集合 01 高考数学集合类的真题与讲解

1. （2023年全国甲卷）设集合\(M=\{x|x = 2k + 1,k\in Z\}\)，\(N=\{x|x = k + 3,k\in Z\}\)，则（）

A. \(M\cap N = M\)

B. \(M\cup N = N\)

C. \((\complement_{Z}M)\cap N = N\)

D. \((\complement_{Z}M)\cup N = Z\)

解析：集合\(M\)表示奇数集，集合\(N\)表示整数集\(Z\)，因为奇数集是整数集的一部分。所以\(M\cap N = M\)，\(M\cup N = N\)，\(\complement_{Z}M\)表示偶数集，\((\complement_{Z}M)\cap N=\complement_{Z}M\)，\((\complement_{Z}M)\cup N = Z\)，答案是ABD。

2. （2022年新高考Ⅰ卷）若集合\(M=\{x|\sqrt{x}<4\}\)，\(N=\{x|3x\geq1\}\)，则\(M\cap N=\)（）

A. \(\left\{x\vert0\leq x < 2\right\}\)

B. \(\left\{x\vert\frac{1}{3}\leq x < 2\right\}\)

C. \(\left\{x\vert3\leq x < 16\right\}\)

D. \(\left\{x\vert\frac{1}{3}\leq x < 16\right\}\)

解析：对于集合\(M\)，由\(\sqrt{x}<4\)，得\(0\leq x < 16\)；对于集合\(N\)，由\(3x\geq1\)，得\(x\geq\frac{1}{3}\)。所以\(M\cap N=\left\{x\vert\frac{1}{3}\leq x < 16\right\}\)，答案是D。

3. （2021年全国乙卷）已知集合\(S=\{s|s = 2n + 1,n\in Z\}\)，\(T=\{t|t = 4n+1,n\in Z\}\)，则\(S\cap T=\)（）

A. \(\varnothing\)

B. \(S\)

C. \(T\)

D. \(Z\)

解析：集合\(S\)是奇数集，当\(n = 2k\)（\(k\in Z\)）时，\(s = 4k + 1\)；当\(n = 2k + 1\)（\(k\in Z\)）时，\(s = 4k + 3\)。所以\(T\)是\(S\)的真子集，\(S\cap T=T\)，答案是C。

4. （2020年全国Ⅲ卷）已知集合\(A=\{x|x^{2}-4x + 3 = 0\}\)，\(B=\{x|x^{2}-ax + a -1 = 0\}\)，\(C=\{x|x^{2}-mx + 1 = 0\}\)，且\(A\cup B = A\)，\(A\cap C = C\)，求\(a\)和\(m\)的值。

解析：先解方程\(x^{2}-4x + 3 = 0\)，得\((x - 1)(x - 3)=0\)，所以\(x = 1\)或\(x = 3\)，则\(A=\{1,3\}\)。

对于集合\(B\)，解方程\(x^{2}-ax + a - 1 = 0\)，得\((x - 1)[x-(a - 1)] = 0\)，\(x = 1\)或\(x=a - 1\)。因为\(A\cup B = A\)，所以\(B\subseteq A\)，则\(a - 1 = 1\)或\(a - 1 = 3\)，解得\(a = 2\)或\(a = 4\)。

因为\(A\cap C = C\)，所以\(C\subseteq A\)。当\(C=\varnothing\)时，方程\(x^{2}-mx + 1 = 0\)无实数根，\(\Delta=m^{2}-4<0\)，解得\(-2 < m < 2\)。当\(C=\{1\}\)时，\(1 - m + 1 = 0\)，解得\(m = 2\)；当\(C=\{3\}\)时，\(9 - 3m + 1 = 0\)，解得\(m=\frac{10}{3}\)，但此时\(x=\frac{1}{3}\)也满足方程，不满足\(C\subseteq A\)；当\(C=\{1,3\}\)时，由韦达定理\(m = 1 + 3 = 4\)，但\(1\times3\neq1\)，不成立。综上，\(a = 2\)或\(a = 4\)，\(-2 < m\leq2\)。

5. （2019年全国Ⅰ卷）已知集合\(U=\{1,2,3,4,5,6,7\}\)，\(A=\{2,3,4,5\}\)，\(B=\{2,3,6,7\}\)，则\(\complement_{U}(A\cap B)=\)（）

A. \(\{1,6,7\}\)

B. \(\{1,4,5,6,7\}\)

C. \(\{6,7\}\)

D. \(\{1,2,3,4,5\}\)

解析：先求\(A\cap B=\{2,3\}\)，然后求\(\complement_{U}(A\cap B)\)，即在全集\(U\)中去掉\(2\)和\(3\)，得到\(\{1,4,5,6,7\}\)，答案是B。

6. （2019年全国Ⅱ卷）设集合\(A=\{x|x^{2}-5x + 6>0\}\)，\(B=\{x|x - 1<0\}\)，则\(A\cap B=\)（）

A. \((-\infty,1)\)

B. \((-2,1)\)

C. \((-3,-1)\)

D. \((3,+\infty)\)

解析：解不等式\(x^{2}-5x + 6>0\)，即\((x - 2)(x - 3)>0\)，得\(x<2\)或\(x>3\)，所以\(A = (-\infty,2)\cup(3,+\infty)\)。解不等式\(x - 1<0\)得\(x<1\)，所以\(B=(-\infty,1)\)。则\(A\cap B = (-\infty,1)\)，答案是A。

7. （2019年全国Ⅲ卷）已知集合\(A=\{ - 1,0,1,2\}\)，\(B=\{x|x^{2}\leq1\}\)，则\(A\cap B=\)（）

A. \(\{ - 1,0,1\}\)

B. \(\{0,1\}\)

C. \(\{ - 1,1\}\)

D. \(\{0,1,2\}\)

解析：解不等式\(x^{2}\leq1\)，得\(-1\leq x\leq1\)，所以\(B = [ - 1,1]\)。则\(A\cap B=\{ - 1,0,1\}\)，答案是A。

8. （2018年全国Ⅰ卷）已知集合\(A=\{x|x^{2}-x - 2>0\}\)，\(B=\{x|x>1\}\)，则\(A\cap B=\)（）

A. \((1,2)\)

B. \(( - \infty, - 1)\cup(1,+\infty)\)

C. \(( - \infty, - 1)\cup(2,+\infty)\)

D. \((2,+\infty)\)

解析：解不等式\(x^{2}-x - 2>0\)，即\((x - 2)(x + 1)>0\)，得\(x< - 1\)或\(x>2\)，所以\(A = (-\infty, - 1)\cup(2,+\infty)\)。则\(A\cap B=(2,+\infty)\)，答案是D。

9. （2018年全国Ⅱ卷）已知集合\(A=\{1,3,5,7\}\)，\(B=\{2,3,4,5\}\)，则\(A\cap B=\)（）

A. \(\{3\}\)

B. \(\{5\}\)

C. \(\{3,5\}\)

D. \(\{1,2,3,4,5,7\}\)

解析：\(A\cap B\)是由既属于\(A\)又属于\(B\)的元素组成的集合，所以\(A\cap B = \{3,5\}\)，答案是C。

10. （2018年全国Ⅲ卷）已知集合\(A=\{x|x - 1\geq0\}\)，\(B=\{0,1,2\}\)，则\(A\cap B=\)（）

A. \(\{0\}\)

B. \(\{1\}\)

C. \(\{1,2\}\)

D. \(\{0,1,2\}\)

解析：解不等式\(x - 1\geq0\)得\(x\geq1\)，所以\(A = [1,+\infty)\)。则\(A\cap B=\{1,2\}\)，答案是C。

11. （2017年全国Ⅰ卷）已知集合\(A=\{x|x<1\}\)，\(B=\{x|3^{x}<1\}\)，则（）

A. \(A\cap B=\{x|x<0\}\)

B. \(A\cup B = R\)

C. \(A\cup B=\{x|x>1\}\)

D. \(A\cap B=\varnothing\)

解析：解不等式\(3^{x}<1\)，即\(3^{x}<3^{0}\)，得\(x<0\)，所以\(B = (-\infty,0)\)。则\(A\cap B=\{x|x<0\}\)，\(A\cup B = (-\infty,1)\)，答案是A。

12. （2017年全国Ⅱ卷）设集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则\(A\cup B=\)（）

A. \(\{1,2,3,4\}\)

B. \(\{1,2,3\}\)

C. \(\{2,3,4\}\)

D. \(\{1,3,4\}\)

解析：\(A\cup B\)是将\(A\)和\(B\)中的所有元素合并在一起组成的集合，相同元素只写一次，所以\(A\cup B=\{1,2,3,4\}\)，答案是A。

13. （2017年全国Ⅲ卷）已知集合\(A=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}\)，\(B=\{(x,y)|y = x\}\)，则\(A\cap B\)中元素的个数为（）

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

解析：联立方程组\(\begin{cases}x^{2}+y^{2}=1\\y = x\end{cases}\)，将\(y = x\)代入\(x^{2}+y^{2}=1\)得\(x^{2}+x^{2}=1\)，即\(2x^{2}=1\)，\(x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\)，对应的\(y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\)，所以\(A\cap B\)中有两个元素，答案是B。

14. （2016年全国Ⅰ卷）设集合\(A=\{x|x^{2}-4x + 3<0\}\)，\(B=\{x|2x - 3>0\}\)，则\(A\cap B=\)（）

A. \(( - \infty, - 3)\)

B. \(( - 3,\frac{3}{2})\)

C. \((1,\frac{3}{2})\)

D. \((\frac{3}{2},3)\)

解析：解不等式\(x^{2}-4x + 3<0\)，即\((x - 1)(x - 3)<0\)，得\(1<x<3\)，所以\(A=(1,3)\)。解不等式\(2x - 3>0\)得\(x>\frac{3}{2}\)，所以\(B = (\frac{3}{2},+\infty)\)。则\(A\cap B=(\frac{3}{2},3)\)，答案是D。

15. （2016年全国Ⅱ卷）已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{x|(x + 1)(x - 2)<0\}\)，则\(A\cap B=\)（）

A. \(\{1\}\)

B. \(\{1,2\}\)

C. \(\{2,3\}\)

D. \(\{1,2,3\}\)

解析：解不等式\((x + 1)(x - 2)<0\)，得\(-1<x<2\)，所以\(B = (-1,2)\)。则\(A\cap B=\{1\}\)，答案是A。

16. （2016年全国Ⅲ卷）设集合\(S=\{x|(x - 2)(x - 3)\geq0\}\)，\(T=\{x|x>0\}\)，则\(S\cap T=\)（）

A. \([2,3]\)

B. \((-\infty,2]\cup[3,+\infty)\)

C. \([3,+\infty)\)

D. \((0,2]\cup[3,+\infty)\)

解析：解不等式\((x - 2)(x - 3)\geq0\)，得\(x\leq2\)或\(x\geq3\)，所以\(S = (-\infty,2]\cup[3,+\infty)\)。则\(S\cap T=(0,2]\cup[3,+\infty)\)，答案是D。

17. （2015年全国Ⅰ卷）已知集合\(A = \{x|x = 3n+2,n\in N\}\)，\(B = \{6,8,10,12,14\}\)，则集合\(A\cap B\)中元素的个数为（）

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

解析：在集合\(A\)中，当\(n = 0\)时，\(x = 3\times0 + 2=2\)；当\(n = 1\)时，\(x = 3\times1+2 = 5\)；当\(n = 2\)时，\(x = 3\times2+2=8\)；当\(n = 3\)时，\(x = 3\times3 + 2 = 11\)；当\(n = 4\)时，\(x = 3\times4+2 = 14\)。所以\(A\cap B=\{8,14\}\)，元素个数为\(2\)，答案是D。

18. （2015年全国Ⅱ卷）已知集合\(A=\{ - 2,-1,0,1,2\}\)，\(B=\{x|(x - 1)(x + 2)<0\}\)，则\(A\cap B=\)（）

A. \(\{ - 1,0\}\)

B. \(\{0,1\}\)

C. \(\{ - 1,0,1\}\)

D. \(\{0,1,2\}\)

解析：解不等式\((x - 1)(x + 2)<0\)，得到\(-2<x<1\)，所以\(B=\{x|-2<x<1\}\)。则\(A\cap B=\{ - 1,0\}\)，答案是A。

19. （2014年全国Ⅰ卷）已知集合\(M=\{x|-1<x<3\}\)，\(N=\{x|-2<x<1\}\)，则\(M\cap N=\)（）

A. \(( - 2,1)\)

B. \(( - 1,1)\)

C. \((1,3)\)

D. \(( - 2,3)\)

解析：\(M\cap N\)是同时满足\(M\)和\(N\)条件的\(x\)的取值范围，所以\(M\cap N=\{x|-1<x<1\}\)，即\(( - 1,1)\)，答案是B。