不等式 02 一元二次不等式、函数、方程
一元二次不等式
一元二次不等式是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是\(2\)的整式不等式。
其一般形式为\(ax^{2}+bx+c＞0\)或\(ax^{2}+bx+c＜0\)（\(a≠0\)），另外还有\(ax^{2}+bx+c≥0\)以及\(ax^{2}+bx+c≤0\)（\(a≠0\)）这几种常见形式。
例如\(x^{2}-3x + 2＞0\)、\(2x^{2}+5x - 3＜0\)等都是一元二次不等式。
解一元二次不等式的一般步骤：
第1步：标准化 - 将一元二次不等式化为标准形式
一元二次不等式的标准形式为\(ax^{2}+bx + c＞0\)（或\(≥0\)、\(＜0\)、\(≤0\)），其中\(a>0\)，不等式右边为0。
如果\(a<0\)先在不等式两边同时乘以\(-1\)，将二次项系数a化为正数，此时不等号方向改变，再按照\(a＞0\)时的规则求解集。
例如，把不等式\(3x - x^{2}＞ - 2\)变形为\(x^{2}-3x - 2＜0\)，使其符合标准形式要求。
第2步：判断并计算方程的根，依据交点（零点）写解集
对于一元二次方程\(ax^{2}+bx + c = 0\)（\(a>0\)），判别式\(\Delta = b^{2}-4ac\)
\(\Delta>0\)：
一元二次方程\(ax^{2}+bx + c = 0\)有两个不同的实数根\(x_{1}<x_{2}\)，求根 \(x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)、 \(x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)
一元二次函数\(y=ax^{2}+bx + c\)的图像与x轴（\(y=0\)）有两个交点（零点）
一元二次不等式\(ax^{2}+bx + c＞0\)解集为\(\{x|x＜x_{1} 或 x＞x_{2}\}\)，“大于取两边”
一元二次不等式\(ax^{2}+bx + c<0\)解集为\(\{x|x_{1}＜x＜x_{2}\}\)，即“小于取中间”
一元二次不等式\(ax^{2}+bx + c≥0\)解集为\(\{x|x≤x_{1} 或 x≥x_{2}\}\)，“大于取两边”
一元二次不等式\(ax^{2}+bx + c≤0\)解集为\(\{x|x_{1}≤x≤x_{2}\}\)，即“小于取中间”
\(\Delta=0\)：
一元二次方程\(ax^{2}+bx + c = 0\)有两个相同的实数根，求根 \(x_{0}=\frac{-b}{2a}\)
一元二次函数\(y=ax^{2}+bx + c\)的图像与x轴（\(y=0\)）有一个交点（零点）
一元二次不等式\(ax^{2}+bx + c＞0\)解集为\(\{x|x≠x_{0}\}\)，“大于取两边”
一元二次不等式\(ax^{2}+bx + c<0\)解集为\(\varnothing\)
一元二次不等式\(ax^{2}+bx + c≥0\)解集为\(R\)
一元二次不等式\(ax^{2}+bx + c≤0\)解集为\(\{x|x=x_{0}\}\)
\(\Delta<0\)：
一元二次方程\(ax^{2}+bx + c = 0\)没有实数根
一元二次函数\(y=ax^{2}+bx + c\)的图像与x轴（\(y=0\)）没有交点（零点）
一元二次不等式\(ax^{2}+bx + c＞0\)解集为\(R\)
一元二次不等式\(ax^{2}+bx + c<0\)解集为\(\varnothing\)
一元二次不等式\(ax^{2}+bx + c≥0\)解集为\(R\)
一元二次不等式\(ax^{2}+bx + c≤0\)解集为\(\varnothing\)
一元二次方程的根的分布问题
1. 一元二次方程根的分布的基本概念
对于一元二次方程\(ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)\)，其根的分布主要研究方程的两个根在数轴上的位置情况，例如两根都大于某个数、两根都小于某个数、一根大于一个数而另一根小于这个数等多种情况。这与二次函数\(y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)\)的图象与\(x\)轴交点的位置密切相关。
2. 根的分布情况及相应条件
两根都大于\(k\)（\(k\)为常数）
条件：
首先，判别式\(\Delta=b^{2}-4ac\geqslant0\)，保证方程有实数根。
对称轴\(x = -\frac{b}{2a}>k\)，因为对称轴在\(k\)的右侧，两根才有可能都大于\(k\)。
当\(x = k\)时，函数值\(y = ak^{2}+bk + c>0\)，这说明在\(k\)这个位置，函数图象在\(x\)轴上方。
例如，对于方程\(x^{2}-4x + 3 = 0\)，若要两根都大于\(1\)，\(\Delta=(-4)^{2}-4\times1\times3 = 4\geqslant0\)，对称轴\(x = -\frac{-4}{2\times1}=2>1\)，当\(x = 1\)时，\(y = 1^{2}-4\times1 + 3 = 0\)（这里不符合\(y>0\)，实际上方程的根为\(x = 1\)和\(x = 3\)，只有一根大于\(1\)）。
两根都小于\(k\)
条件：
\(\Delta=b^{2}-4ac\geqslant0\)。
对称轴\(x = -\frac{b}{2a}<k\)。
当\(x = k\)时，\(y = ak^{2}+bk + c>0\)。
例如，对于方程\(2x^{2}+3x - 2 = 0\)，若要两根都小于\(0\)，\(\Delta = 3^{2}-4\times2\times(-2)=9 + 16 = 25\geqslant0\)，对称轴\(x = -\frac{3}{2\times2}=-\frac{3}{4}<0\)，当\(x = 0\)时，\(y = 2\times0^{2}+3\times0 - 2=-2<0\)（这里不符合\(y>0\)，实际上方程的根为\(x=-2\)和\(x=\frac{1}{2}\)，不满足两根都小于\(0\)）。
一根大于\(k\)，一根小于\(k\)
条件：当\(x = k\)时，\(y = ak^{2}+bk + c<0\)。此时不需要考虑判别式和对称轴的情况，因为只要函数在\(k\)处的值小于\(0\)，就必然有一个根大于\(k\)，一个根小于\(k\)。
例如，对于方程\(x^{2}-x - 2 = 0\)，若要一根大于\(1\)，一根小于\(1\)，当\(x = 1\)时，\(y = 1^{2}-1 - 2=-2<0\)，方程的根为\(x=-1\)和\(x = 2\)，满足条件。
两根在区间\((m,n)\)内（\(m < n\)）
条件：
\(\Delta=b^{2}-4ac\geqslant0\)。
对称轴\(x = -\frac{b}{2a}\in(m,n)\)。
当\(x = m\)时，\(y = am^{2}+bm + c>0\)。
当\(x = n\)时，\(y = an^{2}+bn + c>0\)。
例如，对于方程\(x^{2}-3x + 2 = 0\)，若要两根在区间\((0,3)\)内，\(\Delta=(-3)^{2}-4\times1\times2 = 1\geqslant0\)，对称轴\(x = -\frac{-3}{2\times1}=\frac{3}{2}\in(0,3)\)，当\(x = 0\)时，\(y = 0^{2}-3\times0 + 2 = 2>0\)，当\(x = 3\)时，\(y = 3^{2}-3\times3 + 2 = 2>0\)，方程的根为\(x = 1\)和\(x = 2\)，满足条件。
两根分别在区间\((m,n)\)和\((n,p)\)内（\(m < n < p\)）
条件：
当\(x = m\)时，\(y = am^{2}+bm + c>0\)。
当\(x = n\)时，\(y = an^{2}+bn + c<0\)。
当\(x = p\)时，\(y = ap^{2}+bp + c>0\)。
例如，对于方程\(x^{2}-2x - 3 = 0\)，若要一根在区间\((-2,0)\)内，另一根在区间\((0,4)\)内，当\(x=-2\)时，\(y = (-2)^{2}-2\times(-2)-3 = 4 + 4 - 3 = 5>0\)，当\(x = 0\)时，\(y = 0^{2}-2\times0 - 3=-3<0\)，当\(x = 4\)时，\(y = 4^{2}-2\times4 - 3 = 16 - 8 - 3 = 5>0\)，方程的根为\(x=-1\)和\(x = 3\)，满足条件。
3. 解决根的分布问题的方法步骤
首先，将一元二次方程与对应的二次函数联系起来，明确根的分布情况对应的函数图象与\(x\)轴交点的位置特征。
然后，根据上述不同的根的分布情况，列出相应的不等式组（如判别式、对称轴位置、函数在某些点的取值等条件组成的不等式组）。
最后，解不等式组，得到满足根的分布要求的参数取值范围。例如，已知方程\(x^{2}+(m - 1)x + m = 0\)有两个根，且两根都大于\(0\)，则先根据条件列出不等式组\(\left\{\begin{array}{l}\Delta=(m - 1)^{2}-4m\geqslant0\\-\frac{m - 1}{2}>0\\m>0\end{array}\right.\)，然后解这个不等式组来确定\(m\)的取值范围。
