初中数学 03 重二次根式的化简
一、重二次根式的定义
重二次根式是指形如\(\sqrt{a\pm\sqrt{b}}\)（其中\(a\)、\(b\)为有理数，\(b>0\)且\(\sqrt{b}\)为无理数）的式子。
例如\(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\)、\(\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}\)等都是常见的重二次根式。
二、配方法
原理：利用完全平方公式\((m \pm n)^2 = m^2 \pm 2mn + n^2\)，将被开方数凑成完全平方式的形式，然后再进行开方化简。
步骤及示例：
对于\(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\)，分析\(5 + 2\sqrt{6}\)能否凑成完全平方式。
我们可以把\(5\)拆分为\(3 + 2\)，此时发现\(2\sqrt{6} = 2\times\sqrt{3}\times\sqrt{2}\)，而\(3 = (\sqrt{3})^2\)，\(2 = (\sqrt{2})^2\)，那么
\(5 + 2\sqrt{6}=(\sqrt{3})^2 + 2\times\sqrt{3}\times\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2\)，根据完全平方公式，它等于\((\sqrt{3} + \sqrt{2})^2\)。
所以\(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2}=\sqrt{3} + \sqrt{2}\)。
三、平方法
原理：先对重二次根式进行平方运算，化简得到一个较简单的式子，再对化简后的结果开方还原（注意要判断开方后的正负性），从而达到化简的目的。
步骤及示例：
以\(\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}\)为例，设\(x = \sqrt{7 - 4\sqrt{3}}\)，则\(x^2 = 7 - 4\sqrt{3}\)。
对\(7 - 4\sqrt{3}\)进行变形，将\(7\)拆分为\(4 + 3\)，可得\(7 - 4\sqrt{3} = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 2^2 - 2\times 2\times\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2=(2 - \sqrt{3})^2\)。
即\(x^2=(2 - \sqrt{3})^2\)，因为\(x=\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}>0\)，所以\(x = 2 - \sqrt{3}\)，也就是\(\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}\)。
四、含有分母的重二次根式化简
示例：化简\(\frac{1}{\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}}\)。
步骤：先化简分母中的重二次根式，\(\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}\)，将\(3 + 2\sqrt{2}\)凑成完全平方式，
\(3 + 2\sqrt{2}=(\sqrt{2})^2 + 2\times\sqrt{2}\times 1 + 1^2 = (\sqrt{2} + 1)^2\)，则
\(\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}=\sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2}=\sqrt{2} + 1\)。
所以\(\frac{1}{\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2} + 1}\)，再对这个分母有理化，分子分母同乘\(\sqrt{2} - 1\)，得到\(\frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}=\sqrt{2} - 1\)。
五、多个重二次根式的化简
示例：化简\(\sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{2 - \sqrt{3}}\)。
步骤：分别化简两个重二次根式。
对于\(\sqrt{2 + \sqrt{3}}\)，先对\(2 + \sqrt{3}\)进行变形，
\(2 + \sqrt{3}=\frac{4 + 2\sqrt{3}}{2}=\frac{(\sqrt{3})^2 + 2\times\sqrt{3}\times 1 + 1^2}{2}=\frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{2}\)，则
\(\sqrt{2 + \sqrt{3}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{2}}=\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\)。
同理，对于\(\sqrt{2 - \sqrt{3}}\)，
\(2 - \sqrt{3}=\frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}=\frac{(\sqrt{3})^2 - 2\times\sqrt{3}\times 1 + 1^2}{2}=\frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{2}\)，
\(\sqrt{2 - \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}\)。
所以\(\sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{2 - \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}=\sqrt{6}\)。
六、化简的重要性及应用
重二次根式的化简在数学学习中有着重要意义，它可以使复杂的根式表达式变得简洁明了，便于后续进行运算、求值以及在几何、方程等数学问题中的应用。例如在解一些含有根式的方程时，可能会出现重二次根式，通过化简它能更顺利地求出方程的解；在几何计算中，涉及到一些边长或角度关系用根式表示时，化简重二次根式有助于得到更直观准确的结果。
