1. 两角和的正弦公式

\(\sin(A + B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B\)

推导方法一（利用单位圆）：

在单位圆中，设角\(A\)、\(B\)的终边分别与单位圆交于点\(P_1(\cos A,\sin A)\)、\(P_2(\cos B,\sin B)\)。

那么角\(A + B\)的终边与单位圆交于点\(P(\cos(A + B),\sin(A + B))\)。

根据向量的数量积定义，\(\overrightarrow{OP_1}\cdot\overrightarrow{OP_2}=\vert\overrightarrow{OP_1}\vert\times\vert\overrightarrow{OP_2}\vert\times\cos(A - B)\)

因为\(\vert\overrightarrow{OP_1}\vert=\vert\overrightarrow{OP_2}\vert = 1\)，所以\(\overrightarrow{OP_1}\cdot\overrightarrow{OP_2}=\cos(A - B)\)。

又\(\overrightarrow{OP_1}=(\cos A,\sin A)\)，\(\overrightarrow{OP_2}=(\cos B,\sin B)\)，所以\(\overrightarrow{OP_1}\cdot\overrightarrow{OP_2}=\cos A\cos B+\sin A\sin B\)，即

\(\cos(A - B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B\)。

令\(C = A - B\)，则\(A = C + B\)，\(\sin(A)=\sin(C + B)\)。

由诱导公式\(\sin(A)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-A\right)\)，可得\(\sin(C + B)=\cos\left[\frac{\pi}{2}-(C + B)\right]=\cos\left[\left(\frac{\pi}{2}-C\right)-B\right]\)。

根据\(\cos(A - B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B\)，有\(\cos\left[\left(\frac{\pi}{2}-C\right)-B\right]=\cos\left(\frac{\pi}{2}-C\right)\cos B+\sin\left(\frac{\pi}{2}-C\right)\sin B\)。

再由诱导公式\(\cos\left(\frac{\pi}{2}-C\right)=\sin C\)，\(\sin\left(\frac{\pi}{2}-C\right)=\cos C\)，所以\(\sin(C + B)=\sin C\cos B+\cos C\sin B\)，即

\(\sin(A + B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B\)。

推导方法二（利用几何图形）：

构造一个直角三角形，设\(\angle A+\angle B\)是一个锐角。

以\(\angle A+\angle B\)为一个锐角构造直角三角形\(ABC\)，\(\angle C = 90^{\circ}\)，在\(AC\)上取一点\(D\)，使得\(\angle ABD=\angle B\)。

设\(BC = a\)，\(AC = b\)，\(AB = c\)，\(AD = x\)，\(DC = y\)。

由正弦定理\(\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin(A + B)}\)，可得\(\sin(A + B)=\frac{a}{c}\)。

同时\(\sin A=\frac{a}{c}\cos B+\frac{b}{c}\sin B\)，又因为\(\frac{a}{c}=\sin(A + B)\)，\(\frac{b}{c}=\cos(A + B)\)，所以\(\sin(A + B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B\)。

2. 两角差的正弦公式

\(\sin(A - B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B\)

推导方法：

把\(A - B\)看作\(A+(-B)\)。

根据两角和的正弦公式\(\sin(A + B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B\)，以及诱导公式\(\cos(-B)=\cos B\)，\(\sin(-B)=-\sin B\)。

所以\(\sin(A - B)=\sin[A+(-B)]=\sin A\cos(-B)+\cos A\sin(-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B\)。

计算\(\sin75^{\circ}\)的值

因为\(75^{\circ}=45^{\circ}+30^{\circ}\)，根据两角和的正弦公式\(\sin(A + B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B\)，这里\(A = 45^{\circ}\)，\(B = 30^{\circ}\)。

所以\(\sin75^{\circ}=\sin(45^{\circ}+30^{\circ})=\sin45^{\circ}\cos30^{\circ}+\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}\)。

已知\(\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\)。

则\(\sin75^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)。

证明三角恒等式：

证明\(\sin(A + B)\sin(A - B)=\sin^{2}A-\sin^{2}B\)。

左边\(=\left(\sin A\cos B+\cos A\sin B\right)\left(\sin A\cos B-\cos A\sin B\right)\)。

根据平方差公式\((a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}\)，这里\(a=\sin A\cos B\)，\(b=\cos A\sin B\)。

所以左边\(=\sin^{2}A\cos^{2}B-\cos^{2}A\sin^{2}B\)。

又因为\(\cos^{2}B = 1-\sin^{2}B\)，\(\cos^{2}A = 1-\sin^{2}A\)。

左边\(=\sin^{2}A\left(1 - \sin^{2}B\right)-\left(1 - \sin^{2}A\right)\sin^{2}B\)。

展开式子得\(\sin^{2}A-\sin^{2}A\sin^{2}B-\sin^{2}B+\sin^{2}A\sin^{2}B=\sin^{2}A-\sin^{2}B\)，左边等于右边，恒等式得证。

3. 两角和的余弦公式

\(\cos(A + B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B\)

推导过程（向量法）：

设单位向量\(\overrightarrow{a}=(\cos A,\sin A)\)，\(\overrightarrow{b}=(\cos B,\sin B)\)。

根据向量的数量积定义\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert\cos\theta\)（这里\(\theta\)是\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角，当\(\theta = A - B\)时），\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\cos A\cos B+\sin A\sin B\)。

又因为\(\cos(A - B)=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)，再根据诱导公式\(\cos(A + B)=\cos(A-(-B))=\cos A\cos B - \sin A\sin B\)（将\(B\)换为\(-B\)，利用\(\sin(-B)=-\sin B\)）。

示例：计算\(\cos75^{\circ}\)，因为\(75^{\circ}=45^{\circ}+30^{\circ}\)，所以\(\cos75^{\circ}=\cos(45^{\circ}+30^{\circ})=\cos45^{\circ}\cos30^{\circ}-\sin45^{\circ}\sin30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)。

4. 两角差的余弦公式

\(\cos(A - B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B\)

推导过程（几何法）：

在平面直角坐标系中，以原点\(O\)为圆心作单位圆，设角\(A\)、\(B\)的终边分别交单位圆于\(A\)、\(B\)两点，坐标分别为\((\cos A,\sin A)\)和\((\cos B,\sin B)\)。

则向量\(\overrightarrow{OA}=(\cos A,\sin A)\)，\(\overrightarrow{OB}=(\cos B,\sin B)\)，\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\vert\overrightarrow{OA}\vert\vert\overrightarrow{OB}\vert\cos(A - B)= \cos(A - B)\)（因为\(\vert\overrightarrow{OA}\vert=\vert\overrightarrow{OB}\vert = 1\)）。

又\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\cos A\cos B+\sin A\sin B\)，所以\(\cos(A - B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B\)。

示例：计算\(\cos15^{\circ}\)，因为\(15^{\circ}=45^{\circ}-30^{\circ}\)，所以\(\cos15^{\circ}=\cos(45^{\circ}-30^{\circ})=\cos45^{\circ}\cos30^{\circ}+\sin45^{\circ}\sin30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)。

5. 两角和与差的正切公式

两角和的正切公式：

\(\tan(A + B)=\frac{\tan A+\tan B}{1 - \tan A\tan B}\)（\(A\)、\(B\)、\(A + B\)都不等于\(k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z\)）

推导过程：由\(\tan(A + B)=\frac{\sin(A + B)}{\cos(A + B)}\)，将两角和的正弦公式\(\sin(A + B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B\)和两角和的余弦公式\(\cos(A + B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B\)代入可得\(\tan(A + B)=\frac{\sin A\cos B+\cos A\sin B}{\cos A\cos B-\sin A\sin B}\)，分子分母同时除以\(\cos A\cos B\)（因为\(\cos A\cos B\neq0\)，否则\(\tan A\)或\(\tan B\)不存在），得到\(\tan(A + B)=\frac{\tan A+\tan B}{1 - \tan A\tan B}\)。

两角差的正切公式：

\(\tan(A - B)=\frac{\tan A-\tan B}{1 + \tan A\tan B}\)（\(A\)、\(B\)、\(A - B\)都不等于\(k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z\)）

推导过程：类似两角和的正切公式推导，由\(\tan(A - B)=\frac{\sin(A - B)}{\cos(A - B)}\)，代入两角差的正弦公式和余弦公式，再分子分母同时除以\(\cos A\cos B\)得到\(\tan(A - B)=\frac{\tan A-\tan B}{1 + \tan A\tan B}\)。

示例：计算\(\tan75^{\circ}\)，因为\(75^{\circ}=45^{\circ}+30^{\circ}\)，所以\(\tan75^{\circ}=\tan(45^{\circ}+30^{\circ})=\frac{\tan45^{\circ}+\tan30^{\circ}}{1 - \tan45^{\circ}\tan30^{\circ}}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1\times\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}=\frac{(3 + \sqrt{3})^2}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})}=2+\sqrt{3}\)。

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