初中数学 06 分式的基本性质
一、分式的定义
一般地，如果\(A\)、\(B\)表示两个整式，并且\(B\)中含有字母，那么式子\(\frac{A}{B}\)就叫做分式。
例如，\(\frac{x + 1}{x - 1}\)、\(\frac{2}{x}\)都是分式。其中\(A\)叫做分式的分子，\(B\)叫做分式的分母。
需要注意的是，分式的分母不能为\(0\)，因为分母为\(0\)时，分式无意义。例如，在分式\(\frac{1}{x}\)中，\(x\neq0\)。
二、分式的基本性质
分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于\(0\)的整式，分式的值不变。
用式子表示为\(\frac{A}{B}=\frac{A\times C}{B\times C}\)，\(\frac{A}{B}=\frac{A\div C}{B\div C}\)（其中\(A\)、\(B\)、\(C\)是整式，且\(C\neq0\)）。
乘法示例：
对于分式\(\frac{2}{3}\)，如果我们将分子分母同时乘以\(x\)（\(x\neq0\)），根据分式的基本性质，得到\(\frac{2\times x}{3\times x}=\frac{2x}{3x}\)，此时分式的值不变。例如，当\(x = 2\)时，\(\frac{2}{3}=\frac{2\times2}{3\times2}=\frac{4}{6}\)。
除法示例：
对于分式\(\frac{4x^2}{6x}\)（\(x\neq0\)），我们可以将分子分母同时除以\(2x\)，根据分式的基本性质，得到\(\frac{4x^2\div(2x)}{6x\div(2x)}=\frac{2x}{3}\)，分式的值不变。
三、分式约分
定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
约分的关键是找出分子分母的公因式。
示例：对于分式\(\frac{12x^3y}{18x^2y^2}\)，先找出分子分母的公因式为\(6x^2y\)，然后将分子分母同时除以公因式进行约分，得到
\(\frac{12x^3y\div(6x^2y)}{18x^2y^2\div(6x^2y)}=\frac{2x}{3y}\)。
四、分式通分
定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
示例：将分式\(\frac{1}{x^2 - 1}\)和\(\frac{1}{x + 1}\)通分。先对\(x^2 - 1\)进行因式分解得\((x + 1)(x - 1)\)，所以最简公分母是\((x + 1)(x - 1)\)。
将\(\frac{1}{x + 1}\)的分子分母同时乘以\((x - 1)\)，得到\(\frac{x - 1}{(x + 1)(x - 1)}\)；\(\frac{1}{x^2 - 1}\)保持不变，此时两个分式就完成了通分。
五、分式应用
在分式的加法和减法运算中，通分是必不可少的步骤。
例如，计算\(\frac{1}{x - 1}+\frac{1}{x + 1}\)，先通分得到\(\frac{x + 1}{(x - 1)(x + 1)}+\frac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)}\)，然后根据同分母分式加法法则，将分子相加，分母不变，得到\(\frac{x + 1+x - 1}{(x - 1)(x + 1)}=\frac{2x}{(x - 1)(x + 1)}\)。
在分式的乘法和除法运算中，约分可以简化计算。
例如，计算\(\frac{x^2 - 1}{x}\times\frac{x}{x + 1}\)，先将\(x^2 - 1\)因式分解为\((x + 1)(x - 1)\)，然后约分，得到\((x - 1)\)。
