函数 03 区间、无穷大
1. 区间的概念
区间是数集的一种表示形式，它是指介于两个实数之间的所有实数的集合（包括或不包括端点）。
设\(a\)，\(b\)是两个实数，且\(a < b\)。
常见区间类型
闭区间：用\([a,b]\)表示，其中包含端点\(a\)和\(b\)，即\([a,b]=\{x|a\leq x\leq b\}\)。
例如，区间\([1,3]\)表示所有大于等于\(1\)且小于等于\(3\)的实数的集合，像\(1\)、\(2\)、\(3\)以及\(1\)和\(3\)之间的任何实数都属于这个区间。
开区间：用\((a,b)\)表示，不包含端点\(a\)和\(b\)，即\((a,b)=\{x|a < x < b\}\)。
例如，\((2,5)\)表示所有大于\(2\)且小于\(5\)的实数的集合，\(2\)和\(5\)本身不属于这个区间。
半开半闭区间：
\((a,b]\)表示大于\(a\)且小于等于\(b\)的实数集合，即\((a,b]=\{x|a < x\leq b\}\)；
\([a,b)\)表示大于等于\(a\)且小于\(b\)的实数集合，即\([a,b)=\{x|a\leq x < b\}\)。
例如，\(( - 1,2]\)包含\(-1\)和\(2\)之间的所有实数，且包含\(2\)但不包含\(-1\)；\([0,3)\)包含\(0\)和\(3\)之间的所有实数，包含\(0\)但不包含\(3\)。
无穷区间：当区间的端点是无穷大时，就形成了无穷区间。
例如，\((a,+\infty)=\{x|x > a\}\)，表示所有大于\(a\)的实数的集合；\((-\infty,b]=\{x|x\leq b\}\)，表示所有小于等于\(b\)的实数的集合。
2. 无穷大的概念
正无穷大（\(+\infty\)）
定义：在实数范围内，正无穷大是一个表示比任何给定的正数都大的概念。它不是一个具体的数，而是一种趋势。
例如，当我们说函数\(y = x\)（\(x\)趋向于正无穷大）时，意味着\(x\)的值不断地增大，没有上限。在数轴上，正无穷大可以理解为向右无限延伸的方向。
负无穷大（\(-\infty\)）
定义：负无穷大是表示比任何给定的负数都小的概念。同样不是一个实际的数，而是一种变化趋势。
例如，对于函数\(y=-x\)（\(x\)趋向于正无穷大），\(y\)的值就趋向于负无穷大，即\(y\)的值不断地减小，没有下限。在数轴上，负无穷大可以理解为向左无限延伸的方向。
无穷大在数学中的应用
极限运算：在极限的概念中经常会用到无穷大。
例如，\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x}=0\)，表示当\(x\)趋近于正无穷大时，\(\frac{1}{x}\)的值趋近于\(0\)。这体现了函数在自变量趋向无穷大时的变化趋势。
函数的值域表示：当函数的值域是无限延伸的时候，就会用到无穷大来表示。
比如，函数\(y = x^{2}\)，\(x\in R\)，其值域是\([0,+\infty)\)，这里的\(+\infty\)表示函数值可以无限增大。
例1：区间表示
用区间表示不等式\(x - 1>0\)的解集。
解：由\(x - 1>0\)得\(x>1\)，所以解集用区间表示为\((1,+\infty)\)。
例2：区间表示
用区间表示不等式\(2x+3\leqslant7\)的解集。
解：由\(2x + 3\leqslant7\)，移项得\(2x\leqslant4\)，即\(x\leqslant2\)，解集用区间表示为\((-\infty,2]\)。
例3：区间运算
已知\(A=( - 2,3)\)，\(B=[1,5)\)，求\(A\cup B\)。
解：\(A\cup B=( - 2,5)\)，因为并集是把两个集合中的所有元素组合在一起，取它们覆盖的最广的范围。
例4：区间运算
已知\(A=[ - 1,2]\)，\(B=(3,4]\)，求\(A\cup B\)。
解：\(A\cup B=[ - 1,2]\cup(3,4]=[ - 1,2]\cup(3,4]\)（这里不能写成一个连续区间，因为\(2\)和\(3\)之间有间隔）。
例5：无穷大与区间
用区间表示函数\(y=\sqrt{x}\)的定义域。
解：因为根号下的数非负，所以\(x\geqslant0\)，定义域用区间表示为\([0,+\infty)\)。
例6：无穷大与区间
用区间表示函数\(y = \frac{1}{\sqrt{x - 1}}\)的定义域。
解：要使函数有意义，则\(x-1>0\)，即\(x > 1\)，定义域用区间表示为\((1,+\infty)\)。
例7：区间的不等式表示
已知区间\((a,b)\)，写出其对应的不等式。
解：对应的不等式为\(a < x < b\)。
例8：区间的不等式表示
已知区间\([m,n]\)，写出其对应的不等式。
解：对应的不等式为\(m\leqslant x\leqslant n\)。
例9：并集与无穷大
已知\(A=( - \infty,0)\)，\(B=(0,+\infty)\)，求\(A\cup B\)。
解：\(A\cup B=( - \infty,+\infty)\)，即全体实数集\(R\)。
例10：复杂区间运算
已知\(A=( - \infty, - 1)\cup(2,+\infty)\)，\(B=[ - 2,3]\)，求\(A\cup B\)。
解：\(A\cup B=( - \infty,3]\cup(2,+\infty)=( - \infty,+\infty)\)
