一、函数的概念

定义：设\(A\)、\(B\)是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系\(f\)，使对于集合\(A\)中的任意一个数\(x\)，在集合\(B\)中都有唯一确定的数\(y\)和它对应，那么就称\(f\colon A\to B\)为从集合\(A\)到集合\(B\)的一个函数，记作\(y = f(x)\)，\(x\in A\)。

其中\(x\)叫做自变量，\(x\)的取值范围\(A\)叫做函数的定义域；

与\(x\)的值相对应的\(y\)值叫做函数值，函数值的集合\(\{f(x)\mid x\in A\}\)叫做函数的值域。

例如，对于函数\(f(x)=\sqrt{x}\)，其定义域为\([0,+\infty)\)，当\(x = 4\)时，\(f(4)=\sqrt{4}=2\)，函数的值域是\([0,+\infty)\)的一个子集。

二、函数的定义域

函数的定义域是指在函数关系中，自变量\(x\)能够取值的范围。

简单来说，就是使得函数表达式有意义的所有\(x\)的集合。

例如，对于函数\(y = \frac{1}{x}\)，因为除数不能为\(0\)，所以\(x\)的取值范围是除\(0\)以外的所有实数，这个范围就是该函数的定义域。

1、整式函数的定义域

对于整式函数\(y = f(x)=ax^n+bx^{n - 1}+\cdots + c\)（\(a\neq0\)，\(n\)为正整数），因为整式在实数范围内对任意\(x\)都有定义，所以其定义域为\(R\)（全体实数）。

例如\(y = 3x^2 - 2x + 1\)，\(x\)可以取任意实数，定义域是\((-\infty,+\infty)\)。

2、分式函数的定义域

对于分式函数\(y=\frac{g(x)}{h(x)}\)，要使函数有意义，则分母\(h(x)\neq0\)。

例如，对于函数\(y = \frac{1}{x - 2}\)，由\(x - 2\neq0\)，解得\(x\neq2\)，所以其定义域为\(\{x|x\neq2\}\)，用区间表示是\((-\infty,2)\cup(2,+\infty)\)。

3、根式函数的定义域

偶次根式函数：对于函数\(y = \sqrt[n]{g(x)}\)（\(n\)为偶数），要使函数有意义，根号下的式子\(g(x)\geqslant0\)。

例如，对于函数\(y = \sqrt{x + 3}\)，由\(x + 3\geqslant0\)，解得\(x\geqslant - 3\)，其定义域是\([-3,+\infty)\)。

奇次根式函数：对于函数\(y = \sqrt[n]{g(x)}\)（\(n\)为奇数），因为在实数范围内，奇次根式对\(x\)的取值没有限制，所以其定义域是\(R\)。

例如，\(y=\sqrt[3]{x - 1}\)的定义域是\((-\infty,+\infty)\)。

4、对数函数的定义域

对于对数函数\(y = \log_{a}x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)），根据对数的定义，真数\(x\)必须大于\(0\)。

例如，对于\(y = \log_{2}(x - 1)\)，有\(x - 1>0\)，解得\(x>1\)，其定义域是\((1,+\infty)\)。

5、三角函数的定义域

正弦函数：\(y = \sin x\)的定义域是\(R\)，因为对于任意实数\(x\)，正弦函数都有定义。

余弦函数：\(y = \cos x\)的定义域是\(R\)，因为对于任意实数\(x\)，余弦函数都有定义。

正切函数：对于\(y = \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)，要使函数有意义，\(\cos x\neq0\)，即\(x\neq k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in Z)\)，

所以其定义域是\(\left\{x|x\neq k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z\right\}\)。

余切函数：\(y = \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\)，要使函数有意义，\(\sin x\neq0\)，即\(x\neq k\pi(k\in Z)\)，

所以其定义域是\(\{x|x\neq k\pi,k\in Z\}\)。

6. 复合函数定义域的求解

对于复合函数\(y = f(g(x))\)，首先要确定内层函数\(g(x)\)的定义域，然后在这个定义域的基础上，

确定使得外层函数\(f(u)\)（\(u = g(x)\)）有意义的\(x\)的取值范围。

例如，已知\(y = f(u)=\sqrt{u}\)，\(u = g(x)=x - 1\)，对于\(y = f(g(x))=\sqrt{x - 1}\)，

先考虑内层函数\(g(x)=x - 1\)的定义域是\(R\)，再考虑外层函数\(y = f(u)=\sqrt{u}\)，要求\(u\geqslant0\)，即

\(x - 1\geqslant0\)，解得\(x\geqslant1\)，所以复合函数\(y = \sqrt{x - 1}\)的定义域是\([1,+\infty)\)。

7. 根据函数的运算求解定义域

函数相加或相减：若\(y = f(x)+g(x)\)，其定义域是\(f(x)\)与\(g(x)\)定义域的交集。

例如，\(f(x)=\sqrt{x}\)（定义域是\([0,+\infty)\)），\(g(x)=\frac{1}{x - 1}\)（定义域是\(\{x|x\neq1\}\)），则

\(y = f(x)+g(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{x - 1}\)的定义域是\([0,+\infty)\cap\{x|x\neq1\}=[0,1)\cup(1,+\infty)\)。

函数相乘或相除：若\(y = f(x)\cdot g(x)\)或\(y=\frac{f(x)}{g(x)}\)（\(g(x)\neq0\)），其定义域也是\(f(x)\)与\(g(x)\)定义域的交集。

例如，\(f(x)=\log_{2}x\)（定义域是\((0,+\infty)\)），\(g(x)=x - 2\)（定义域是\(R\)），则

\(y = f(x)\cdot g(x)=\log_{2}x\cdot(x - 2)\)的定义域是\((0,+\infty)\cap R=(0,+\infty)\)。

8、根据实际问题求解定义域

当函数是由实际问题抽象而来时，定义域要根据实际情况确定。

例如，一个函数表示制作某种产品的成本\(y\)与生产数量\(x\)的关系。如果生产设备的最大生产能力是\(1000\)件，那么\(x\)的取值范围（定义域）可能是\(0\leqslant x\leqslant1000\)且\(x\in N\)（\(N\)为自然数集），因为生产数量不能是负数，也不能超过设备的最大生产能力，并且通常生产数量是整数。

三、函数的值域

函数的值域是指函数在其定义域内所有可能的输出值（即函数值）的集合。

例如，对于函数\(y = x^2\)（\(x\in R\)），因为\(x^2\geqslant0\)，所以它的值域就是\([0, +\infty)\)。

1、观察法 求函数的值域

对于一些简单的函数，通过直接观察函数的性质和定义域来确定值域。

函数\(y = 3x + 5\)（\(x\in R\)）：

由于\(x\)可以取任意实数，\(3x\)也能取任意实数，那么\(3x + 5\)同样可以取任意实数，所以该函数的值域是\(R\)。

函数\(y = \frac{1}{x^2 + 1}\)（\(x\in R\)）：

因为\(x^2\geqslant0\)，则\(x^2 + 1\geqslant1\)，那么\(0 < \frac{1}{x^2 + 1}\leqslant1\)，所以其值域是\((0, 1]\)。

2、配方法 求函数的值域

主要用于二次函数，通过配方将函数化为顶点式，再根据顶点坐标和定义域来确定值域。

例如，对于函数\(y = x^2 - 4x + 3\)，配方可得：\(y=x^2 - 4x + 3=(x - 2)^2 - 1\)

因为\((x - 2)^2\geqslant0\)，所以\((x - 2)^2 - 1\geqslant - 1\)，当\(x = 2\)时取到最小值\(-1\)，其值域就是\([-1, +\infty)\)。

3、换元法 求函数的值域

当函数表达式较复杂时，通过换元将其转化为较简单的函数形式来求值域。

例如，求函数\(y = 2x + \sqrt{x - 1}\)的值域：

令\(t = \sqrt{x - 1}\)（\(t\geqslant0\)），则\(x = t^2 + 1\)，原函数可化为\(y = 2(t^2 + 1) + t = 2t^2 + t + 2\)。

对于二次函数\(y = 2t^2 + t + 2\)（\(t\geqslant0\)），其对称轴为\(t = -\frac{1}{4}\)，函数图象开口向上，在\(t\geqslant0\)时单调递增，所以当\(t = 0\)时，\(y\)取得最小值\(2\)，值域为\([2, +\infty)\)。

4、判别式法 求函数的值域

适用于形如\(y=\frac{ax^2 + bx + c}{dx^2 + ex + f}\)（\(d\neq0\)）的分式函数，将其化为关于\(x\)的一元二次方程，利用判别式\(\Delta\geqslant0\)来确定\(y\)的取值范围。

例如，求函数\(y=\frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}\)的值域：

将其变形为\((y - 1)x^2 + (y + 1)x + y - 1 = 0\)，当\(y = 1\)时，方程化为\(2x = 0\)，有解；当\(y\neq1\)时，因为\(x\)是实数，所以判别式\(\Delta=(y + 1)^2 - 4(y - 1)^2\geqslant0\)，解这个不等式：

\((y + 1)^2 - 4(y - 1)^2\geqslant0\)

\((y + 1 + 2y - 2)(y + 1 - 2y + 2)\geqslant0\)

\((3y - 1)(-y + 3)\geqslant0\)

得到\(\frac{1}{3}\leqslant y\leqslant3\)，综合可得函数的值域是\([\frac{1}{3}, 3]\)。

5、反函数法 求函数的值域

如果函数存在反函数，那么原函数的值域就是其反函数的定义域。

例如，函数\(y = \frac{1}{2}x + 3\)（\(x\in R\)），其反函数为\(y = 2x - 6\)（\(x\in R\)），原函数的值域就是\(R\)。

6、利用函数的单调性求值域

先判断函数在定义域内的单调性，再根据单调性确定值域。

例如，函数\(y = \frac{1}{x}\)在\((0, +\infty)\)上单调递减，当\(x\)从\(0\)的右侧趋近于\(0\)时，\(y\)趋近于\(+\infty\)；当\(x\)趋近于\(+\infty\)时，\(y\)趋近于\(0\)，所以在\((0, +\infty)\)上的值域是\((0, +\infty)\)。

7、不等式法 求函数的值域

利用一些常见的不等式来确定函数的值域。

例如，对于函数\(y = x + \frac{1}{x}\)（\(x > 0\)），根据均值不等式\(x+\frac{1}{x}\geqslant2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}} = 2\)，当且仅当\(x=\frac{1}{x}\)（即\(x = 1\)）时取等号，所以在\(x > 0\)时其值域是\([2, +\infty)\)。

8、图象法 求函数的值域

通过画出函数的图象，直观地观察函数值的取值范围来确定值域。

例如，对于函数\(y = |x - 1| + |x + 2|\)，画出其图象（通过分析绝对值的分段情况来画图），可以看出函数值最小为\(3\)，值域是\([3, +\infty)\)。

四、函数的性质

1、单调性

增函数：设函数\(y = f(x)\)的定义域为\(I\)，如果对于定义域\(I\)内的某个区间\(D\)内的任意两个自变量\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，当\(x_{1}<x_{2}\)时，都有\(f(x_{1})<f(x_{2})\)，那么就说\(f(x)\)在区间\(D\)上是增函数，区间\(D\)称为\(y = f(x)\)的单调增区间.

减函数：当对于定义域\(I\)内的某个区间\(D\)内的任意两个自变量\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，当\(x_{1}<x_{2}\)时，都有\(f(x_{1})>f(x_{2})\)，那么就说\(f(x)\)在区间\(D\)上是减函数，区间\(D\)称为\(y = f(x)\)的单调减区间.

2、奇偶性

偶函数：对于函数\(f(x)\)的定义域内的任意一个\(x\)，都有\(f(-x)=f(x)\)，那么\(f(x)\)就叫做偶函数。偶函数的图象关于\(y\)轴对称.

奇函数：对于函数\(f(x)\)的定义域内的任意一个\(x\)，都有\(f(-x)= -f(x)\)，那么\(f(x)\)就叫做奇函数。奇函数的图象关于原点对称.

3、周期性

设函数\(f(x)\)的定义域为\(D\)，如果存在一个正数\(T\)，使得对于任一\(x\in D\)有\((x\pm T)\in D\)，且\(f(x + T)=f(x)\)恒成立，则称\(f(x)\)为周期函数，\(T\)称为\(f(x)\)的周期，通常说周期函数的周期是指最小正周期.

4、有界性

上界：如果存在一个实数\(M\)，使得对于函数\(f(x)\)定义域内的任意\(x\)，都有\(f(x)\leq M\)，则称\(M\)是函数\(f(x)\)的一个上界。

下界：如果存在一个实数\(m\)，使得对于函数\(f(x)\)定义域内的任意\(x\)，都有\(f(x)\geq m\)，则称\(m\)是函数\(f(x)\)的一个下界。

有界函数：如果函数\(f(x)\)既有上界又有下界，则称\(f(x)\)是有界函数；否则，称\(f(x)\)是无界函数。

例如，正弦函数\(y = \sin x\)的值域是\([-1, 1]\)，所以它是有界函数。

5、连续性

连续：设函数\(y = f(x)\)在点\(x_{0}\)的某一邻域内有定义，如果函数\(f(x)\)当\(x\to x_{0}\)时的极限存在，且等于它在点\(x_{0}\)处的函数值\(f(x_{0})\)，即\(\lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})\)，则称函数\(y = f(x)\)在点\(x_{0}\)处连续。

间断点：如果函数\(f(x)\)在点\(x_{0}\)处不连续，则称点\(x_{0}\)为函数\(f(x)\)的间断点。间断点分为可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点等类型 。

6、凹凸性

凹函数：设函数\(f(x)\)在区间\(I\)上连续，如果对\(I\)上任意两点\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，恒有\(f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})<\frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}\)，则称\(f(x)\)在区间\(I\)上是凹函数。凹函数的图象是向上凹的，如\(y = x^{2}\)在\((-\infty,+\infty)\)上是凹函数 。

凸函数：设函数\(f(x)\)在区间\(I\)上连续，如果对\(I\)上任意两点\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，恒有\(f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})>\frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}\)，则称\(f(x)\)在区间\(I\)上是凸函数。凸函数的图象是向下凸的，如\(y = -x^{2}\)在\((-\infty,+\infty)\)上是凸函数 。

数学基础 - 中初数学、高中数学