解析几何 12 求点的轨迹方程

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一、点的轨迹

点的轨迹是指在平面或空间中，一个动点按照某种条件运动所形成的图形。

例如，平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，这里的定点就是圆心，定长就是圆的半径。

二、求点的轨迹方程的基本步骤

1、建立坐标系：

根据问题的特点，选择合适的坐标系。一般选择直角坐标系，使问题中的点和条件能够方便地用坐标表示。例如，对于一个在平面上做直线运动的点，如果直线平行于坐标轴，就可以使坐标轴与直线重合来建立坐标系。

2、设动点坐标：

设动点\(P\)的坐标为\((x,y)\)（在平面直角坐标系中）。如果是空间中的点，则设为\((x,y,z)\)。

3、分析动点满足的条件：

找出动点\(P\)所满足的几何条件或其他约束条件。比如，动点到两个定点\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)的距离之和为定值\(2a\)（\(a > \frac{\vert AB\vert}{2}\)），这就是椭圆的定义条件。

4、将条件转化为方程：

把动点满足的条件用坐标表示出来，得到关于\(x\)、\(y\)（或\(x\)、\(y\)、\(z\)）的方程。例如，对于上述椭圆的情况，根据两点间距离公式\(\sqrt{(x - x_1)^{2}+(y - y_1)^{2}}+\sqrt{(x - x_2)^{2}+(y - y_2)^{2}} = 2a\)，这就是椭圆的轨迹方程的雏形，经过化简等操作可以得到标准形式。

三、常见的点的轨迹类型及方程

1、圆：

平面内到定点\(C(a,b)\)的距离等于定长\(r\)的点的轨迹方程是\((x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}\)。

例如，圆心在原点\((0,0)\)，半径为\(3\)的圆的方程是\(x^{2}+y^{2}=9\)。

2、椭圆：

平面内与两个定点\(F_1\)、\(F_2\)的距离之和为常数（大于\(\vert F_1F_2\vert\)）的点的轨迹。设\(F_1(-c,0)\)，\(F_2(c,0)\)，常数为\(2a\)（\(a > c > 0\)），其标准方程为\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}-c^{2}} = 1\)，令\(b^{2}=a^{2}-c^{2}\)，则方程为\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)。

3、双曲线：

平面内与两个定点\(F_1\)、\(F_2\)的距离之差的绝对值为常数（小于\(\vert F_1F_2\vert\)）的点的轨迹。设\(F_1(-c,0)\)，\(F_2(c,0)\)，常数为\(2a\)（\(0 < a < c\)），其标准方程为\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{c^{2}-a^{2}} = 1\)，令\(b^{2}=c^{2}-a^{2}\)，则方程为\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)。

4、抛物线：

平面内到定点\(F\)和定直线\(l\)（\(F\)不在\(l\)上）的距离相等的点的轨迹。若焦点\(F\)在\(x\)轴正半轴，准线\(l\)方程为\(x = -p\)（\(p>0\)），其标准方程为\(y^{2}=2px\)。

四、应用场景

物理问题中的运动轨迹：在物理的质点运动中，例如抛体运动，忽略空气阻力时，质点的运动轨迹是抛物线。通过建立坐标系，根据牛顿运动定律和运动学公式，可以求出其轨迹方程，从而分析质点在不同时刻的位置等信息。

几何图形的动态生成：在计算机图形学中，通过定义点的轨迹方程来生成各种几何图形。比如，通过控制椭圆方程中的参数变化，可以实现椭圆的变形动画效果。

五、求点的轨迹方程的方法总结

1. 直译法

例1：已知动点\(P(x,y)\)到点\(F(1,0)\)的距离比它到\(y\)轴的距离大\(1\)，求动点\(P\)的轨迹方程。

解析：根据两点间距离公式，\(\sqrt{(x - 1)^{2}+y^{2}}=\vert x\vert + 1\)。

当\(x\geq0\)时，\(\sqrt{(x - 1)^{2}+y^{2}}=x + 1\)，两边平方得\((x - 1)^{2}+y^{2}=(x + 1)^{2}\)，化简得\(y^{2}=4x\)；当\(x<0\)时，\(\sqrt{(x - 1)^{2}+y^{2}}=-x + 1\)，两边平方得\((x - 1)^{2}+y^{2}=(-x + 1)^{2}\)，化简得\(y = 0\)。所以轨迹方程为\(y^{2}=4x(x\geq0)\)和\(y = 0(x<0)\)。

例2：在平面直角坐标系中，已知点\(A( - 2,0)\)，\(B(2,0)\)，点\(C\)是动点，且直线\(AC\)与直线\(BC\)的斜率之积为\(-\frac{1}{4}\)，求点\(C\)的轨迹方程。

解析：设\(C(x,y)\)，\(k_{AC}=\frac{y}{x + 2}\)，\(k_{BC}=\frac{y}{x - 2}\)，由\(k_{AC}\cdot k_{BC}=-\frac{1}{4}\)，可得\(\frac{y}{x + 2}\cdot\frac{y}{x - 2}=-\frac{1}{4}\)，化简得\(\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1(y\neq0)\)。

2. 定义法

例3：已知两个定点\(A( - 1,0)\)，\(B(1,0)\)，动点\(P\)满足\(\vert PA\vert+\vert PB\vert = 4\)，求动点\(P\)的轨迹方程。

解析：由椭圆的定义知，\(2a = 4\)，\(c = 1\)，则\(a = 2\)，\(b^{2}=a^{2}-c^{2}=3\)，所以轨迹方程为\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)。

例4：平面内有两个定点\(F_{1}(0, - 3)\)，\(F_{2}(0,3)\)，一个动点\(M\)满足\(\vert MF_{1}\vert-\vert MF_{2}\vert = 4\)，求动点\(M\)的轨迹方程。

解析：由双曲线的定义知，\(2a = 4\)，\(c = 3\)，则\(a = 2\)，\(b^{2}=c^{2}-a^{2}=5\)，焦点在\(y\)轴上，所以轨迹方程为\(\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{5}=1(y\geq2)\)。

3. 相关点法（代入法）

例5：已知点\(B\)是圆\(x^{2}+y^{2}=1\)上的动点，点\(A(3,0)\)，线段\(AB\)的中点为\(M\)，求点\(M\)的轨迹方程。

解析：设\(M(x,y)\)，\(B(x_{0},y_{0})\)，由中点坐标公式得\(\begin{cases}x_{0}=2x - 3\\y_{0}=2y\end{cases}\)，因为\(B(x_{0},y_{0})\)在圆\(x^{2}+y^{2}=1\)上，所以\((2x - 3)^{2}+(2y)^{2}=1\)，化简得\((x-\frac{3}{2})^{2}+y^{2}=\frac{1}{4}\)。

例6：已知点\(P\)在曲线\(y = x^{2}\)上移动，点\(Q\)是点\(P\)关于点\((1,1)\)的对称点，求点\(Q\)的轨迹方程。

解析：设\(Q(x,y)\)，\(P(x_{0},y_{0})\)，根据中点坐标公式\(\begin{cases}\frac{x + x_{0}}{2}=1\\\frac{y + y_{0}}{2}=1\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}x_{0}=2 - x\\y_{0}=2 - y\end{cases}\)，因为\(P(x_{0},y_{0})\)在\(y = x^{2}\)上，所以\(2 - y=(2 - x)^{2}\)，化简得\(y=-x^{2}+4x - 2\)。

4. 参数法

例7：设点\(M\)在圆\(x^{2}+y^{2}=1\)上运动，点\(N\)与点\(M\)关于点\(A(1,1)\)对称，求点\(N\)的轨迹方程，用参数方程求解。

解析：设\(M(\cos\theta,\sin\theta)\)，设\(N(x,y)\)，根据中点坐标公式\(\begin{cases}\frac{x + \cos\theta}{2}=1\\\frac{y + \sin\theta}{2}=1\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}x = 2 - \cos\theta\\y = 2 - \sin\theta\end{cases}\)，消去\(\theta\)，由\((x - 2)^{2}+(y - 2)^{2}=1\)。

例8：已知直线\(l\)过点\(P(0,1)\)，且与抛物线\(y^{2}=2x\)交于\(A\)、\(B\)两点，求线段\(AB\)中点\(M\)的轨迹方程（用参数法）。

解析：设直线\(l\)的方程为\(y = kx + 1\)（\(k\)为参数），联立\(\begin{cases}y = kx + 1\\y^{2}=2x\end{cases}\)，得\((kx + 1)^{2}=2x\)，展开得\(k^{2}x^{2}+(2k - 2)x + 1 = 0\)。设\(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})\)，\(M(x,y)\)，则\(x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{1 - k}{k^{2}}\)，\(y = kx + 1=\frac{1}{k}\)，消去\(k\)得\(y^{2}-y - x = 0\)。

5. 交轨法

例9：已知直线\(l_{1}:x + 2y - 3 = 0\)与直线\(l_{2}:2x - y + 1 = 0\)，求两直线交点的轨迹方程，其中直线\(l_{1}\)绕点\((3,0)\)旋转，直线\(l_{2}\)绕点\((-1,0)\)旋转，且两直线垂直。

解析：设直线\(l_{1}\)的斜率为\(k\)，则直线\(l_{2}\)的斜率为\(-\frac{1}{k}\)。\(l_{1}:y = -\frac{1}{2}(x - 3)\)，\(l_{2}:y=\frac{1}{k}(x + 1)\)，联立\(\begin{cases}y = -\frac{1}{2}(x - 3)\\y=\frac{1}{k}(x + 1)\end{cases}\)，消去\(k\)得\(x^{2}+y^{2}-2x - 3 = 0\)。

例10：已知圆\(C_{1}:x^{2}+y^{2}=1\)，圆\(C_{2}:(x - 1)^{2}+(y - 2)^{2}=4\)，动直线\(l\)与圆\(C_{1}\)相切且与圆\(C_{2}\)也相切，求动直线\(l\)的交点轨迹方程。

解析：设动直线\(l\)的方程为\(y = kx + b\)，根据直线与圆相切的条件（圆心到直线的距离等于半径），分别列出直线\(l\)与圆\(C_{1}\)、\(C_{2}\)相切的等式，联立这两个等式，消去\(k\)和\(b\)得到轨迹方程。

6. 几何法

例11：已知\(\triangle ABC\)中，\(A(-1,0)\)，\(B(1,0)\)，\(\angle C = 90^{\circ}\)，求顶点\(C\)的轨迹方程。

解析：设\(C(x,y)\)，因为\(\angle C = 90^{\circ}\)，所以\(k_{AC}\cdot k_{BC}=-1\)，即\(\frac{y}{x + 1}\cdot\frac{y}{x - 1}=-1\)，化简得\(x^{2}+y^{2}=1(y\neq0)\)。

例12：在平面直角坐标系中，已知点\(A(0,3)\)，\(B( - 3,0)\)，点\(C\)是线段\(AB\)的垂直平分线上的动点，求点\(C\)的轨迹方程。

解析：先求出线段\(AB\)的垂直平分线方程。\(AB\)中点坐标为\((-\frac{3}{2},\frac{3}{2})\)，\(k_{AB}=1\)，则垂直平分线的斜率为\(-1\)，其方程为\(y-\frac{3}{2}=-(x + \frac{3}{2})\)，即\(y=-x\)，所以点\(C\)的轨迹方程为\(y=-x\)。

7. 综合法

例13：已知抛物线\(y^{2}=4x\)，过点\(P( - 2,0)\)的直线\(l\)与抛物线交于\(A\)、\(B\)两点，设\(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})\)，\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}\)，求点\(C\)的轨迹方程（综合运用多种方法）。

解析：设直线\(l\)的方程为\(y = k(x + 2)\)，联立\(\begin{cases}y = k(x + 2)\\y^{2}=4x\end{cases}\)，得\([k(x + 2)]^{2}=4x\)，展开并整理得\(k^{2}x^{2}+(4k^{2}-4)x + 4k^{2}=0\)，则\(x_{1}+x_{2}=\frac{4 - 4k^{2}}{k^{2}}\)，\(y_{1}+y_{2}=k(x_{1}+2)+k(x_{2}+2)=k(x_{1}+x_{2}+4)=\frac{4}{k}\)。设\(C(x,y)\)，则\(x=\frac{4 - 4k^{2}}{k^{2}}\)，\(y=\frac{4}{k}\)，消去\(k\)得\(y^{2}=4x + 8\)。

例14：已知椭圆\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)，过椭圆右焦点\(F\)的直线\(l\)与椭圆交于\(M\)、\(N\)两点，设\(M(x_{1},y_{1})\)，\(N(x_{2},y_{2})\)，且\(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OP}\)，求点\(P\)的轨迹方程。

解析：椭圆右焦点\(F(1,0)\)，设直线\(l\)的方程为\(y = k(x - 1)\)，联立椭圆方程得\((3 + 4k^{2})x^{2}-8k^{2}x + 4k^{2}-12 = 0\)，求出\(x_{1}+x_{2}\)和\(y_{1}+y_{2}\)，设\(P(x,y)\)，用\(k\)表示\(x\)和\(y\)，再消去\(k\)得到轨迹方程。

8. 特殊情况法

例15：已知点\(A(0,0)\)，\(B(2,0)\)，点\(C\)在\(y\)轴上运动，设\(\overrightarrow{BC}=\lambda\overrightarrow{BA}(\lambda\in R)\)，求点\(C\)的轨迹方程。

解析：设\(C(0,y)\)，\(\overrightarrow{BC}=(- 2,y)\)，\(\overrightarrow{BA}=(-2,0)\)，由\(\overrightarrow{BC}=\lambda\overrightarrow{BA}\)得\((-2,y)=\lambda(-2,0)\)，所以\(y = 0\)，轨迹方程为\(y = 0\)。

例16：已知点\(P\)是单位圆\(x^{2}+y^{2}=1\)上的动点，点\(Q\)满足\(\overrightarrow{OQ}=2\overrightarrow{OP}\)，求点\(Q\)的轨迹方程。

解析：设\(P(\cos\theta,\sin\theta)\)，\(Q(x,y)\)，由\(\overrightarrow{OQ}=2\overrightarrow{OP}\)得\((x,y)=2(\cos\theta,\sin\theta)\)，即\(x = 2\cos\theta\)，\(y = 2\sin\theta\)，消去\(\theta\)得\(x^{2}+y^{2}=4\)。

9. 向量法

例17：在平面直角坐标系中，已知\(\overrightarrow{OA}=(1,0)\)，\(\overrightarrow{OB}=(0,1)\)，\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}(t\in R)\)，求点\(C\)的轨迹方程。

解析：设\(C(x,y)\)，由\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\)得\((x,y)=(1,0)+t(0,1)=(1,t)\)，所以\(x = 1\)，\(y = t\)，轨迹方程为\(x = 1\)。

例18：已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=( - 2,3)\)，点\(M\)满足\(\overrightarrow{OM}=\lambda\overrightarrow{a}+(1-\lambda)\overrightarrow{b}(\lambda\in R)\)，求点\(M\)的轨迹方程。

解析：设\(M(x,y)\)，\(\overrightarrow{OM}=(x,y)\)，\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(-2,3)\)，则\((x,y)=\lambda(1,2)+(1-\lambda)(-2,3)\)，展开得\(\begin{cases}x=\lambda - 2(1 - \lambda)\\y = 2\lambda+3(1 - \lambda)\end{cases}\)，消去\(\lambda\)得\(5x + 3y - 7 = 0\)。

10. 变换法

例19：已知曲线\(C\)的方程为\(y = x^{2}\)，将曲线\(C\)向右平移\(2\)个单位，再向上平移\(3\)个单位，求变换后曲线的轨迹方程。

解析：设\(P(x,y)\)是变换后曲线上的点，它是由曲线\(C\)上的点\(P'(x',y')\)经过平移得到的。根据平移规律“右移加，上移加”，可得\(\begin{cases}x=x'+2\\y=y'+3\end{cases}\)，即\(\begin{cases}x'=x - 2\\y'=y - 3\end{cases}\)。

因为\(P'(x',y')\)在曲线\(y = x^{2}\)上，所以\(y'=x'^{2}\)，将\(\begin{cases}x'=x - 2\\y'=y - 3\end{cases}\)代入可得\(y - 3=(x - 2)^{2}\)，展开得\(y - 3=x^{2}-4x + 4\)，即\(y=x^{2}-4x + 7\)，这就是变换后曲线的轨迹方程。

例20：已知曲线\(y=\sin x\)，将曲线沿\(x\)轴方向压缩为原来的\(\frac{1}{2}\)，沿\(y\)轴方向伸长为原来的\(3\)倍，求变换后曲线的轨迹方程。

解析：设\(P(x,y)\)是变换后曲线上的点，它是由曲线\(y = \sin x\)上的点\(P'(x',y')\)经过变换得到的。

根据伸缩变换规律，\(x\)轴方向压缩为原来的\(\frac{1}{2}\)，则\(x = \frac{1}{2}x'\)，即\(x' = 2x\)；\(y\)轴方向伸长为原来的\(3\)倍，则\(y = 3y'\)，即\(y'=\frac{1}{3}y\)。

因为\(P'(x',y')\)满足\(y'=\sin x'\)，将\(\begin{cases}x' = 2x\\y'=\frac{1}{3}y\end{cases}\)代入可得\(\frac{1}{3}y=\sin(2x)\)，即\(y = 3\sin(2x)\)，这就是变换后曲线的轨迹方程。

六、求轨迹类的常见题型

1. 距离相关题型

到定点距离为定值：

例如，求平面内到点\(A(2,3)\)的距离等于\(5\)的点的轨迹方程。这是典型的圆的定义题型，根据圆的标准方程\((x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}\)（其中\((a,b)\)为圆心坐标，\(r\)为半径），可得轨迹方程为\((x - 2)^{2}+(y - 3)^{2}=25\)。

到两定点距离之和或差为定值：

如，已知两定点\(F_{1}(-3,0)\)，\(F_{2}(3,0)\)，动点\(P\)满足\(\vert PF_{1}\vert+\vert PF_{2}\vert = 10\)，根据椭圆的定义（平面内与两个定点\(F_{1}\)、\(F_{2}\)的距离之和为常数\(2a\)（\(2a>\vert F_{1}F_{2}\vert\)）），可求出\(a = 5\)，\(c = 3\)，进而得到\(b^{2}=a^{2}-c^{2}=16\)，所以轨迹方程为\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1\)。

对于\(\vert\vert PF_{1}\vert-\vert PF_{2}\vert\vert = 定值\)（\(\vert PF_{1}\vert>\vert PF_{2}\vert\)且\(定值<\vert F_{1}F_{2}\vert\)）的情况，则是双曲线的定义题型。

到定点与定直线距离之比为定值：

设动点\(P(x,y)\)到定点\(F(c,0)\)与定直线\(x=\frac{a^{2}}{c}\)（\(a>c>0\)）的距离之比为\(e\)（\(e>0\)），当\(0 < e < 1\)时，根据椭圆的第二定义，可推导出椭圆的标准方程；当\(e = 1\)时，是抛物线的定义题型，例如，平面内到定点\(F(1,0)\)和定直线\(x=-1\)的距离相等的点的轨迹方程为\(y^{2}=4x\)；当\(e>1\)时，符合双曲线的第二定义。

2. 斜率相关题型

两直线斜率之积为定值：

例如，已知\(A(-1,0)\)，\(B(1,0)\)，动点\(P(x,y)\)满足\(k_{PA}\cdot k_{PB}=-\frac{1}{2}\)（其中\(k_{PA}\)是直线\(PA\)的斜率，\(k_{PB}\)是直线\(PB\)的斜率）。根据斜率公式\(k=\frac{y - y_{0}}{x - x_{0}}\)，可得\(\frac{y}{x + 1}\cdot\frac{y}{x - 1}=-\frac{1}{2}\)，化简后得到\(\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1(y\neq0)\)。

动点与两定点连线斜率之和为定值：

设\(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})\)，动点\(P(x,y)\)满足\(k_{PA}+k_{PB}=k\)（\(k\)为常数），通过代入斜率公式，将其转化为关于\(x\)、\(y\)的方程来求解轨迹方程。

3. 中点相关题型

中点轨迹问题：

比如，已知圆\(x^{2}+y^{2}=4\)，直线\(l\)与圆相交于\(A\)、\(B\)两点，设线段\(AB\)的中点为\(M(x,y)\)，求点\(M\)的轨迹方程。可以利用圆的性质（\(OM\perp AB\)，其中\(O\)为圆心），根据两垂直直线斜率之积为\(-1\)，结合中点坐标公式来求解。

多个中点关系问题：

给定三角形\(ABC\)，\(D\)是\(AB\)中点，\(E\)是\(AC\)中点，已知点\(A\)的轨迹方程，求\(DE\)中点的轨迹方程。这种题型需要先根据中点坐标公式找到点与点之间的坐标关系，再代入已知的轨迹方程进行求解。

4. 向量相关题型

向量线性组合与轨迹方程：

已知\(\overrightarrow{OA}=(a,b)\)，\(\overrightarrow{OB}=(c,d)\)，动点\(P\)满足\(\overrightarrow{OP}=\lambda\overrightarrow{OA}+(1 - \lambda)\overrightarrow{OB}(\lambda\in R)\)，求点\(P\)的轨迹方程。设\(P(x,y)\)，将向量坐标代入等式，通过消去\(\lambda\)得到轨迹方程。

向量模长与轨迹方程：

例如，\(\overrightarrow{OM}=(x,y)\)，已知\(\vert\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}\vert = r\)（\(A\)为定点，\(r\)为定值），根据向量模长公式\(\vert\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\vert=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}\)，将其展开化简得到轨迹方程。