=\log_33^3-\log_33^2 = 3 - 2 = 1\)。
幂的对数：\(\log_aM^n=n\log_aM\)（\(a>0\)，\(a≠1\)，\(M>0\)）
例如，\(\log_525^2=2\log_525=2\log_55^2 = 2\times2 = 4\)。
换底公式：\(\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\)（\(a>0\)，\(a≠1\)，\(b>0\)，\(c>0\)，\(c≠1\)）
例如，计算\(\log_25\)，可利用换底公式转化为以\(10\)为底的对数\(\frac{\lg5}{\lg2}\)，再通过计算器等工具求出近似值。
特殊对数
常用对数：以\(10\)为底的对数叫做常用对数，记作\(\lg N\)，即\(\log_{10}N=\lg N\)。
例如，\(\log_{10}100=\lg100 = 2\)。
自然对数：以无理数\(e\approx2.71828\)为底的对数叫做自然对数，记作\(\ln N\)，即\(\log_eN=\ln N\)。
例如，\(\log_e e^3=\ln e^3 = 3\)。
对数的运算性质
对数恒等式：\(a^{\log_aN}=N\)（\(a>0\)，\(a≠1\)，\(N>0\)）。例如，\(2^{\log_28}=8\)。
对数的倒数关系：\(\log_ab=\frac{1}{\log_ba}\)（\(a>0\)，\(a≠1\)，\(b>0\)，\(b≠1\)）。例如，\(\log_23=\frac{1}{\log_32}\)。
对数的连锁法则：\(\log_ab\cdot\log_bc\cdot\log_cd=\log_ad\)（\(a>0\)，\(a≠1\)，\(b>0\)，\(b≠1\)，\(c>0\)，\(c≠1\)，\(d>0\)）
对数函数的定义
一般地，函数\(y = \log_{a}x\)（\(a>0\)，且\(a≠1\)）叫做对数函数，其中\(x\)是自变量，函数的定义域是\((0, +\infty)\)。
对数函数的性质
定义域和值域：对数函数\(y = \log_{a}x\)的定义域是\((0,+\infty)\)，值域是\((-\infty,+\infty)\)。
单调性：当\(a>1\)时，函数在定义域上单调递增；当\(0<a<1\)时，函数在定义域上单调递减。
特殊点：对数函数\(y = \log_{a}x\)恒过点\((1,0)\)，即当\(x = 1\)时，\(y=0\)。
函数图象：当\(a>1\)时，图象从左到右逐渐上升；当\(0<a<1\)时，图象从左到右逐渐下降。且对数函数的图象都在\(y\)轴右侧。
对数运算例子：
1. 计算\(\log_{2+\sqrt{3}}(2 - \sqrt{3})\)
设\(x=\log_{2+\sqrt{3}}(2 - \sqrt{3})\)，根据对数定义\((2 + \sqrt{3})^x=2 - \sqrt{3}=\frac{1}{2 + \sqrt{3}}=(2 + \sqrt{3})^{-1}\)，所以\(x = -1\)，即\(\log_{2+\sqrt{3}}(2 - \sqrt{3})=-1\)。
2. 已知\(\log_{18}9 = a\)，\(18^b = 5\)，求\(\log_{36}45\)
因为\(\log_{18}9 = a\)，则\(\log_{18}2 = \log_{18}\frac{18}{9}=1 - \log_{18}9 = 1 - a\)。又因为\(18^b = 5\)，即\(\log_{18}5 = b\)。
\(\log_{36}45=\frac{\log_{18}45}{\log_{18}36}=\frac{\log_{18}(9\times5)}{\log_{18}(18\times2)}=\frac{\log_{18}9+\log_{18}5}{1+\log_{18}2}=\frac{a + b}{1 + 1 - a}=\frac{a + b}{2 - a}\)。
3. 计算\(\log_4(\sqrt{4 + \sqrt{7}}+\sqrt{4 - \sqrt{7}})\)
令\(x=\sqrt{4 + \sqrt{7}}+\sqrt{4 - \sqrt{7}}\)，则\(x^2=(4 + \sqrt{7})+(4 - \sqrt{7}) + 2\sqrt{(4 + \sqrt{7})(4 - \sqrt{7})}=8 + 2\sqrt{16 - 7}=8 + 2\times3 = 14\)，所以\(x=\sqrt{14}\)。
则\(\log_4(\sqrt{4 + \sqrt{7}}+\sqrt{4 - \sqrt{7}})=\log_4\sqrt{14}=\frac{1}{2}\log_414=\frac{1}{2}(\log_42+\log_47)=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\log_47)\)。
4. 已知\(\log_{12}27 = a\)，求\(\log_616\)
由\(\log_{12}27 = a\)可得\(\frac{\lg27}{\lg12}=a\)，即\(\frac{3\lg3}{2\lg2+\lg3}=a\)，设\(t=\lg3\)，\(s=\lg2\)，则\(\frac{3t}{2s + t}=a\)，解得\(t=\frac{2as}{3 - a}\)。
\(\log_616=\frac{\lg16}{\lg6}=\frac{4\lg2}{\lg2+\lg3}=\frac{4s}{s + t}=\frac{4s}{s+\frac{2as}{3 - a}}=\frac{4(3 - a)}{3 + a}\)。
5. 计算\(\log_{(\sqrt{2}-1)}(3 + 2\sqrt{2})\)
\(3 + 2\sqrt{2}=(\sqrt{2}+1)^2\)，而\(\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1\)，即\((\sqrt{2}-1)^{-2}=3 + 2\sqrt{2}\)，所以\(\log_{(\sqrt{2}-1)}(3 + 2\sqrt{2})=-2\)。
6. 若\(x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}=3\)，求\(\frac{x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{3}{2}}+2}{x^2 + x^{-2}+3}\)的值，其中与对数相关的思路是先取对数求\(x\)相关的值
对\(x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}=3\)两边平方得\(x + x^{-1}+2 = 9\)，即\(x + x^{-1}=7\)。再两边平方得\(x^2 + x^{-2}+2 = 49\)，所以\(x^2 + x^{-2}=47\)。
\(x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{3}{2}}=(x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}})(x - 1 + x^{-1})=3\times(7 - 1)=18\)。
所以\(\frac{x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{3}{2}}+2}{x^2 + x^{-2}+3}=\frac{18 + 2}{47 + 3}=\frac{20}{50}=\frac{2}{5}\)。
7. 已知\(\log_a x = 2\)，\(\log_b x = 3\)，\(\log_c x = 6\)，求\(\log_{abc} x\)
由\(\log_a x = 2\)可得\(x = a^2\)，即\(a = x^{\frac{1}{2}}\)；同理\(b = x^{\frac{1}{3}}\)，\(c = x^{\frac{1}{6}}\)。
所以\(abc=x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=x\)，则\(\log_{abc}x=\log_{x}x = 1\)。
8. 计算\(\log_2(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}-\sqrt{5 - 2\sqrt{6}})\)
\(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}\)，\(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\)。
则\(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}-\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}=2\sqrt{2}\)，所以\(\log_2(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}-\sqrt{5 - 2\sqrt{6}})=\log_2(2\sqrt{2})=\log_22+\log_2\sqrt{2}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)。
9. 已知\(m = \log_4\pi\)，\(n = \log_{\pi}4\)，比较\(m\)与\(n\)的大小并说明理由
\(m=\log_4\pi=\frac{\lg\pi}{\lg4}\)，\(n=\log_{\pi}4=\frac{\lg4}{\lg\pi}\)。
\(m - n=\frac{\lg\pi}{\lg4}-\frac{\lg4}{\lg\pi}=\frac{(\lg\pi)^2-(\lg4)^2}{\lg4\cdot\lg\pi}\)，因为\(\pi>4\)，所以\(\lg\pi>\lg4\)，即\((\lg\pi)^2-(\lg4)^2>0\)，且\(\lg4>0\)，\(\lg\pi>0\)，所以\(m - n>0\)，即\(m>n\)。
10. 解方程\(\log_2(x - 1)+\log_2(x + 1)=3\)
根据对数运算法则\(\log_2(x - 1)(x + 1)=3\)，即\(\log_2(x^2 - 1)=3\)，则\(x^2 - 1 = 2^3 = 8\)，\(x^2=9\)，解得\(x = 3\)或\(x=-3\)。又因为对数中真数须大于\(0\)，所以\(x - 1>0\)且\(x + 1>0\)，即\(x>1\)，故舍去\(x=-3\)，方程的解为\(x = 3\)。
基础运算类
1. 计算\(\log_{2}8 + \log_{3}27\)
答案：\(\log_{2}8 = 3\)，\(\log_{3}27 = 3\)，所以结果为\(3 + 3=6\)。
2. 计算\(\log_{5}125 - \log_{7}49\)
答案：\(\log_{5}125 = 3\)，\(\log_{7}49 = 2\)，结果为\(3-2=1\)。
3. 计算\(\log_{4}16\times\log_{2}16\)
答案：\(\log_{4}16 = 2\)，\(\log_{2}16 = 4\)，则\(2\times4=8\)。
4. 计算\(\frac{\log_{3}81}{\log_{3}9}\)
答案：\(\log_{3}81 = 4\)，\(\log_{3}9 = 2\)，所以\(\frac{4}{2}=2\)。
换底公式应用类
5. 计算\(\log_{2}5\times\log_{5}8\)
答案：根据换底公式\(\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\)，\(\log_{2}5\times\log_{5}8=\frac{\lg5}{\lg2}\times\frac{\lg8}{\lg5}=\frac{\lg8}{\lg2}=\frac{3\lg2}{\lg2}=3\)。
6. 计算\(\log_{3}4\times\log_{4}5\times\log_{5}6\times\log_{6}7\times\log_{7}8\times\log_{8}9\)
答案：原式\(=\frac{\lg4}{\lg3}\times\frac{\lg5}{\lg4}\times\frac{\lg6}{\lg5}\times\frac{\lg7}{\lg6}\times\frac{\lg8}{\lg7}\times\frac{\lg9}{\lg8}=\frac{\lg9}{\lg3}=\frac{2\lg3}{\lg3}=2\)。
7. 已知\(\log_{12}27 = a\)，求\(\log_{6}16\)
答案：由\(\log_{12}27 = a\)可得\(\frac{\lg27}{\lg12}=a\)，即\(\frac{3\lg3}{2\lg2+\lg3}=a\)，解出\(\lg3=\frac{2a\lg2}{3 - a}\)。\(\log_{6}16=\frac{\lg16}{\lg6}=\frac{4\lg2}{\lg2+\lg3}=\frac{4\lg2}{\lg2+\frac{2a\lg2}{3 - a}}=\frac{4(3 - a)}{3 + a}\)。
对数方程类
8. 解方程\(\log_{2}(x + 1)-\log_{2}(x - 1)=3\)
答案：根据对数运算法则\(\log_{a}\frac{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N\)，原方程可化为\(\log_{2}\frac{x + 1}{x - 1}=3\)，即\(\frac{x + 1}{x - 1}=2^{3}=8\)，解得\(x=\frac{9}{7}\)，经检验\(x=\frac{9}{7}\)是原方程的解。
9. 解方程\(\log_{3}(x^{2}-10)=1+\log_{3}x\)
答案：原方程可化为\(\log_{3}(x^{2}-10)=\log_{3}3+\log_{3}x=\log_{3}(3x)\)，则\(x^{2}-10 = 3x\)，即\(x^{2}-3x - 10 = 0\)，解得\(x = 5\)或\(x=-2\)，又因为对数中真数大于\(0\)，所以\(x = 5\)。
10. 解方程\(2\log_{4}(x - 9)= \log_{2}(x - 3)\)
答案：将\(2\log_{4}(x - 9)\)变形为\(2\times\frac{\log_{2}(x - 9)}{\log_{2}4}=\log_{2}(x - 9)\)，则方程变为\(\log_{2}(x - 9)=\log_{2}(x - 3)\)，可得\(x - 9 = x - 3\)，此方程无解。
对数与指数综合类
11. 已知\(2^{x}=3^{y}=6^{z}\)，求\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}\)的值
答案：设\(2^{x}=3^{y}=6^{z}=k\)，则\(x=\log_{2}k\)，\(y=\log_{3}k\)，\(z=\log_{6}k\)。\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=\frac{1}{\log_{2}k}+\frac{1}{\log_{3}k}-\frac{1}{\log_{6}k}=\log_{k}2+\log_{k}3-\log_{k}6=\log_{k}\frac{2\times3}{6}=0\)。
12. 已知\(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=3\)，求\(a + a^{-1}\)与\(\log_{4}(a^{2}+a^{-2}-2)\)的值
答案：对\(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=3\)两边平方得\(a + 2 + a^{-1}=9\)，所以\(a + a^{-1}=7\)。再对\(a + a^{-1}=7\)两边平方得\(a^{2}+2 + a^{-2}=49\)，即\(a^{2}+a^{-2}=47\)，则\(\log_{4}(a^{2}+a^{-2}-2)=\log_{4}(47 - 2)=\log_{4}45=\frac{\lg45}{\lg4}=\frac{\lg5 + 2\lg3}{2\lg2}\)。
对数函数性质应用类
13. 已知函数\(y=\log_{a}(2 - ax)\)在\([0,1]\)上是减函数，求\(a\)的取值范围
答案：令\(u = 2 - ax\)，因为\(a>0\)且\(a\neq1\)，所以\(u = 2 - ax\)在\([0,1]\)上是减函数。要使函数\(y=\log_{a}(2 - ax)\)在\([0,1]\)上是减函数，则\(y=\log_{a}u\)应为增函数，所以\(a>1\)。又因为\(2 - ax>0\)在\([0,1]\)上恒成立，当\(x = 1\)时，\(2 - a>0\)，解得\(a<2\)，所以\(1<a<2\)。
14. 比较\(\log_{3}4\)与\(\log_{4}5\)的大小
答案：\(\log_{3}4-\log_{4}5=\frac{\lg4}{\lg3}-\frac{\lg5}{\lg4}=\frac{\lg^{2}4-\lg3\times\lg5}{\lg3\times\lg4}\)。根据均值不等式\(\lg3\times\lg5<(\frac{\lg3+\lg5}{2})^{2}=(\frac{\lg15}{2})^{2}<(\frac{\lg16}{2})^{2}=\lg^{2}4\)，所以\(\log_{3}4-\log_{4}5>0\)，即\(\log_{3}4>\log_{4}5\)。
对数综合难题类
15. 已知\(f(x)=\log_{a}\frac{1 - mx}{x - 1}(a>0,a\neq1)\)是奇函数，求\(m\)的值及\(f(x)\)的定义域
答案：因为\(f(x)\)是奇函数，所以\(f(-x)=-f(x)\)，即\(\log_{a}\frac{1 + mx}{-x - 1}=-\log_{a}\frac{1 - mx}{x - 1}=\log_{a}\frac{x - 1}{1 - mx}\)，则\(\frac{1 + mx}{-x - 1}=\frac{x - 1}{1 - mx}\)，化简得\(1 - m^{2}x^{2}=1 - x^{2}\)，所以\(m^{2}=1\)，\(m=\pm1\)。当\(m = 1\)时，\(f(x)=\log_{a}\frac{1 - x}{x - 1}=\log_{a}(-1)\)无意义，舍去；当\(m=-1\)时，\(f(x)=\log_{a}\frac{1 + x}{x - 1}\)，由\(\frac{1 + x}{x - 1}>0\)得\(x>1\)或\(x<-1\)，所以定义域为\((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)。
16. 设\(f(x)=\log_{2}\frac{1 + x}{1 - x}\)，\(g(x)=2^{x}+2^{-x}\)，证明\(f(x)\)是奇函数且\(g(x)\)是偶函数
答案：\(f(x)\)的定义域为\((-1,1)\)关于原点对称，\(f(-x)=\log_{2}\frac{1 - x}{1 + x}=-\log_{2}\frac{1 + x}{1 - x}=-f(x)\)，所以\(f(x)\)是奇函数。\(g(x)\)的定义域为\(R\)，\(g(-x)=2^{-x}+2^{x}=g(x)\)，所以\(g(x)\)是偶函数。
17. 已知\(f(x)=\log_{4}(4^{x}+1)+kx(k\in R)\)是偶函数，求\(k\)的值
答案：因为\(f(x)\)是偶函数，所以\(f(-x)=f(x)\)，即\(\log_{4}(4^{-x}+1)-kx=\log_{4}(4^{x}+1)+kx\)，\(\log_{4}(4^{-x}+1)-\log_{4}(4^{x}+1)=2kx\)，\(\log_{4}\frac{4^{-x}+1}{4^{x}+1}=2kx\)，\(\log_{4}\frac{\frac{1}{4^{x}}+1}{4^{x}+1}=2kx\)，\(\log_{4}\frac{1 + 4^{x}}{4^{x}(4^{x}+1)}=2kx\)，\(\log_{4}\frac{1}{4^{x}}=2kx\)，\(-x = 2kx\)对任意\(x\)都成立，所以\(k=-\frac{1}{2}\)。
18. 已知函数\(f(x)=\log_{a}(x + 1)\)，\(g(x)=\log_{a}(1 - x)(a>0,a\neq1)\)，设\(h(x)=f(x)-g(x)\)，讨论\(h(x)\)的单调性
答案：\(h(x)=\log_{a}(x + 1)-\log_{a}(1 - x)=\log_{a}\frac{x + 1}{1 - x}\)，其定义域为\((-1,1)\)。\(h(x)=\log_{a}\frac{x + 1}{1 - x}=\log_{a}(-1+\frac{2}{1 - x})\)，设\(t=-1+\frac{2}{1 - x}\)，\(t\)在\((-1,1)\)上是增函数。当\(a>1\)时，\(y=\log_{a}t\)是增函数，根据复合函数同增异减的性质，\(h(x)\)在\((-1,1)\)上是增函数；当\(0<a<1\)时，\(y=\log_{a}t\)是减函数，\(h(x)\)在\((-1,1)\)上是减函数。
