∑ - 求和符号（西格玛）的性质
∑ 是一个求和符号，英语名称：sigma，汉语名称：西格玛（大写Σ，小写σ），
∑ 英文意思为Sum，Summation，汉语意思为“和”“总和”。
在数学中，通常把∑作为求和符号使用，∑ 是由Sum的首字母S演化而来；用小写字母σ，表示标准差。
求和的功能类似下面这段C++代码：
#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
const int n = 5; // 这里假设数组大小为n，你可以根据实际情况修改
int arr[n + 1]; // 数组大小多分配1个位置，使索引能从1开始
// 初始化数组（这里简单示例赋值，实际可能有不同来源的数据）
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
arr[i] = i;
}
int sum = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
sum += arr[i];
}
cout << "数组从1到" << n << "的元素之和为: " << sum << endl;
return 0;
}
1. 线性性质
加法性质：对于两个数列\(\left\{a_{n}\right\}\)和\(\left\{b_{n}\right\}\)，以及整数\(m\)和\(n\)（\(m\leq n\)），有
\(\sum_{i = m}^{n}(a_{i}+b_{i})=\sum_{i = m}^{n}a_{i}+\sum_{i = m}^{n}b_{i}\)。
例如，若\(a_{i}=i\)，\(b_{i}=2i\)，\(m = 1\)，\(n = 3\)，则
\(\sum_{i = 1}^{3}(a_{i}+b_{i})=(1 + 2\times1)+(2+2\times2)+(3 + 2\times3)\)
\(= (1+2)+(2 + 4)+(3+6)=3+6 + 9 = 18\)
\(\sum_{i = 1}^{3}a_{i}=\sum_{i = 1}^{3}i=1 + 2+3 = 6\)
\(\sum_{i = 1}^{3}b_{i}=\sum_{i = 1}^{3}2i=2\times1+2\times2 + 2\times3=2 + 4+6 = 12\)
可以验证\(\sum_{i = 1}^{3}(a_{i}+b_{i})=\sum_{i = 1}^{3}a_{i}+\sum_{i = 1}^{3}b_{i}\)。
数乘性质：对于数列\(\left\{a_{n}\right\}\)，常数\(c\)，以及整数\(m\)和\(n\)（\(m\leq n\)），有\(\sum_{i = m}^{n}ca_{i}=c\sum_{i = m}^{n}a_{i}\)。
例如，若\(a_{i}=i\)，\(c = 3\)，\(m = 1\)，\(n = 4\)，则
\(\sum_{i = 1}^{4}3a_{i}=3\times1+3\times2+3\times3 + 3\times4\)
\(=3\times(1 + 2+3+4)=3\times10 = 30\)
\(\sum_{i = 1}^{4}a_{i}=1 + 2+3+4 = 10\)
可以验证\(\sum_{i = 1}^{4}3a_{i}=3\sum_{i = 1}^{4}a_{i}\)。
2. 求和指标的变换性质
平移性质：设\(k\)为常数，对于整数\(m\)，\(n\)（\(m\leq n\)），\(\sum_{i = m}^{n}a_{i}=\sum_{j=m + k}^{n + k}a_{j - k}\)。
例如，若\(a_{i}=i\)，\(m = 1\)，\(n = 3\)，\(k = 2\)，则
\(\sum_{i = 1}^{3}a_{i}=1 + 2+3 = 6\)，\(\sum_{j=3}^{5}a_{j - 2}\)，
当\(j = 3\)时，\(a_{3 - 2}=a_{1}=1\)；
当\(j = 4\)时，\(a_{4 - 2}=a_{2}=2\)；
当\(j = 5\)时，\(a_{5 - 2}=a_{3}=3\)，
所以\(\sum_{j=3}^{5}a_{j - 2}=1 + 2+3 = 6\)，可以验证\(\sum_{i = 1}^{3}a_{i}=\sum_{j=3}^{5}a_{j - 2}\)。
换元性质（重命名性质）：若\(j = f(i)\)是一个一一对应的映射（双射），那么
\(\sum_{i = m}^{n}a_{i}=\sum_{j = f(m)}^{f(n)}a_{f^{-1}(j)}\)（这里\(f^{-1}\)是\(f\)的反函数）。
例如，设\(a_{i}=i\)，\(m = 1\)，\(n = 3\)，令\(j = i + 1\)，则\(i=j - 1\)，\(\sum_{i = 1}^{3}a_{i}=1 + 2+3 = 6\)，\(\sum_{j = 2}^{4}a_{j - 1}\)，
当\(j = 2\)时，\(a_{2 - 1}=a_{1}=1\)；
当\(j = 3\)时，\(a_{3 - 1}=a_{2}=2\)；
当\(j = 4\)时，\(a_{4 - 1}=a_{3}=3\)，
所以\(\sum_{j = 2}^{4}a_{j - 1}=1 + 2+3 = 6\)，可以验证\(\sum_{i = 1}^{3}a_{i}=\sum_{j = 2}^{4}a_{j - 1}\)。
3. 拆分与合并区间性质
拆分性质：对于整数\(m\)，\(n\)，\(p\)（\(m\leq n\leq p\)），\(\sum_{i = m}^{p}a_{i}=\sum_{i = m}^{n}a_{i}+\sum_{i = n + 1}^{p}a_{i}\)。
例如，若\(a_{i}=i\)，\(m = 1\)，\(n = 3\)，\(p = 5\)，则
\(\sum_{i = 1}^{5}a_{i}=1 + 2+3+4 + 5 = 15\)
\(\sum_{i = 1}^{3}a_{i}=1 + 2+3 = 6\)
\(\sum_{i = 4}^{5}a_{i}=4 + 5 = 9\)，可以验证
\(\sum_{i = 1}^{5}a_{i}=\sum_{i = 1}^{3}a_{i}+\sum_{i = 4}^{5}a_{i}\)。
合并性质（相反过程）：如果有\(\sum_{i = m}^{n}a_{i}\)和\(\sum_{i = n + 1}^{p}a_{i}\)，可以合并为\(\sum_{i = m}^{p}a_{i}\)，前提是区间是连续的。
4. 有限求和的结合律性质
对于整数\(m\)，\(n\)（\(m\leq n\)），\(\left(\sum_{i = m}^{n}a_{i}\right)+\left(\sum_{i = m}^{n}b_{i}\right)=\sum_{i = m}^{n}(a_{i}+b_{i})\)，
这其实也是线性性质中加法性质的一种体现，不过从结合律的角度可以加深理解。
例如，设\(a_{i}=2i\)，\(b_{i}=3i\)，\(m = 1\)，\(n = 3\)
\(\left(\sum_{i = 1}^{3}a_{i}\right)+\left(\sum_{i = 1}^{3}b_{i}\right)\)
\(=(2\times1+2\times2+2\times3)+(3\times1+3\times2+3\times3)\)
\(=(2 + 4+6)+(3 + 6+9)=12 + 18 = 30\)
\(\sum_{i = 1}^{3}(a_{i}+b_{i})=(2\times1+3\times1)+(2\times2+3\times2)+(2\times3+3\times3)\)
\(=(2 + 3)+(4 + 6)+(6 + 9)=5+10 + 15 = 30\)，
可以验证
\(\left(\sum_{i = 1}^{3}a_{i}\right)+\left(\sum_{i = 1}^{3}b_{i}\right)=\sum_{i = 1}^{3}(a_{i}+b_{i})\)。
