一、椭圆的第一定义

1. 定义内容

平面内与两个定点\(F_1\)、\(F_2\)的距离之和等于常数（大于\(|F_1F_2|\)）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，用\(2c\)表示，即\(|F_1F_2| = 2c\)。设点\(P\)是椭圆上任意一点，则\(|PF_{1}|+|PF_{2}| = 2a\)（\(a>c>0\)）。

2. 对定义的理解

常数的范围：距离之和这个常数必须大于两焦点之间的距离\(|F_1F_2|\)。如果等于\(|F_1F_2|\)，那么轨迹就是线段\(F_1F_2\)；如果小于\(|F_1F_2|\)，这样的点不存在。

几何意义：从直观上看，椭圆是一种封闭的曲线，它在平面内的位置由两个焦点的位置决定。例如，当两个焦点重合时，椭圆就变成了圆（此时\(c = 0\)，\(a=b\)）。

3. 推导椭圆方程（以焦点在\(x\)轴为例）

设椭圆的两个焦点\(F_1(-c,0)\)，\(F_2(c,0)\)，设椭圆上任意一点\(P(x,y)\)。

根据椭圆的第一定义\(\vert PF_{1}\vert+\vert PF_{2}\vert = 2a\)。

由两点间距离公式可得\(\sqrt{(x + c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x - c)^{2}+y^{2}}=2a\)。

对其进行化简：

移项\(\sqrt{(x + c)^{2}+y^{2}}=2a-\sqrt{(x - c)^{2}+y^{2}}\)。

两边平方\((x + c)^{2}+y^{2}=4a^{2}-4a\sqrt{(x - c)^{2}+y^{2}}+(x - c)^{2}+y^{2}\)。

展开并整理得\(a^{2}-cx=a\sqrt{(x - c)^{2}+y^{2}}\)。

再两边平方\(a^{4}- 2a^{2}cx + c^{2}x^{2}=a^{2}\left[(x - c)^{2}+y^{2}\right]\)。

继续展开\(a^{4}-2a^{2}cx + c^{2}x^{2}=a^{2}\left(x^{2}-2cx + c^{2}+y^{2}\right)\)。

化简得\((a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})\)。

令\(b^{2}=a^{2}-c^{2}\)，则椭圆方程为\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a>b>0)\)。

4. 焦点在\(y\)轴上的椭圆方程推导类似

焦点坐标为\(F_1(0,-c)\)，\(F_2(0,c)\)，设椭圆上一点\(P(x,y)\)，根据椭圆第一定义\(\vert PF_{1}\vert+\vert PF_{2}\vert = 2a\)，经过类似的推导过程，可得椭圆方程为\(\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)\)。

二、椭圆的第二定义

1. 定义内容

平面内与一个定点\(F\)（焦点）和一条定直线\(l\)（准线）的距离之比为常数\(e\)（\(0\lt e\lt1\)）的点的轨迹是椭圆。

设椭圆上任意一点\(P(x,y)\)，焦点\(F(c,0)\)（以焦点在\(x\)轴为例），相应准线方程为\(x = \pm\frac{a^{2}}{c}\)。根据定义\(\frac{\vert PF\vert}{d}=e\)（\(d\)是点\(P\)到准线的距离）。

2. 对定义的理解

常数\(e\)的意义：这个常数\(e\)就是椭圆的离心率。离心率反映了椭圆的扁平程度，\(e=\frac{c}{a}\)，当\(e\)越接近\(0\)时，椭圆越接近圆；当\(e\)越接近\(1\)时，椭圆越扁平。

与第一定义的联系：可以从第一定义推导出第二定义。由椭圆第一定义\(\vert PF_{1}\vert+\vert PF_{2}\vert = 2a\)（焦点\(F_{1}(-c,0)\)，\(F_{2}(c,0)\)），对于焦点\(F_{2}(c,0)\)和右准线\(x=\frac{a^{2}}{c}\)，设点\(P(x,y)\)，点\(P\)到右准线的距离\(d = x-\frac{a^{2}}{c}\)，\(\vert PF_{2}\vert=\sqrt{(x - c)^{2}+y^{2}}\)。

根据\(\frac{\vert PF_{2}\vert}{d}=e\)，结合椭圆方程\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)（\(b^{2}=a^{2}-c^{2}\)）可以证明第二定义与第一定义是等价的。

3. 推导椭圆方程（以焦点在\(x\)轴为例，利用第二定义）

设焦点\(F(c,0)\)，准线\(x=\frac{a^{2}}{c}\)，设\(P(x,y)\)是椭圆上一点。

根据第二定义\(\frac{\sqrt{(x - c)^{2}+y^{2}}}{\vert x-\frac{a^{2}}{c}\vert}=e\)（\(e=\frac{c}{a}\)）。

化简可得\((a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})\)，令\(b^{2}=a^{2}-c^{2}\)，得到椭圆方程\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a>b>0)\)。

4. 焦点在\(y\)轴上的情况

焦点\(F(0,c)\)，准线\(y=\frac{a^{2}}{c}\)，同样根据第二定义\(\frac{\sqrt{(x - 0)^{2}+(y - c)^{2}}}{\vert y-\frac{a^{2}}{c}\vert}=e\)（\(e=\frac{c}{a}\)），经过化简可以得到椭圆方程\(\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1(a>b>0)\)。

三、椭圆的第三定义

1. 定义内容

平面内的动点到两定点\(A_1(a,0)\)、\(A_2(-a,0)\)（\(a\neq0\)）的斜率乘积为常数\(k\)（\(k\neq0\)）的点的轨迹是椭圆或双曲线（除去两定点）。当\(- 1<k<0\)时为椭圆。

设动点\(P(x,y)\)，则\(k_{PA_{1}}\cdot k_{PA_{2}}=\frac{y}{x - a}\cdot\frac{y}{x + a}=k\)，整理可得\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{-ka^{2}} = 1\)（当\(-1 < k <0\)）。

2. 对定义的理解

从几何角度：它描述了一种点与两个定点之间斜率关系所确定的轨迹。例如，当一个点在平面内运动时，它与两个固定点连线的斜率之积为一个特定的介于\(-1\)和\(0\)之间的常数，那么这个点的轨迹就是椭圆。

与其他定义的联系：与第一定义相比，第一定义是从距离的角度来定义椭圆，而第三定义是从斜率乘积的角度。但它们都可以用来确定椭圆的轨迹。如果从第三定义出发，通过一定的代数变换和几何分析，也可以推导出椭圆的一些性质，如离心率等。

特殊情况说明：当\(k = - 1\)时，轨迹是圆；当\(k>0\)或\(k < - 1\)时，轨迹是双曲线。所以第三定义在一定程度上也体现了椭圆、双曲线这些圆锥曲线之间的联系和区别。

四、椭圆的第四定义

1. 动态定义（涉及圆锥曲线的统一定义延伸）

椭圆可以看作是一个动点在平面内，它到一个定点（焦点）的距离与它到一条定直线（准线）的距离之比是一个常数\(e\)（\(0 < e<1\)）。这个定义和椭圆的第二定义有相似之处，但如果从圆锥曲线统一定义的动态变化角度看，可以当作一种“第四定义”。

想象在平面直角坐标系中，有一个定点\(F\)和一条定直线\(l\)，当点\(P\)按照上述距离比例关系运动时，就会形成椭圆。例如，假设焦点\(F(c,0)\)，准线\(x = \frac{a^{2}}{c}\)，点\(P(x,y)\)，根据\(\frac{\vert PF\vert}{d}=e\)（\(d\)是点\(P\)到准线的距离）来确定椭圆轨迹，这里的\(e=\frac{c}{a}\)且\(0 < e<1\)。

2. 极坐标定义（在极坐标系下）

在极坐标系中，椭圆的方程可以写成\(\rho=\frac{ep}{1 - e\cos\theta}\)（焦点在极点，极轴为\(x\)轴正半轴），这也可以看作是椭圆的一种定义方式。

其中\(e\)是离心率（\(0 < e<1\)），\(p\)是焦点到相应准线的距离。从这个定义出发，可以方便地研究椭圆在极坐标下的性质，比如当\(\theta\)变化时，\(\rho\)（点到极点的距离）的变化规律，并且可以通过极坐标与直角坐标的转换，将椭圆在极坐标下的性质与直角坐标下的性质联系起来。

例如，当研究行星绕太阳运动的轨道（近似椭圆）时，用极坐标下的椭圆定义来描述轨道方程就比较方便，因为极坐标更符合这种中心力场（太阳对行星的引力）的几何特征。

五、椭圆的标准方程

1. 焦点在\(x\)轴上的椭圆标准方程

设椭圆的两个焦点\(F_1(-c,0)\)，\(F_2(c,0)\)（\(c>0\)），椭圆上任意一点\(P(x,y)\)。

根据椭圆的第一定义\(\vert PF_{1}\vert+\vert PF_{2}\vert = 2a\)（\(a > c>0\)），由两点间距离公式可得\(\sqrt{(x + c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x - c)^{2}+y^{2}} = 2a\)。

经过一系列化简（如移项、平方等操作），令\(b^{2}=a^{2}-c^{2}\)（\(b>0\)），得到椭圆的标准方程为\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b>0)\)。

例如，对于椭圆\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1\)，这里\(a^{2}=9\)，则\(a = 3\)；\(b^{2}=5\)，则\(b=\sqrt{5}\)；\(c^{2}=a^{2}-b^{2}=9 - 5 = 4\)，所以\(c = 2\)，焦点坐标为\(F_1(-2,0)\)，\(F_2(2,0)\)。

2. 焦点在\(y\)轴上的椭圆标准方程

设焦点\(F_1(0,-c)\)，\(F_2(0,c)\)（\(c>0\)），椭圆上一点\(P(x,y)\)。

同样根据椭圆的第一定义\(\vert PF_{1}\vert+\vert PF_{2}\vert = 2a\)，通过推导可得椭圆方程为\(\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a > b>0)\)，其中\(b^{2}=a^{2}-c^{2}\)。

例如，椭圆\(\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{7}=1\)，这里\(a^{2}=16\)，所以\(a = 4\)；\(b^{2}=7\)，则\(b=\sqrt{7}\)；\(c^{2}=a^{2}-b^{2}=16 - 7 = 9\)，\(c = 3\)，焦点坐标为\(F_1(0,-3)\)，\(F_2(0,3)\)。

3. 标准方程的特点

对于\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b>0)\)（焦点在\(x\)轴），\(x\)的分母\(a^{2}\)是长半轴长\(a\)的平方，\(y\)的分母\(b^{2}\)是短半轴长\(b\)的平方，焦点在\(x\)轴上，坐标为\((\pm c,0)\)。

对于\(\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a > b>0)\)（焦点在\(y\)轴），\(y\)的分母\(a^{2}\)是长半轴长\(a\)的平方，\(x\)的分母\(b^{2}\)是短半轴长\(b\)的平方，焦点在\(y\)轴上，坐标为\((0,\pm c)\)。

六、椭圆的性质

1. 对称性

关于坐标轴和原点对称：椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a>b>0)\)（焦点在\(x\)轴）和\(\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)\)（焦点在\(y\)轴）都关于\(x\)轴、\(y\)轴和原点对称。

对于关于\(x\)轴对称，若点\((x,y)\)在椭圆上，那么\((x,-y)\)也在椭圆上。以焦点在\(x\)轴的椭圆方程\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)为例，将\(y\)换为\(-y\)，方程不变。同理，对于关于\(y\)轴对称，将\(x\)换为\(-x\)方程也不变。对于关于原点对称，将\(x\)换为\(-x\)且\(y\)换为\(-y\)方程依然不变。

2. 顶点坐标

焦点在\(x\)轴上的椭圆：其顶点坐标为\((\pm a,0)\)和\((0,\pm b)\)。长轴长为\(2a\)，短轴长为\(2b\)。长轴端点坐标是\((\pm a,0)\)，短轴端点坐标是\((0,\pm b)\)。

焦点在\(y\)轴上的椭圆：顶点坐标为\((0,\pm a)\)和\((\pm b,0)\)。长轴长为\(2a\)，短轴长为\(2b\)。长轴端点坐标是\((0,\pm a)\)，短轴端点坐标是\((\pm b,0)\)。

3. 范围

焦点在\(x\)轴上的椭圆：\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)，可得\(-a\leq x\leq a\)，\(-b\leq y\leq b\)。因为\(\frac{x^{2}}{a^{2}}\leq1\)，所以\(x^{2}\leq a^{2}\)，即\(-a\leq x\leq a\)；同理\(\frac{y^{2}}{b^{2}}\leq1\)，所以\(y^{2}\leq b^{2}\)，即\(-b\leq y\leq b\)。

焦点在\(y\)轴上的椭圆：\(\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1\)，可得\(-b\leq x\leq b\)，\(-a\leq y\leq a\)。

4. 离心率

椭圆的离心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(0 < e<1\)），其中\(c\)是半焦距。离心率反映椭圆的扁平程度，\(e\)越接近\(0\)，椭圆越接近圆；\(e\)越接近\(1\)，椭圆越扁平。

例如，对于椭圆\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)，\(a^{2}=4\)，\(a = 2\)，\(b^{2}=3\)，\(c^{2}=a^{2}-b^{2}=1\)，\(c = 1\)，离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\)。

5. 准线方程

焦点在\(x\)轴上的椭圆：准线方程为\(x=\pm\frac{a^{2}}{c}\)。

焦点在\(y\)轴上的椭圆：准线方程为\(y=\pm\frac{a^{2}}{c}\)。

准线与椭圆的焦点和离心率有关，根据椭圆的第二定义，椭圆上的点到焦点的距离与到相应准线的距离之比为离心率\(e\)。

七、椭圆的参数方程

1. 焦点在\(x\)轴上的椭圆参数方程

对于椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)（\(a>b>0\)），其参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}x = a\cos t\\y = b\sin t\end{array}\right.\)（\(t\)为参数，\(t\in[0,2\pi)\)）。

从几何意义上理解，参数\(t\)可以看作是以原点为圆心，以\(a\)为半径的圆上的点对应的圆心角（在\(xOy\)平面内）。当点在这个辅助圆上运动时，椭圆上对应的点\((x,y)\)的横坐标\(x = a\cos t\)是由辅助圆上点的横坐标按照椭圆长半轴\(a\)进行缩放得到的，纵坐标\(y = b\sin t\)是按照椭圆短半轴\(b\)对辅助圆上点的纵坐标进行缩放得到的。

例如，给定椭圆方程\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\)，其参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}x = 3\cos t\\y = 2\sin t\end{array}\right.\)，当\(t = \frac{\pi}{4}\)时，\(x = 3\cos\frac{\pi}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)，\(y = 2\sin\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}\)，得到椭圆上的一个点\((\frac{3\sqrt{2}}{2},\sqrt{2})\)。

2. 焦点在\(y\)轴上的椭圆参数方程

对于椭圆\(\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1\)（\(a>b>0\)），其参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}x = b\cos t\\y = a\sin t\end{array}\right.\)（\(t\)为参数，\(t\in[0,2\pi)\)）。

同样，参数\(t\)也有类似的几何意义，不过此时是与以原点为圆心，\(b\)为半径的圆（在\(x\)轴方向）和以原点为圆心，\(a\)为半径的圆（在\(y\)轴方向）相关联。通过对这两个辅助圆上点的坐标按照\(b\)和\(a\)进行缩放，得到椭圆上的点坐标。

例如，对于椭圆方程\(\frac{y^{2}}{25}+\frac{x^{2}}{16}=1\)，参数方程是\(\left\{\begin{array}{l}x = 4\cos t\\y = 5\sin t\end{array}\right.\)，当\(t=\frac{\pi}{3}\)时，\(x = 4\cos\frac{\pi}{3}=2\)，\(y = 5\sin\frac{\pi}{3}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\)，得到椭圆上的点\((2,\frac{5\sqrt{3}}{2})\)。

3. 参数方程的应用

简化计算：在一些涉及椭圆的问题中，如求椭圆上某段曲线的长度、椭圆所围成的图形绕坐标轴旋转所形成的旋转体体积等问题，使用参数方程可以使计算更加简便。例如，计算椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)（\(a>b>0\)）上一段弧长，根据弧长公式\(L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}dt\)，对于参数方程\(\left\{\begin{array}{l}x = a\cos t\\y = b\sin t\end{array}\right.\)，\(\frac{dx}{dt}=-a\sin t\)，\(\frac{dy}{dt}=b\cos t\)，则弧长\(L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{a^{2}\sin^{2}t + b^{2}\cos^{2}t}dt\)，这样就可以通过积分来计算弧长。

图形绘制：在计算机图形学等领域，使用椭圆的参数方程可以方便地绘制椭圆。通过给定不同的\(t\)值，计算出对应的\((x,y)\)坐标，然后将这些点连接起来，就可以得到椭圆的图形。

八、椭圆的切线方程

1. 已知切点的情况

焦点在\(x\)轴上的椭圆：对于椭圆方程\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a>b>0)\)，设切点为\((x_{0},y_{0})\)。

首先对椭圆方程两边同时对\(x\)求导，利用隐函数求导法则，\(\frac{2x}{a^{2}}+\frac{2y\cdot y^{\prime}}{b^{2}} = 0\)，解出\(y^{\prime}=-\frac{b^{2}x}{a^{2}y}\)。

把切点\((x_{0},y_{0})\)代入导数式子中，得到切线的斜率\(k = -\frac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}\)。

根据点斜式方程，切线方程为\(y - y_{0}=-\frac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}(x - x_{0})\)，整理可得\(\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}=\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}\)，因为\((x_{0},y_{0})\)在椭圆上，所以\(\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = 1\)，最终切线方程为\(\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}} = 1\)。

焦点在\(y\)轴上的椭圆：对于椭圆方程\(\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1(a>b>0)\)，设切点为\((x_{0},y_{0})\)。

同样对椭圆方程两边同时对\(x\)求导，得到\(\frac{2y\cdot y^{\prime}}{a^{2}}+\frac{2x}{b^{2}} = 0\)，解出\(y^{\prime}=-\frac{a^{2}x}{b^{2}y}\)。

将切点\((x_{0},y_{0})\)代入，可得切线斜率\(k = -\frac{a^{2}x_{0}}{b^{2}y_{0}}\)。

由点斜式可得切线方程为\(y - y_{0}=-\frac{a^{2}x_{0}}{b^{2}y_{0}}(x - x_{0})\)，整理后为\(\frac{x_{0}x}{b^{2}}+\frac{y_{0}y}{a^{2}}=\frac{x_{0}^{2}}{b^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{a^{2}}\)，又因为\((x_{0},y_{0})\)在椭圆上，所以\(\frac{x_{0}^{2}}{b^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{a^{2}} = 1\)，切线方程即为\(\frac{x_{0}x}{b^{2}}+\frac{y_{0}y}{a^{2}} = 1\)。

2. 已知斜率的情况

焦点在\(x\)轴上的椭圆：对于椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a>b>0)\)，设切线斜率为\(k\)。

由前面求导得到\(y^{\prime}=-\frac{b^{2}x}{a^{2}y}=k\)，则\(y = -\frac{b^{2}}{a^{2}k}x\)，将其代入椭圆方程\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)，得到\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(-\frac{b^{2}}{a^{2}k}x\right)^{2}}{b^{2}} = 1\)。

解这个方程可以求出切点的横坐标\(x\)的值，进而求出纵坐标\(y\)的值，再利用点斜式写出切线方程。

焦点在\(y\)轴上的椭圆：对于椭圆\(\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1(a>b>0)\)，设切线斜率为\(k\)。

因为\(y^{\prime}=-\frac{a^{2}x}{b^{2}y}=k\)，所以\(y = -\frac{a^{2}}{b^{2}k}x\)，将其代入椭圆方程\(\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1\)，得到\(\frac{\left(-\frac{a^{2}}{b^{2}k}x\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1\)。

求解该方程得到切点坐标，然后根据点斜式确定切线方程。

九、椭圆的法线方程

1. 已知切点求法线方程（焦点在\(x\)轴上的椭圆）

对于椭圆方程\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a > b > 0)\)，先求出椭圆在某点处的切线斜率。

对椭圆方程使用隐函数求导，\(\frac{2x}{a^{2}}+\frac{2y\cdot y^{\prime}}{b^{2}} = 0\)，解得\(y^{\prime}=-\frac{b^{2}x}{a^{2}y}\)。

设切点为\((x_{0},y_{0})\)，则在该点处切线的斜率\(k_{切}=-\frac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}\)。

因为法线与切线垂直，根据两垂直直线斜率之积为\(-1\)，所以在点\((x_{0},y_{0})\)处法线的斜率\(k_{法}=\frac{a^{2}y_{0}}{b^{2}x_{0}}\)（前提是\(x_{0}\neq0\)且\(y_{0}\neq0\)）。

由点斜式可得法线方程为\(y - y_{0}=\frac{a^{2}y_{0}}{b^{2}x_{0}}(x - x_{0})\)，整理得\(b^{2}x_{0}(y - y_{0})=a^{2}y_{0}(x - x_{0})\)，即\(a^{2}y_{0}x - b^{2}x_{0}y=a^{2}y_{0}^{2}-b^{2}x_{0}^{2}\)。

又因为\((x_{0},y_{0})\)在椭圆上，所以\(\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = 1\)，即\(b^{2}x_{0}^{2}+a^{2}y_{0}^{2}=a^{2}b^{2}\)，那么法线方程可化为\(a^{2}y_{0}x - b^{2}x_{0}y=a^{2}b^{2}-b^{2}x_{0}^{2}-a^{2}y_{0}^{2}\)，进一步化简为\(a^{2}y_{0}x - b^{2}x_{0}y=(a^{2}-x_{0}^{2})b^{2}-(b^{2}-y_{0}^{2})a^{2}\)。

2. 已知切点求法线方程（焦点在\(y\)轴上的椭圆）

对于椭圆方程\(\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1(a > b > 0)\)，求导可得\(\frac{2y\cdot y^{\prime}}{a^{2}}+\frac{2x}{b^{2}} = 0\)，解得\(y^{\prime}=-\frac{a^{2}x}{b^{2}y}\)。

设切点为\((x_{0},y_{0})\)，则切线斜率\(k_{切}=-\frac{a^{2}x_{0}}{b^{2}y_{0}}\)，法线斜率\(k_{法}=\frac{b^{2}y_{0}}{a^{2}x_{0}}\)（前提是\(x_{0}\neq0\)且\(y_{0}\neq0\)）。

由点斜式可得法线方程为\(y - y_{0}=\frac{b^{2}y_{0}}{a^{2}x_{0}}(x - x_{0})\)，整理得\(a^{2}x_{0}(y - y_{0})=b^{2}y_{0}(x - x_{0})\)，即\(b^{2}y_{0}x - a^{2}x_{0}y=b^{2}y_{0}^{2}-a^{2}x_{0}^{2}\)。

因为\((x_{0},y_{0})\)在椭圆上，所以\(\frac{x_{0}^{2}}{b^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{a^{2}} = 1\)，即\(a^{2}x_{0}^{2}+b^{2}y_{0}^{2}=a^{2}b^{2}\)，法线方程可化为\(b^{2}y_{0}x - a^{2}x_{0}y=a^{2}b^{2}-a^{2}x_{0}^{2}-b^{2}y_{0}^{2}\)，进一步化简为\(b^{2}y_{0}x - a^{2}x_{0}y=(b^{2}-y_{0}^{2})a^{2}-(a^{2}-x_{0}^{2})b^{2}\)。

十、椭圆面积公式

1. 椭圆面积公式

椭圆的面积公式是\(S = \pi ab\)，其中\(a\)和\(b\)分别是椭圆的长半轴和短半轴的长度。

2. 公式推导（以积分法为例）

对于椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)，可以将其变形为\(y = \pm\frac{b}{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\)。

椭圆关于\(x\)轴和\(y\)轴对称，所以只需要计算第一象限部分的面积，然后乘以\(4\)即可得到整个椭圆的面积。

在第一象限，\(y=\frac{b}{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\)，根据定积分的几何意义，第一象限椭圆的面积为\(S_{1}=\int_{0}^{a}\frac{b}{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx\)。

令\(x = a\sin t\)，则\(dx=a\cos tdt\)，当\(x = 0\)时，\(t = 0\)；当\(x=a\)时，\(t=\frac{\pi}{2}\)。

那么\(S_{1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{b}{a}\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin^{2}t}\cdot a\cos tdt=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{b}{a}\cdot a\cdot\cos t\cdot a\cos tdt\)

化简得\(S_{1}=ab\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}tdt\)。

利用三角函数公式\(\cos^{2}t=\frac{1 + \cos2t}{2}\)，则\(S_{1}=ab\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\cos2t}{2}dt\)

计算积分\(S_{1}=ab\left[\frac{t}{2}+\frac{\sin2t}{4}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi ab}{4}\)。

所以整个椭圆的面积\(S = 4S_{1}=\pi ab\)。

3. 直观理解（与圆的关系）

当\(a = b = r\)时，椭圆就变成了圆，此时椭圆的面积公式\(S=\pi ab\)就变成了圆的面积公式\(S=\pi r^{2}\)。可以把椭圆看作是一个被“拉伸”或“压缩”的圆，长半轴\(a\)和短半轴\(b\)分别控制着椭圆在\(x\)轴和\(y\)轴方向上的“拉伸”或“压缩”程度。

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