一、一元二次方程的定义

只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。

其一般形式是\(ax^{2}+bx + c = 0\)（\(a\neq0\)），其中\(a\)是二次项系数，\(b\)是一次项系数，\(c\)是常数项。

求根公式为\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b² - 4ac}}{2a}\)。

二、直接开平方法-解一元二次方程

适用情况：当方程能化成\((x + m)² = n\)（\(n≥0\)）的形式时使用。

例如方程\(x² = 9\)，可直接开平方，得到\(x = ±\sqrt{9}\)，即\(x = 3\)或\(x = -3\)。

再如方程\((x - 2)² = 16\)，开平方可得\(x - 2 = ±4\)，然后分别求解两个一元一次方程：

当\(x - 2 = 4\)时，解得\(x = 6\)；

当\(x - 2 = -4\)时，解得\(x = -2\)。

三、配方法-解一元二次方程

适用情况：对于所有一元二次方程都适用，但在实际应用中，有些方程用配方法求解相对繁琐。

以方程\(x² + 6x - 7 = 0\)为例：

首先，将常数项移到等号右边，得到\(x² + 6x = 7\)。

然后，在等式两边加上一次项系数一半的平方，一次项系数是\(6\)，一半为\(3\)，其平方是\(9\)，则有\(x² + 6x + 9 = 7 + 9\)，即\((x + 3)² = 16\)。

接着，按照直接开平方法，开平方得到\(x + 3 = ±4\)。

最后，分别求解：

当\(x + 3 = 4\)时，\(x = 1\)；

当\(x + 3 = -4\)时，\(x = -7\)。

四、公式法-解一元二次方程

适用情况：普遍适用于所有一元二次方程，是一种通用的求解方法。

求根公式：对于一元二次方程\(ax² + bx + c = 0\)（\(a≠0\)），其求根公式为\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b² - 4ac}}{2a}\)。

利用配方法推导一元二次方程求根公式：

步骤一：给出一元二次方程的一般形式

一元二次方程的一般形式为\(ax² + bx + c = 0\)（\(a≠0\)），我们的目标就是通过配方法将这个方程变形，进而推导出\(x\)的表达式，也就是求根公式。

步骤二：移项

将方程中的常数项\(c\)移到等号右边，得到\(ax² + bx = -c\)。

步骤三：二次项系数化为\(1\)

因为要进行配方，为了方便操作，先将方程两边同时除以二次项系数\(a\)（由于\(a≠0\)，所以可以做这样的操作），此时方程变为\(x² + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\)。

步骤四：配方

在等式左边加上一次项系数一半的平方，一次项系数是\(\frac{b}{a}\)，它的一半就是\(\frac{b}{2a}\)，其平方为\((\frac{b}{2a})²\)，在等式两边同时加上\((\frac{b}{2a})²\)，得到：

\(x² + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})² = -\frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})²\)

此时，等式左边可以写成完全平方式\((x + \frac{b}{2a})²\)，而等式右边进行通分、化简可得：

\(\frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})² =-\frac{c}{a} + \frac{b²}{4a²}\)

\(=\frac{-4ac + b²}{4a²}\)

所以原方程变形为\((x + \frac{b}{2a})² = \frac{b² - 4ac}{4a²}\)。

步骤五：开平方求解

对\((x + \frac{b}{2a})² = \frac{b² - 4ac}{4a²}\)两边同时开平方，得到：

\(x + \frac{b}{2a} = ±\sqrt{\frac{b² - 4ac}{4a²}}\)

进一步化简\(\sqrt{\frac{b² - 4ac}{4a²}}\)可得\(\frac{\sqrt{b² - 4ac}}{2|a|}\)（因为开平方要考虑绝对值），但由于\(a≠0\)，在一元二次方程中，分母的正负不影响根的取值情况，所以可以写成\(\frac{\sqrt{b² - 4ac}}{2a}\)。

则\(x + \frac{b}{2a} = ±\frac{\sqrt{b² - 4ac}}{2a}\)，最后将\(\frac{b}{2a}\)移到等号右边，就得到一元二次方程的求根公式：

\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b² - 4ac}}{2a}\)

通过以上利用配方法逐步推导的过程，就得出了一元二次方程通用的求根公式。 

比如方程\(2x² - 5x + 3 = 0\)，这里\(a = 2\)，\(b = -5\)，\(c = 3\)。

先计算判别式\(\Delta = b² - 4ac = (-5)² - 4×2×3 = 25 - 24 = 1\)。

再将\(a\)、\(b\)、\(\Delta\)的值代入求根公式可得：

\(x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{1}}{2×2}=\frac{5\pm1}{4}\)。

当取“\(+\)”时，\(x=\frac{5 + 1}{4}=\frac{3}{2}\)；

当取“\(-\)”时，\(x=\frac{5 - 1}{4}=1\)。

五、因式分解法-解一元二次方程

1、因式分解法的原理

对于一元二次方程\(ax² + bx + c = 0\)（\(a≠0\)），因式分解法的核心依据是“若两个因式的乘积为\(0\)，则至少其中一个因式为\(0\)”。也就是将方程的左边通过因式分解的方式转化为两个一次因式相乘的形式，比如化为\((mx + n)(px + q) = 0\)，然后令这两个因式分别等于\(0\)，进而得到两个一元一次方程\(mx + n = 0\)和\(px + q = 0\)，最后分别求解这两个一元一次方程，其解就是原一元二次方程的解。

2、常用的因式分解方法

提公因式法：

如果方程各项有公因式，先把公因式提取出来。例如方程\(x² - 3x = 0\)，可以先提取公因式\(x\)，得到\(x(x - 3) = 0\)，然后根据上述原理，令\(x = 0\)或\(x - 3 = 0\)，解得\(x₁ = 0\)，\(x₂ = 3\)。

公式法：

常用的公式有平方差公式\(a² - b² = (a + b)(a - b)\)和完全平方公式\(a² ± 2ab + b² = (a ± b)²\)。

比如方程\(9x² - 25 = 0\)，可利用平方差公式将其变形为\((3x + 5)(3x - 5) = 0\)，再令\(3x + 5 = 0\)和\(3x - 5 = 0\)，分别解得\(x₁ = -\frac{5}{3}\)，\(x₂ = \frac{5}{3}\)。

又如方程\(x² + 6x + 9 = 0\)，根据完全平方公式可化为\((x + 3)² = 0\)，则\(x + 3 = 0\)，解得\(x = -3\)（此时两个根相同，方程有两个相等的实数根）。

十字相乘法：

对于二次三项式\(ax² + bx + c\)（\(a≠0\)），当\(a\)、\(b\)、\(c\)满足一定条件时，可以用十字相乘法进行因式分解。例如方程\(x² - 5x + 6 = 0\)，将二次项系数\(1\)分解为\(1×1\)，常数项\(6\)分解为\((-2)×(-3)\)，交叉相乘再相加\(1×(-3)+1×(-2)= -5\)（正好等于一次项系数），所以可因式分解为\((x - 2)(x - 3) = 0\)，进而令\(x - 2 = 0\)和\(x - 3 = 0\)，解得\(x₁ = 2\)，\(x₂ = 3\)。

3、因式分解法的一般步骤

1. 将方程化为一般形式：确保方程是\(ax² + bx + c = 0\)（\(a≠0\)）的标准形式，避免遗漏项等情况。

2. 对左边进行因式分解：根据方程各项的特点，选择合适的因式分解方法，将方程左边化为两个一次因式乘积的形式。

3. 令因式分别为\(0\)并求解：根据“若两个因式的乘积为\(0\)，则至少其中一个因式为\(0\)”的规则，分别令每个因式等于\(0\)，得到两个一元一次方程，然后求解这两个一元一次方程，所得的解就是原一元二次方程的解。

六、韦达定理

1. 韦达定理的定义

对于一元二次方程\(ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)\)，设它的两个根为\(x_{1}\)和\(x_{2}\)，那么韦达定理指出\(x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\)，\(x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}\)。

2. 韦达定理的证明

由一元二次方程的求根公式可知，方程\(ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)\)的两个根为\(x_{1}=\frac{-b + \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)，\(x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)。

计算\(x_{1}+x_{2}\)：

\(x_{1}+x_{2}=\frac{-b + \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)

对其进行通分，得到\(\frac{(-b+\sqrt{b^{2}-4ac})+(-b - \sqrt{b^{2}-4ac})}{2a}\)

展开括号得\(\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\)。

计算\(x_{1}x_{2}\)：

\(x_{1}x_{2}=\left(\frac{-b + \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\right)\left(\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\right)\)

根据平方差公式\((a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}\)，这里\(a=-b\)，\(b=\sqrt{b^{2}-4ac}\)，则有：

\(x_{1}x_{2}=\frac{(-b)^{2}-\left(\sqrt{b^{2}-4ac}\right)^{2}}{4a^{2}}\)

展开式子得\(\frac{b^{2}-(b^{2}-4ac)}{4a^{2}}=\frac{b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}=\frac{4ac}{4a^{2}}=\frac{c}{a}\)。

3. 韦达定理的应用

求两根之和与两根之积：

例如，对于方程\(x^{2}-5x + 6 = 0\)，其中\(a = 1\)，\(b=-5\)，\(c = 6\)。根据韦达定理，两根之和\(x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{1}=5\)，两根之积\(x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{6}{1}=6\)。

已知两根关系求方程系数：

已知方程的两根\(x_{1}\)，\(x_{2}\)满足\(x_{1}+x_{2}=7\)，\(x_{1}x_{2}=10\)，求一元二次方程。

设方程为\(ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)\)，由韦达定理可知\(-\frac{b}{a}=7\)，\(\frac{c}{a}=10\)。不妨设\(a = 1\)，则\(b=-7\)，\(c = 10\)，所以方程为\(x^{2}-7x + 10 = 0\)。

判断方程根的情况（结合判别式\(\Delta=b^{2}-4ac\)）：

当\(\Delta>0\)时，方程有两个不同的实数根\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，且\(x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\)，\(x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}\)。

当\(\Delta = 0\)时，方程有两个相同的实数根\(x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}\)，此时\(x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\)（两个相同的根相加），\(x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}\)（两个相同的根相乘）。

例如，对于方程\(x^{2}-2x + 1 = 0\)，\(\Delta=(-2)^{2}-4\times1\times1=0\)，根据韦达定理，两根之和\(x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{-2}{1}=2\)，两根之积\(x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{1}{1}=1\)，且\(x_{1}=x_{2}=1\)。

4. 韦达定理在高次方程中的推广

对于一元三次方程\(ax^{3}+bx^{2}+cx + d = 0(a\neq0)\)，设它的三个根为\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(x_{3}\)，则有

\(x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{b}{a}\)

\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=\frac{c}{a}\)

\(x_{1}x_{2}x_{3}=-\frac{d}{a}\)

数学基础 - 中初数学、高中数学