指数函数 04 指数方程：\(a^{x}=b\)（\(a > 0\)且\(a\neq1\)）
定义与常见形式
指数方程就是未知数出现在指数位置的方程，常见的形式有以下几种：
1. 形如\(a^{x}=b\)（\(a > 0\)且\(a\neq1\)）的方程：
例如\(2^{x}=8\)，这里底数\(a = 2\)，右边\(b = 8\)，需要求解未知数\(x\)的值。
2. 形如\(a^{f(x)}=a^{g(x)}\)（\(a > 0\)且\(a\neq1\)）的方程：
像\(3^{2x - 1}=3^{x + 2}\)，此类方程是同底数的指数式相等的情况，往往可以利用指数函数的单调性来求解。
3. 更复杂些的形式，如\(a^{x}+b^{x}=c\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)为常数且\(a\)、\(b > 0\)，\(a\neq b\)）：
比如\(2^{x}+3^{x}=13\)，这类方程求解相对复杂些，通常需要借助一些特殊的方法或数值计算手段。
解法1. 利用指数函数的性质（对于\(a^{f(x)}=a^{g(x)}\)形式）：
根据指数函数\(y = a^{x}\)（\(a > 0\)且\(a\neq1\)）的单调性，当\(a > 1\)时函数单调递增，当\(0 < a < 1\)时函数单调递减。对于\(a^{f(x)}=a^{g(x)}\)这种同底数的情况，可得\(f(x)=g(x)\)。
例如在方程\(3^{2x - 1}=3^{x + 2}\)中，因为底数\(3 > 1\)，指数函数\(y = 3^{x}\)单调递增，所以由\(3^{2x - 1}=3^{x + 2}\)可直接推出\(2x - 1 = x + 2\)，然后解方程可得\(x = 3\)。
解法2. 取对数法（对于\(a^{x}=b\)形式等）：
当方程为\(a^{x}=b\)（\(a > 0\)且\(a\neq1\)）时，两边取以\(a\)为底的对数，根据对数的运算性质可得\(x = \log_{a}b\)。
例如对于\(5^{x}=25\)，两边取以\(5\)为底的对数，即\(\log_{5}5^{x}=\log_{5}25\)，根据对数性质\(\log_{a}a^{x}=x\)可得\(x = \log_{5}25 = 2\)。
也可以取常用对数（以\(10\)为底）或自然对数（以\(e\)为底）来求解。比如对于\(2^{x}=10\)，两边取常用对数可得\(\lg2^{x}=\lg10\)，再根据对数性质\(\lg a^{x}=x\lg a\)，得到\(x\lg2 = 1\)，从而\(x=\frac{1}{\lg2}\)。
解法3. 换元法（针对较复杂形式）：
对于像\(a^{x}+b^{x}=c\)这类较复杂的指数方程，有时可通过换元将其转化为较简单的方程来求解。
例如方程\(4^{x}-2^{x}-6 = 0\)，令\(t = 2^{x}\)（\(t > 0\)），则原方程可化为\(t^{2}-t - 6 = 0\)（因为\(4^{x}=(2^{x})^{2}=t^{2}\)），解这个二次方程\(t^{2}-t - 6 = 0\)可得\((t - 3)(t + 2) = 0\)，即\(t = 3\)或\(t = - 2\)，由于\(t > 0\)，舍去\(t = - 2\)，再把\(t = 2^{x}=3\)，两边取对数可得\(x=\log_{2}3\)。
注意事项1. 定义域问题：
在进行换元等操作时，要注意新变量的取值范围，确保后续计算符合数学规则。比如上面换元时令\(t = 2^{x}\)，就明确限定了\(t > 0\)，避免出现不符合实际情况的解。
注意事项2. 检验解的正确性：
解出方程的解后，最好代入原方程进行检验，确保等式两边相等，尤其是在进行了较为复杂的变换操作后，以防出现增根等情况。
例1：简单同底数指数方程
解方程\(2^{x}=8\)。
分析：因为\(8 = 2^{3}\)，所以原方程可化为\(2^{x}=2^{3}\)，根据指数函数的性质，当底数相同时，指数也相同，所以\(x = 3\)。
例2：不同底数指数方程（化为同底数）
解方程\(4^{x}=8\)。
分析：因为\(4 = 2^{2}\)，\(8 = 2^{3}\)，所以原方程可化为\((2^{2})^{x}=2^{3}\)，即\(2^{2x}=2^{3}\)，则\(2x = 3\)，解得\(x=\frac{3}{2}\)。
例3：含有指数函数的分式方程
解方程\(\frac{2^{x}}{2^{x}+1}=\frac{1}{3}\)。
分析：交叉相乘可得\(3\times2^{x}=2^{x}+1\)，移项得\(3\times2^{x}-2^{x}=1\)，即\(2\times2^{x}=1\)，\(2^{x + 1}=1\)，因为\(2^{0}=1\)，所以\(x + 1 = 0\)，解得\(x=-1\)。
例4：指数方程与对数的结合
解方程\(3^{x}=10\)。
分析：两边取以\(3\)为底的对数，可得\(\log_{3}3^{x}=\log_{3}10\)，根据对数的性质\(\log_{a}a^{x}=x\)，所以\(x=\log_{3}10\)。
例5：含有指数和常数项的方程（换元法）
解方程\(2^{2x}-3\times2^{x}+2 = 0\)。
分析：令\(t = 2^{x}(t>0)\)，则原方程可化为\(t^{2}-3t + 2 = 0\)，因式分解得\((t - 1)(t - 2)=0\)，解得\(t = 1\)或\(t = 2\)。当\(t = 1\)时，\(2^{x}=1\)，\(x = 0\)；当\(t = 2\)时，\(2^{x}=2\)，\(x = 1\)。
例6：指数方程两边平方求解
解方程\(e^{2x}-6e^{x}+9 = 0\)。
分析：令\(t = e^{x}\)，则方程变为\(t^{2}-6t + 9 = 0\)，这是一个完全平方形式\((t - 3)^{2}=0\)，解得\(t = 3\)，即\(e^{x}=3\)，两边取自然对数得\(x=\ln3\)。
例7：底数和指数都含有未知数的方程
解方程\(x^{x}=x\)。
分析：当\(x = 1\)时，\(1^{1}=1\)，等式成立；当\(x\neq1\)时，两边同时取对数得\(x\ln x=\ln x\)，移项得\(x\ln x-\ln x = 0\)，\(\ln x(x - 1)=0\)，则\(\ln x = 0\)或\(x - 1 = 0\)，解得\(x = 1\)（舍去）或\(x = e^{0}=1\)（已讨论）或\(x = 1\)（舍去），所以\(x = 1\)是方程的解。
例8：含有两个指数项的方程（利用指数运算法则）
解方程\(3^{x + 1}-3^{x}=18\)。
分析：根据指数运算法则\(a^{m + n}=a^{m}\times a^{n}\)，原方程可化为\(3\times3^{x}-3^{x}=18\)，即\(2\times3^{x}=18\)，\(3^{x}=9\)，解得\(x = 2\)。
例9：指数方程中含有负指数（化为正指数）
解方程\(2^{-x}=4\)。
分析：因为\(2^{-x}=\frac{1}{2^{x}}\)，且\(4 = 2^{2}\)，所以原方程可化为\(\frac{1}{2^{x}}=2^{2}\)，即\(2^{x}=\frac{1}{4}\)，\(2^{x}=2^{-2}\)，解得\(x=-2\)。
例10：指数方程与二次函数结合（通过换元构造二次方程）
解方程\(9^{x}-6\times3^{x}-7 = 0\)。
分析：令\(t = 3^{x}(t>0)\)，则原方程可化为\(t^{2}-6t - 7 = 0\)，因式分解得\((t - 7)(t + 1)=0\)，解得\(t = 7\)或\(t=-1\)（舍去），当\(t = 7\)时，\(3^{x}=7\)，\(x=\log_{3}7\)。
例11：含有指数函数和根式的方程（两边同时平方）
解方程\(\sqrt{2^{x}+3}=2^{x}-1\)。
分析：两边同时平方得\(2^{x}+3=(2^{x}-1)^{2}\)，展开得\(2^{x}+3 = 2^{2x}-2\times2^{x}+1\)，令\(t = 2^{x}(t>0)\)，则\(t + 3=t^{2}-2t + 1\)，即\(t^{2}-3t - 2 = 0\)，利用求根公式解得\(t=\frac{3+\sqrt{17}}{2}\)或\(t=\frac{3-\sqrt{17}}{2}\)（舍去），当\(t=\frac{3+\sqrt{17}}{2}\)时，\(2^{x}=\frac{3+\sqrt{17}}{2}\)，\(x=\log_{2}\frac{3+\sqrt{17}}{2}\)。
例12：指数方程中底数为分数（利用指数运算法则）
解方程\((\frac{1}{2})^{x}=8\)。
分析：因为\((\frac{1}{2})^{x}=2^{-x}\)，\(8 = 2^{3}\)，所以\(2^{-x}=2^{3}\)，解得\(x=-3\)。
例13：指数方程中含有对数（先化简对数）
解方程\(e^{x+\ln2}=4\)。
分析：根据对数运算法则\(a^{\log_{a}b}=b\)，\(e^{x+\ln2}=e^{x}\times e^{\ln2}=2e^{x}\)，所以原方程可化为\(2e^{x}=4\)，\(e^{x}=2\)，解得\(x=\ln2\)。
例14：含有多个指数项的方程（提取公因式）
解方程\(2^{x}+2^{x - 1}+2^{x - 2}=7\)。
分析：提取公因式\(2^{x - 2}\)得\(2^{x - 2}(2^{2}+2^{1}+1)=7\)，即\(2^{x - 2}\times7 = 7\)，\(2^{x - 2}=1\)，\(x - 2 = 0\)，解得\(x = 2\)。
例15：指数方程与三角函数结合（利用三角函数的值域）
解方程\(2^{\sin x}=1\)。
分析：因为\(2^{0}=1\)，所以\(\sin x = 0\)，解得\(x = k\pi,k\in Z\)。
例16：指数方程中底数和指数都为变量（通过对数变形）
解方程\(x^{\ln x}=e\)。
分析：两边取自然对数得\(\ln(x^{\ln x})=\ln e\)，根据对数运算法则\(\ln a^{b}=b\ln a\)，所以\((\ln x)^{2}=1\)，\(\ln x=\pm1\)，当\(\ln x = 1\)时，\(x = e\)；当\(\ln x=-1\)时，\(x = e^{-1}=\frac{1}{e}\)。
例17：指数方程中含有绝对值（分情况讨论）
解方程\(\vert2^{x}-1\vert=3\)。
分析：当\(2^{x}-1\geq0\)，即\(2^{x}\geq1\)，\(x\geq0\)时，方程为\(2^{x}-1 = 3\)，解得\(x = 2\)；当\(2^{x}-1<0\)，即\(2^{x}<1\)，\(x<0\)时，方程为\(1 - 2^{x}=3\)，解得\(x=-1\)。
例18：指数方程中含有复合函数（先换元再求解）
解方程\(3^{2x - 1}-3^{x - 1}-2 = 0\)。
分析：令\(t = 3^{x - 1}(t>0)\)，则原方程可化为\(3t^{2}-t - 2 = 0\)，因式分解得\((3t + 2)(t - 1)=0\)，解得\(t = 1\)或\(t=-\frac{2}{3}\)（舍去），当\(t = 1\)时，\(3^{x - 1}=1\)，\(x - 1 = 0\)，解得\(x = 1\)。
例19：指数方程与不等式结合（先求解方程再考虑不等式）
解方程\(2^{x^{2}-3x}=4\)，且\(x^{2}-3x>0\)。
分析：因为\(2^{x^{2}-3x}=4 = 2^{2}\)，所以\(x^{2}-3x = 2\)，即\(x^{2}-3x - 2 = 0\)，利用求根公式解得\(x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}\)，又因为\(x^{2}-3x>0\)，解不等式得\(x>3\)或\(x<0\)，所以\(x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}\)满足条件。
例20：指数方程中含有参数（根据参数范围求解）
解方程\(a^{x}=x + 1\)（\(a>0,a\neq1\)）。
分析：通过画出\(y = a^{x}\)和\(y = x + 1\)的图像来分析解的情况。当\(a = 2\)时，通过试值等方法可以发现方程有两个解；当\(0<a<1\)时，情况又有所不同，具体解的个数和位置与\(a\)的取值有关。
例如，当\(a = e\)时，令\(f(x)=e^{x}-x - 1\)，求导得\(f^\prime(x)=e^{x}-1\)，当\(x = 0\)时，\(f^\prime(x)=0\)，\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)上单调递减，在\((0,+\infty)\)上单调递增，\(f(0)=0\)，所以\(x = 0\)是方程\(e^{x}=x + 1\)的唯一解。
