不等式 02 绝对值不等式的解法
一、|f(x)| < g(x) 型不等式
方法一：等价转化法
根据绝对值的性质，|f(x)| < g(x)（g(x)>0）等价于 -g(x) < f(x) < g(x)。
然后分别解这两个不等式，最后取交集得到原不等式的解集。
示例：解不等式 |2x - 1| < 3
由等价关系可得 -3 < 2x - 1 < 3，
分别解这两个不等式：
解 -3 < 2x - 1，移项得：2x > -2，即 x > -1；
解 2x - 1 < 3，移项得：2x < 4，即 x < 2。
所以原不等式的解集为 -1 < x < 2，即 (-1, 2)。
方法二：平方去绝对值法（前提是两边均非负）
当 g(x) ≥ 0 时，因为两边都是非负的，对不等式两边同时平方来去掉绝对值符号。即 |f(x)|² < g(x)²，也就是 [f(x)]² < [g(x)]²，然后进行求解。
示例：解不等式 |x² - 3x| < 2x
首先需保证 2x ≥ 0（即 x ≥ 0），两边同时平方可得：(x² - 3x)² < (2x)²
展开得：x⁴ - 6x³ + 9x² < 4x²
移项化简为：x⁴ - 6x³ + 5x² < 0
提取公因式 x²得：x²(x² - 6x + 5) < 0
即 x²(x - 1)(x - 5) < 0
因为 x² ≥ 0，解 (x - 1)(x - 5) < 0 得 1 < x < 5，结合前提 x ≥ 0，原不等式的解集为 [0, 5) ∩ (1, 5) = (1, 5)。
二、|f(x)| > g(x) 型不等式
方法一：等价转化法
根据绝对值性质，|f(x)| > g(x) 等价于 f(x) > g(x) 或 f(x) < -g(x)，分别求解这两个不等式，最后取它们解集的并集作为原不等式的解集。
示例：解不等式 |3x + 2| > 4
等价于 3x + 2 > 4 或 3x + 2 < -4
解 3x + 2 > 4，移项得：3x > 2，即 x > 2/3；
解 3x + 2 < -4，移项得：3x < -6，即 x < -2。
所以原不等式的解集为 x > 2/3 或 x < -2，即 (-∞, -2) ∪ (2/3, +∞)。
方法二：零点分段讨论法（适用于 f(x) 为较复杂的表达式）
令 f(x) = 0，求出零点，根据零点将定义域分成若干区间，在每个区间上去掉绝对值符号进行讨论。
示例：解不等式 |x - 1| - |x + 2| > 1
令 x - 1 = 0，得 x = 1；令 x + 2 = 0，得 x = -2。
分三段讨论：
当 x < -2 时，原不等式化为 -(x - 1) - [-(x + 2)] > 1，化简得 3 > 1，恒成立，所以 x < -2 满足不等式；
当 -2 ≤ x ≤ 1 时，原不等式化为 -(x - 1) - (x + 2) > 1，即 -2x - 1 > 1，解得 x < -1，结合区间得 -2 ≤ x < -1；
当 x > 1 时，原不等式化为 (x - 1) - (x + 2) > 1，即 -3 > 1，不成立。
综上，原不等式的解集为 (-∞, -1)。
三、|f(x)| < |g(x)| 型不等式
方法一：等价转化法（平方去绝对值）
因为两边均为绝对值，两边同时平方去掉绝对值符号，|f(x)|² < |g(x)|² 即 [f(x)]² < [g(x)]²，然后整理式子进行求解。
示例：解不等式 |x - 3| < |x + 1|
两边平方得：(x - 3)² < (x + 1)²
展开：x² - 6x + 9 < x² + 2x + 1
移项化简：-8x < -8，即 x > 1
所以原不等式的解集为 (1, +∞)。
方法二：利用绝对值的几何意义（在合适的情况下）
从几何角度看，|f(x)| < |g(x)| 表示 f(x) 对应的点到原点的距离小于 g(x) 对应的点到原点的距离。
示例：解不等式 |x| < |x - 2|
在数轴上，|x|表示 x 到原点的距离，|x - 2|表示 x 到 2 的距离。
那么满足不等式的 x 是到原点距离小于到 2 的距离的点，直观可得 x < 1，即解集为 (-∞, 1)。
四、|f(x)| > |g(x)| 型不等式
方法一：等价转化法（平方去绝对值）
同样将其转化为 [f(x)]² > [g(x)]²，然后进行化简求解。
示例：解不等式 |2x - 1| > |x + 2|
两边平方得：(2x - 1)² > (x + 2)²
展开：4x² - 4x + 1 > x² + 4x + 4
移项整理：3x² - 8x - 3 > 0
因式分解：(3x + 1)(x - 3) > 0
解得 x > 3 或 x < -1/3，所以原不等式的解集为 (-∞, -1/3) ∪ (3, +∞)。
方法二：零点分段讨论结合绝对值性质
先找出 f(x) 和 g(x) 中令其为 0 的点，分区间讨论去掉绝对值后根据不等式的要求求解。
示例：解不等式 |x² - 4| > |x|
令 x² - 4 = 0，得 x = ±2；令 x = 0。
分区间讨论：
当 x < -2 时，原不等式化为 -(x² - 4) > -x，即 x² - x - 4 < 0，解此二次不等式并结合区间得 x < -2 时部分解；
当 -2 ≤ x < 0 时，原不等式化为 -(x² - 4) > x，即 x² + x - 4 < 0，解此二次不等式并结合区间得对应部分解；
当 0 ≤ x < 2 时，原不等式化为 -(x² - 4) > x，同理求解；
当 x ≥ 2 时，原不等式化为 x² - 4 > x，即 x² - x - 4 > 0，解此二次不等式并结合区间得对应部分解。
最后取所有满足条件的区间并集作为解集（过程略，计算较复杂）。
五、|f(x)| < |g(x)| - h(x) 型不等式
方法一：移项后利用平方去绝对值
先将不等式变形为 |f(x)| + h(x) < |g(x)|，再两边同时平方（需保证两边非负情况合适），然后进行求解。
示例：解不等式 |x - 1| < |x + 2| - 1
移项得 |x - 1| + 1 < |x + 2|
两边平方（要分析使两边非负的 x 的范围等情况）：
(x - 1)² + 2|x - 1| + 1 < (x + 2)²
展开并整理得：2|x - 1| < 6x + 2
再进一步分情况去绝对值符号（如当 x ≥ 1 时和 x < 1 时）进行求解（后续步骤略）。
方法二：零点分段结合分析
找出 f(x)、g(x) 令其为 0 的点以及考虑 h(x) 有意义等相关的点，分区间去绝对值符号并根据不等式要求分析求解。
示例：解不等式 |2x - 3| < |x + 1| - x
令 2x - 3 = 0 得 x = 3/2，令 x + 1 = 0 得 x = -1。
分区间讨论：
当 x < -1 时，原不等式化为 -(2x - 3) < -(x + 1) - x，化简判断是否有解；
当 -1 ≤ x < 3/2 时，原不等式化为 -(2x - 3) < (x + 1) - x，进行求解；
当 x ≥ 3/2 时，原不等式化为 (2x - 3) < (x + 1) - x，继续求解。
最后综合各区间情况得到解集（具体计算略）。
六、|f(x)| > |g(x)| - h(x) 型不等式
方法一：等价转化为多个不等式组求解
可转化为两个不等式组：
\(\begin{cases}f(x) > |g(x)| - h(x) & \\ f(x) < -(|g(x)| - h(x)) & \end{cases}\)
然后分别对两个不等式组进行求解，最后取并集。
示例：解不等式 |x + 2| > |x - 1| - 1
转化为：
\(\begin{cases}x + 2 > |x - 1| - 1 & \\ x + 2 < -( |x - 1| - 1) & \end{cases}\)
对于第一个不等式 x + 2 > |x - 1| - 1，分情况讨论去绝对值求解；对于第二个不等式同理，最后取并集得到解集（具体步骤略）。
方法二：结合函数图象分析（在函数较易作图的情况下）
分别考虑函数 y = |f(x)|，y = |g(x)| - h(x) 的图象，通过观察图象找到满足 |f(x)| > |g(x)| - h(x) 的 x 的取值范围。
示例：解不等式 |x² - 2x| > |x - 3| - 2（较复杂，仅示意思路）
画出函数 y = |x² - 2x| 和 y = |x - 3| - 2 的大致图象（通过分析零点、对称轴等性质画图），然后从图象上观察出满足不等式的 x 的区间范围（具体画图及分析略）。
总之，绝对值不等式的解法较为灵活多样，需要根据不等式的具体形式和特点，选择合适的方法进行求解，并且在求解过程中要注意每种方法的适用条件以及运算的准确性。
