初中数学 06 分式值为0的条件
一、分式的定义回顾
分式是用\(A\)、\(B\)表示两个整式，\(A\div B\)就可以表示成\(\frac{A}{B}\)的形式，其中\(B\)中含有字母。
例如\(\frac{x + 1}{x - 1}\)、\(\frac{3}{x}\)等都是分式。
二、分式值为\(0\)的条件阐述
分式值为\(0\)的条件是分子\(A = 0\)且分母\(B\neq0\)。
因为分式的值是分子除以分母的商，当分子为\(0\)，分母不为\(0\)时，这个商才为\(0\)。
三、举例说明
简单分式：
对于分式\(\frac{x}{x - 1}\)，要使它的值为\(0\)，则分子\(x = 0\)，同时分母\(x - 1\neq0\)，即\(x\neq1\)。所以当\(x = 0\)时，该分式的值为\(0\)。
复杂分式（分子分母为多项式）：
考虑分式\(\frac{x^2 - 1}{x + 2}\)。首先对分子进行因式分解，\(x^2 - 1=(x + 1)(x - 1)\)。要使分式的值为\(0\)，则分子\((x + 1)(x - 1)=0\)，解得\(x = 1\)或\(x=-1\)。同时，分母\(x + 2\neq0\)，即\(x\neq - 2\)。所以当\(x = 1\)或\(x=-1\)时，该分式的值为\(0\)。
四、在函数中的应用（分式函数）
对于分式函数\(y=\frac{x - 2}{x^2 - 4}\)，先对分母进行因式分解，\(x^2 - 4=(x + 2)(x - 2)\)。要使函数值\(y = 0\)，则分子\(x - 2 = 0\)，解得\(x = 2\)。但当\(x = 2\)时，分母\((x + 2)(x - 2)=0\)，分式无意义。所以需要排除\(x = 2\)这个值。因此，这个分式函数不存在使函数值为\(0\)的\(x\)取值。
五、在方程中的应用
在分式方程\(\frac{2x - 1}{x + 3}=0\)中，根据分式值为\(0\)的条件，可得\(2x - 1 = 0\)且\(x + 3\neq0\)。解方程\(2x - 1 = 0\)，得\(x=\frac{1}{2}\)，且\(x=\frac{1}{2}\)满足\(x + 3\neq0\)，所以\(x=\frac{1}{2}\)是该分式方程的解。
