不等式 02 排序不等式
设\(a_{1}\leq a_{2}\leq\cdots\leq a_{n}\)和\(b_{1}\leq b_{2}\leq\cdots\leq b_{n}\)是两组实数，\(c_{1},c_{2},\cdots,c_{n}\)是\(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\)的任一排列，则有
\(a_{1}b_{n}+a_{2}b_{n - 1}+\cdots+a_{n}b_{1}\leq a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+\cdots+a_{n}c_{n}\leq a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n}\)
简单来说，反序和≤乱序和≤顺序和。
证明排序不等式（以\(n = 2\)为例）
设\(a_{1}\leq a_{2}\)，\(b_{1}\leq b_{2}\)。
那么反序和为\(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}\)，顺序和为\(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}\)。
计算\((a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2})-(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})\)
展开式子得\(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}-a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=a_{1}(b_{1}-b_{2})+a_{2}(b_{2}-b_{1})\)
进一步变形为\((a_{2}-a_{1})(b_{2}-b_{1})\)。
因为\(a_{1}\leq a_{2}\)，\(b_{1}\leq b_{2}\)，所以\((a_{2}-a_{1})\geq0\)，\((b_{2}-b_{1})\geq0\)。
则\((a_{2}-a_{1})(b_{2}-b_{1})\geq0\)，即\(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}\geq a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}\)。
对于\(n\)个元素的情况，可以用数学归纳法来证明。
例：设\(a,b,c\)为正数，求证\(a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a\)。
证明：不妨设\(a\geq b\geq c>0\)，则\(a^{2}\geq b^{2}\geq c^{2}\)。
由排序不等式，顺序和\(a^{3}+b^{3}+c^{3}=a\cdot a^{2}+b\cdot b^{2}+c\cdot c^{2}\)，乱序和\(a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a=a\cdot b^{2}+b\cdot c^{2}+c\cdot a^{2}\)。
根据排序不等式顺序和≥乱序和，所以\(a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a\)。
