不等式 02 三角绝对值不等式的性质
三角绝对值不等式\(\vert\vert a\vert-\vert b\vert\vert\leqslant\vert a\pm b\vert\leqslant\vert a\vert+\vert b\vert\)具有以下重要性质：
不等号的方向性与取值范围
不等式明确给出了\(\vert a\pm b\vert\)的取值范围，其值介于\(\vert\vert a\vert-\vert b\vert\vert\)与\(\vert a\vert+\vert b\vert\)之间，体现了绝对值运算对于实数运算结果的一种约束和范围界定。
等号成立条件
\(\vert a + b\vert=\vert a\vert+\vert b\vert\)等号成立条件：
当且仅当\(ab\geqslant0\)时等号成立，即\(a\)、\(b\)同号（同为正或同为负）或者至少有一个为\(0\)。
例如，
当\(a = 3\)，\(b = 2\)时，\(\vert3 + 2\vert=\vert3\vert+\vert2\vert = 5\)；
当\(a=-3\)，\(b = -2\)时，\(\vert-3-2\vert=\vert-3\vert+\vert-2\vert = 5\).
\(\vert\vert a\vert-\vert b\vert\vert=\vert a + b\vert\)等号成立条件：
当且仅当\(ab\leqslant0\)（即\(a\)、\(b\)异号）且\(\vert a\vert\geqslant\vert b\vert\)时，左边式子等号成立；
当且仅当\(ab\leqslant0\)（即\(a\)、\(b\)异号）且\(\vert b\vert\geqslant\vert a\vert\)时，右边式子等号成立。
例如，当\(a = 3\)，\(b=-2\)，\(\vert\vert3\vert-\vert-2\vert\vert=\vert3-2\vert = 1\).
对多个数的推广
\(\vert a + b + c\vert\leqslant\vert a\vert+\vert b\vert+\vert c\vert\)：该不等式可以看作是三角绝对值不等式的一种推广。
其证明可基于\(\vert a + b\vert\leqslant\vert a\vert+\vert b\vert\)，将\(a + b\)看作一个整体，即
\(\vert a + b + c\vert=\vert (a + b) + c\vert\leqslant\vert a + b\vert+\vert c\vert\leqslant\vert a\vert+\vert b\vert+\vert c\vert\).
几何意义
从几何角度理解，在数轴上，\(\vert a\vert\)表示点\(a\)到原点的距离，\(\vert a - b\vert\)表示点\(a\)与点\(b\)之间的距离。
对于\(\vert a + b\vert\leqslant\vert a\vert+\vert b\vert\)，可以想象为在数轴上从原点出发，先到达点\(a\)，再从点\(a\)出发到达点\(a + b\)的总距离不超过从原点分别到点\(a\)和点\(b\)的距离之和。
当\(a\)、\(b\)同号时，总距离等于两个距离之和；
当\(a\)、\(b\)异号时，总距离小于两个距离之和.
运算性质
不等式具有传递性，若\(\vert a\vert\leqslant\vert b\vert\)且\(\vert b\vert\leqslant\vert c\vert\)，则\(\vert a\vert\leqslant\vert c\vert\)，这一性质在利用三角绝对值不等式进行放缩和推导时非常有用，可以帮助我们逐步缩小或扩大不等式的范围，以达到证明或求解的目的。
