任意角和弧度制

1. 任意角的概念

角的定义扩展：在平面内，一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形叫做角。旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点。按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。例如，将始边按逆时针旋转\(30^{\circ}\)得到的是正\(30^{\circ}\)角，按顺时针旋转\(45^{\circ}\)得到的是\(-45^{\circ}\)角。

象限角：为了方便研究，我们把角放在平面直角坐标系中。使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与\(x\)轴的非负半轴重合。那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。例如，\(30^{\circ}\)角是第一象限角，\(120^{\circ}\)角是第二象限角，\(-90^{\circ}\)角的终边在\(y\)轴负半轴，不属于任何象限。

终边相同的角：所有与角\(\alpha\)终边相同的角，连同\(\alpha\)在内，可构成一个集合\(S=\left\{\beta\vert\beta = \alpha + k\cdot360^{\circ},k\in Z\right\}\)。例如，与\(30^{\circ}\)终边相同的角可以是\(30^{\circ}+360^{\circ}=390^{\circ}\)，\(30^{\circ}-360^{\circ}=-330^{\circ}\)等，它们都可以用\(30^{\circ}+k\cdot360^{\circ}(k\in Z)\)来表示。

2. 弧度制的概念

弧度的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做\(1\)弧度的角，用符号\(rad\)表示。在半径为\(r\)的圆中，弧长为\(l\)的弧所对的圆心角为\(\alpha=\frac{l}{r}\)（弧度）。例如，在半径为\(1\)的圆中，弧长为\(1\)的弧所对圆心角就是\(1\)弧度。

角度与弧度的换算：\(180^{\circ}=\pi\ rad\)，由此可得\(1^{\circ}=\frac{\pi}{180}\ rad\)，\(1\ rad=\left(\frac{180}{\pi}\right)^{\circ}\)。例如，将\(60^{\circ}\)换算为弧度，\(60^{\circ}=60\times\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{3}\ rad\)；将\(\frac{\pi}{4}\ rad\)换算为角度，\(\frac{\pi}{4}=\left(\frac{\pi}{4}\times\frac{180}{\pi}\right)^{\circ}=45^{\circ}\)。

弧度制下的弧长公式和扇形面积公式：设扇形的半径为\(r\)，圆心角为\(\alpha\)（弧度），弧长为\(l\)，面积为\(S\)。弧长公式为\(l = r\alpha\)，扇形面积公式为\(S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}r^{2}\alpha\)。例如，半径为\(3\)，圆心角为\(\frac{\pi}{3}\)的扇形，弧长\(l = 3\times\frac{\pi}{3}=\pi\)，面积\(S=\frac{1}{2}\times3\times\pi=\frac{3\pi}{2}\)。

3. 弧度制的优势

在高等数学、物理学等领域的许多公式中，使用弧度制会使公式更加简洁。例如，在研究三角函数的导数等性质时，弧度制下的公式形式更为简单和自然，如\((\sin x)^\prime=\cos x\)，这里的\(x\)是弧度制下的角。如果使用角度制，公式会变得复杂得多。

三角函数的定义

1. 在直角三角形中的定义

设直角三角形\(ABC\)，其中\(\angle C = 90^{\circ}\)，\(a\)、\(b\)、\(c\)分别为\(\angle A\)、\(\angle B\)、\(\angle C\)所对的边。

正弦函数（\(sin\)）：\(\sin A=\frac{a}{c}\)，即角\(A\)的正弦值等于角\(A\)的对边与斜边的比值。例如，在一个直角三角形中，若\(a = 3\)，\(c = 5\)，则\(\sin A=\frac{3}{5}\)。

余弦函数（\(cos\)）：\(\cos A=\frac{b}{c}\)，也就是角\(A\)的余弦值是角\(A\)的邻边（与角\(A\)相邻的直角边）与斜边的比值。例如，若\(b = 4\)，\(c = 5\)，则\(\cos A=\frac{4}{5}\)。

正切函数（\(tan\)）：\(\tan A=\frac{a}{b}\)，它表示角\(A\)的正切值为角\(A\)的对边与邻边的比值。例如，若\(a = 3\)，\(b = 4\)，则\(\tan A=\frac{3}{4}\)。

2. 在单位圆中的定义（扩展到任意角）

在平面直角坐标系\(xOy\)中，以原点\(O\)为圆心，作单位圆（半径\(r = 1\)）。设角\(\alpha\)的终边与单位圆交于点\(P(x,y)\)。

正弦函数（\(sin\)）：\(\sin\alpha=y\)，即角\(\alpha\)的正弦值等于终边上点\(P\)的纵坐标。

余弦函数（\(cos\)）：\(\cos\alpha=x\)，角\(\alpha\)的余弦值等于终边上点\(P\)的横坐标。

正切函数（\(tan\)）：\(\tan\alpha=\frac{y}{x}(x\neq0)\)，角\(\alpha\)的正切值等于终边上点\(P\)的纵坐标与横坐标的比值（当\(x = 0\)时，正切函数无定义，此时角\(\alpha\)的终边在\(y\)轴上）。

例如，对于角\(\frac{\pi}{4}\)（\(45^{\circ}\)），其终边与单位圆的交点坐标为\((\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})\)，所以\(\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\tan\frac{\pi}{4}=1\)。

3. 三角函数的定义域和值域

正弦函数\(y = \sin x\)：定义域为\((-\infty,+\infty)\)，值域是\([ - 1,1]\)。因为在单位圆定义中，终边上点的纵坐标\(y\)的取值范围是\([ - 1,1]\)。

余弦函数\(y = \cos x\)：定义域为\((-\infty,+\infty)\)，值域是\([ - 1,1]\)。这是由于单位圆上点的横坐标\(x\)的取值范围是\([ - 1,1]\)。

正切函数\(y = \tan x\)：定义域是\(\left\{x\vert x\neq k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z\right\}\)，值域是\((-\infty,+\infty)\)。因为当\(x = k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in Z)\)时，角\(x\)的终边在\(y\)轴上，此时正切函数\(\frac{y}{x}\)的分母为\(0\)，无定义；而正切函数的图像是周期函数，其值可以取到任意实数。

同角三角函数的基本关系

1. 平方关系

基本关系：\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1\)。

推导过程：在单位圆中，设角\(\alpha\)的终边与单位圆交于点\(P(x,y)\)，根据三角函数的定义，\(\sin\alpha = y\)，\(\cos\alpha = x\)。因为单位圆的方程是\(x^{2}+y^{2}=1\)，所以\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1\)。

应用示例：

已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，求\(\cos\alpha\)：由\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1\)可得\(\cos\alpha=\pm\sqrt{1 - \sin^{2}\alpha}\)。将\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)代入，得到\(\cos\alpha=\pm\sqrt{1 - (\frac{3}{5})^{2}}=\pm\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\pm\sqrt{\frac{16}{25}}=\pm\frac{4}{5}\)。因为不知道角\(\alpha\)所在的象限，所以\(\cos\alpha\)的值有正负两种情况。

化简\(\sqrt{1 - \sin^{2}2\alpha}\)：根据平方关系\(\sin^{2}\beta+\cos^{2}\beta = 1\)，令\(\beta = 2\alpha\)，则\(\sqrt{1 - \sin^{2}2\alpha}=\vert\cos2\alpha\vert\)。

2. 商数关系

基本关系：\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(\cos\alpha\neq0)\)。

推导过程：在单位圆中，\(\sin\alpha = y\)，\(\cos\alpha = x\)，正切函数\(\tan\alpha=\frac{y}{x}(x\neq0)\)，所以\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(\cos\alpha\neq0)\)。

应用示例：

已知\(\sin\alpha = 2\cos\alpha\)，求\(\tan\alpha\)：由\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)，将\(\sin\alpha = 2\cos\alpha\)代入可得\(\tan\alpha = 2\)。

化简\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha}\)：分子分母同时除以\(\cos\alpha\)（\(\cos\alpha\neq0\)），得到\(\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+1}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-1}=\frac{\tan\alpha + 1}{\tan\alpha - 1}\)。

这些同角三角函数的基本关系在三角函数的求值、化简、证明等方面都有广泛的应用。

三角函数的诱导公式

诱导公式的实质是将角\(\alpha\)的三角函数值转化为角\(\alpha\)加上或减去\(k\cdot\frac{\pi}{2}(k\in Z)\)后的三角函数值，其记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”。

例如，\(\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha\)，\(\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha\)等。

1. 基于单位圆的对称性推导诱导公式

\(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\)和\(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\)的推导（关于\(x\)轴对称）

设角\(\alpha\)的终边与单位圆交于点\(P(x,y)\)，那么角\(-\alpha\)的终边与单位圆交于点\(P'(x,-y)\)。

根据三角函数在单位圆中的定义，\(\sin\alpha = y\)，\(\cos\alpha = x\)，对于角\(-\alpha\)，\(\sin(-\alpha)= - y\)，\(\cos(-\alpha)=x\)。

所以\(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\)，\(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\)。

\(\sin(\pi - \alpha)=\sin\alpha\)和\(\cos(\pi - \alpha)=-\cos\alpha\)的推导（关于\(y = x\)对称）

设角\(\alpha\)的终边与单位圆交于点\(P(x,y)\)，角\(\pi - \alpha\)的终边与单位圆交于点\(P''(-x,y)\)。

由三角函数定义可知，\(\sin\alpha = y\)，\(\cos\alpha = x\)，对于角\(\pi - \alpha\)，\(\sin(\pi - \alpha)=y\)，\(\cos(\pi - \alpha)= - x\)。

所以\(\sin(\pi - \alpha)=\sin\alpha\)，\(\cos(\pi - \alpha)=-\cos\alpha\)。

\(\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha\)和\(\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\)的推导（关于原点对称）

设角\(\alpha\)的终边与单位圆交于点\(P(x,y)\)，角\(\pi+\alpha\)的终边与单位圆交于点\(P'''(-x,-y)\)。

根据三角函数定义，\(\sin\alpha = y\)，\(\cos\alpha = x\)，对于角\(\pi+\alpha\)，\(\sin(\pi+\alpha)= - y\)，\(\cos(\pi+\alpha)= - x\)。

所以\(\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha\)，\(\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\)。

\(\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha\)和\(\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha\)的推导（两角互余）

设角\(\alpha\)的终边与单位圆交于点\(P(x,y)\)，角\(\frac{\pi}{2}-\alpha\)的终边与单位圆交于点\(Q(y,x)\)。

由三角函数定义，对于角\(\alpha\)，\(\sin\alpha = y\)，\(\cos\alpha = x\)，对于角\(\frac{\pi}{2}-\alpha\)，\(\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=x\)，\(\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=y\)。

所以\(\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha\)，\(\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha\)。

\(\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos\alpha\)和\(\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\sin\alpha\)的推导

设角\(\alpha\)的终边与单位圆交于点\(P(x,y)\)，角\(\frac{\pi}{2}+\alpha\)的终边与单位圆交于点\(R(-y,x)\)。

根据三角函数定义，对于角\(\alpha\)，\(\sin\alpha = y\)，\(\cos\alpha = x\)，对于角\(\frac{\pi}{2}+\alpha\)，\(\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=x\)，\(\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)= - y\)。

所以\(\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos\alpha\)，\(\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\sin\alpha\)。

2. 利用两角和与差的三角函数公式推导诱导公式

例如推导\(\sin(\pi - \alpha)=\sin\alpha\)，根据两角差的正弦公式\(\sin(A - B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B\)，令\(A=\pi\)，\(B = \alpha\)，则\(\sin(\pi - \alpha)=\sin\pi\cos\alpha-\cos\pi\sin\alpha\)。

因为\(\sin\pi = 0\)，\(\cos\pi=-1\)，所以\(\sin(\pi - \alpha)=0\times\cos\alpha-(-1)\times\sin\alpha=\sin\alpha\)。

再如推导\(\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\)，根据两角和的余弦公式\(\cos(A + B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B\)，令\(A=\pi\)，\(B = \alpha\)，则\(\cos(\pi+\alpha)=\cos\pi\cos\alpha-\sin\pi\sin\alpha\)。

因为\(\sin\pi = 0\)，\(\cos\pi=-1\)，所以\(\cos(\pi+\alpha)=(-1)\times\cos\alpha-0\times\sin\alpha=-\cos\alpha\)。

三角函数的图像与性质

正弦函数\(y=\sin x\)：

图像：正弦函数的图像是一条波浪线，它的周期是\(2\pi\)，在\([-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi](k\in Z)\)上单调递增，在\([\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi](k\in Z)\)上单调递减。

性质：值域是\([-1,1]\)，对称轴方程为\(x=\frac{\pi}{2}+k\pi(k\in Z)\)，对称中心为\((k\pi,0)(k\in Z)\)。

余弦函数\(y=\cos x\)：

图像：余弦函数的图像也是一条波浪线，周期为\(2\pi\)，在\([2k\pi-\pi,2k\pi](k\in Z)\)上单调递增，在\([2k\pi,2k\pi+\pi](k\in Z)\)上单调递减。

性质：值域是\([-1,1]\)，对称轴方程为\(x=k\pi(k\in Z)\)，对称中心为\((\frac{\pi}{2}+k\pi,0)(k\in Z)\)。

正切函数\(y=\tan x\)：

图像：正切函数的图像是由一系列相互平行的直线\(x=\frac{\pi}{2}+k\pi(k\in Z)\)隔开的无穷多支曲线组成，周期为\(\pi\)。

性质：在区间\((k\pi-\frac{\pi}{2},k\pi+\frac{\pi}{2})(k\in Z)\)内单调递增，值域是\(R\)，对称中心为\((\frac{k\pi}{2},0)(k\in Z)\)。

函数\(y=A\sin(\omega x+\varphi)\)的图像与性质

\(y=A\sin(\omega x+\varphi)(A>0,\omega>0)\)的图像可以由\(y=\sin x\)的图像通过平移、伸缩变换得到。其中\(A\)叫做振幅，\(\omega\)决定了周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，\(\varphi\)叫做初相。

三角函数的应用

在物理学中，三角函数常用于描述简谐振动、交流电等周期性现象；在几何中，可用于求解三角形的边长和角度等问题，如正弦定理\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\)和余弦定理\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A\)等。

三角函数是高中数学的重要内容之一，它不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在物理、工程等其他学科中也发挥着重要作用，需要熟练掌握其概念、公式、图像和性质等知识。

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