初中数学 13 一次函数：\(y = kx + b\)（\(k≠0\)）
一次函数的概念
一般地，形如\(y = kx + b\)（\(k\)，\(b\)是常数，\(k≠0\)）的函数，叫做一次函数。当\(b = 0\)时，\(y = kx\)（\(k\)为常数，\(k≠0\)），此时函数叫做正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。例如，\(y = 2x + 1\)是一次函数，\(y = 3x\)是正比例函数。
一次函数的图象
一次函数\(y = kx + b\)的图象是一条直线，我们称它为直线\(y = kx + b\)。通常取直线与坐标轴的两个交点来确定这条直线，当\(x = 0\)时，\(y = b\)，所以直线与\(y\)轴的交点坐标为\((0,b)\)；当\(y = 0\)时，\(kx + b = 0\)，解得\(x = -\frac{b}{k}\)，所以直线与\(x\)轴的交点坐标为\((-\frac{b}{k},0)\)。例如，对于一次函数\(y = 2x - 4\)，与\(y\)轴交点为\((0,-4)\)，与\(x\)轴交点为\((2,0)\)。
正比例函数\(y = kx\)的图象是经过原点\((0,0)\)的一条直线。
一次函数的性质
当\(k>0\)时：
直线\(y = kx + b\)从左到右上升，\(y\)随\(x\)的增大而增大。
若\(b>0\)，直线经过一、二、三象限；若\(b = 0\)，直线经过一、三象限；若\(b<0\)，直线经过一、三、四象限。例如，\(y = 3x + 2\)的图象经过一、二、三象限，\(y = 3x\)的图象经过一、三象限，\(y = 3x - 2\)的图象经过一、三、四象限。
当\(k<0\)时：
直线\(y = kx + b\)从左到右下降，\(y\)随\(x\)的增大而减小。
若\(b>0\)，直线经过一、二、四象限；若\(b = 0\)，直线经过二、四象限；若\(b<0\)，直线经过二、三、四象限。例如，\(y = -2x + 3\)的图象经过一、二、四象限，\(y = -2x\)的图象经过二、四象限，\(y = -2x - 3\)的图象经过二、三、四象限。
一次函数图象的平移
一次函数图象的平移规律是“上加下减常数项，左加右减自变量”。具体来说，对于一次函数\(y = kx + b\)，向上平移\(m\)个单位长度得到\(y = kx + b + m\)；向下平移\(m\)个单位长度得到\(y = kx + b - m\)；向左平移\(n\)个单位长度得到\(y = k(x + n)+b\)；向右平移\(n\)个单位长度得到\(y = k(x - n)+b\)。例如，将\(y = 2x + 1\)向上平移\(3\)个单位长度得到\(y = 2x + 4\)，向右平移\(2\)个单位长度得到\(y = 2(x - 2)+1 = 2x - 3\)。
一次函数与方程、不等式的关系
一次函数\(y = kx + b\)与\(x\)轴交点的横坐标就是方程\(kx + b = 0\)的解。例如，\(y = 3x - 6\)与\(x\)轴交点为\((2,0)\)，则\(x = 2\)是方程\(3x - 6 = 0\)的解。
当\(y>0\)时，\(kx + b>0\)；当\(y<0\)时，\(kx + b<0\)。从图象上看，\(y = kx + b\)的图象在\(x\)轴上方的部分对应的\(x\)的取值范围就是不等式\(kx + b>0\)的解集，图象在\(x\)轴下方的部分对应的\(x\)的取值范围就是不等式\(kx + b<0\)的解集。例如，对于\(y = 2x - 4\)，当\(y>0\)时，即\(2x - 4>0\)，解得\(x>2\)，从图象上看，直线\(y = 2x - 4\)在\(x\)轴上方时\(x>2\)。
一次函数的图像与性质是初中数学函数部分的重要基础内容，它在解决实际问题、数学建模以及与其他数学知识的综合应用中都有着广泛的应用，对于培养学生的函数思想、数形结合思想和数学应用能力具有重要意义。
