立体几何 08 棱台的定义、分类、性质
棱台的定义
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，其余各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱，上、下底面之间的距离叫做棱台的高。
斜高：对于正棱台，侧面等腰梯形的高叫做棱台的斜高。
对角面：过棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做棱台的对角面。
按底面多边形的边数分类
三棱台
定义：用一个平行于三棱锥底面的平面去截三棱锥，底面与截面之间的部分即为三棱台。
性质
有两个三角形的底面，三个梯形的侧面。
三条侧棱延长后交于一点。
上、下底面是相似三角形，对应边互相平行。
表面积和体积计算
表面积：\(S = S_{\triangle上}+S_{\triangle下}+S_{侧}\)，其中\(S_{\triangle上}\)、\(S_{\triangle下}\)分别是上、下底面三角形的面积，\(S_{侧}\)是三个梯形侧面的面积之和。
体积：\(V=\frac{1}{3}h(S_{\triangle上}+S_{\triangle下}+\sqrt{S_{\triangle上}S_{\triangle下}})\)，\(h\)为三棱台的高。
四棱台
定义：由平行于四棱锥底面的平面截四棱锥得到的几何体，它的上、下底面是四边形。
性质
有两个四边形的底面，四个梯形的侧面。
四条侧棱延长后交于一点。
上、下底面是相似四边形，对应边互相平行。
表面积和体积计算
表面积：\(S = S_{四边形上}+S_{四边形下}+S_{侧}\)，\(S_{四边形上}\)、\(S_{四边形下}\)是上、下底面四边形的面积，\(S_{侧}\)为四个梯形侧面的面积和。
体积：\(V=\frac{1}{3}h(S_{四边形上}+S_{四边形下}+\sqrt{S_{四边形上}S_{四边形下}})\)，\(h\)是四棱台的高。
五棱台
定义：用平行于五棱锥底面的平面去截五棱锥，所得到的底面和截面之间的部分称为五棱台，它的上、下底面是五边形。
性质
有两个五边形的底面，五个梯形的侧面。
五条侧棱延长后交于一点。
上、下底面是相似五边形，对应边互相平行。
表面积和体积计算
表面积：\(S = S_{五边形上}+S_{五边形下}+S_{侧}\)，\(S_{五边形上}\)、\(S_{五边形下}\)分别为上、下底面五边形的面积，\(S_{侧}\)是五个梯形侧面的面积总和。
体积：\(V=\frac{1}{3}h(S_{五边形上}+S_{五边形下}+\sqrt{S_{五边形上}S_{五边形下}})\)，\(h\)为五棱台的高。
按是否为正棱台分类
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。正棱台的上、下底面都是正多边形，且它们的中心重合，侧棱都相等，侧面都是全等的等腰梯形。
非正棱台：由非正棱锥截得的棱台。其底面不是正多边形，或者上、下底面中心不重合等，不满足正棱台的条件。
一般棱台的性质
棱台的上、下底面是相似多边形，且对应边互相平行。
棱台的侧面是梯形，侧棱延长后交于一点。
正棱台的性质
正棱台的侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等。
正棱台的上、下底面中心的连线垂直于底面，这条线段就是棱台的高。
正棱台的高、斜高和两底面相应边心距组成一个直角梯形；正棱台的高、侧棱和两底面外接圆半径也组成一个直角梯形。
棱台的表面积
棱台的表面积等于上底面面积、下底面面积与侧面积之和。对于正棱台，设上底面周长为\(C_1\)，下底面周长为\(C_2\)，斜高为\(h'\)，上底面面积为\(S_1\)，下底面面积为\(S_2\)，则侧面积\(S_{侧}=\frac{1}{2}(C_1 + C_2)h'\)，表面积\(S = S_1+S_2+S_{侧}\)。
棱台的体积
棱台的体积公式为\(V=\frac{1}{3}h(S_1 + S_2+\sqrt{S_1S_2})\)，其中\(h\)是棱台的高，\(S_1\)、\(S_2\)分别是上、下底面的面积。该公式可通过大棱锥体积减去小棱锥体积推导得出。
