初中数学 02 无限不循环小数

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一、无理数的定义

无理数是无限不循环小数。

简单来说，无理数不能表示为两个整数之比，即不能写成\(\frac{m}{n}\)（\(m,n\)是整数，\(n\neq0\)）的形式。

例如，\(\sqrt{2}\)、\(\pi\)、\(e\)等都是无理数。

\(\sqrt{2}\approx1.414213562373095\cdots\)，它的小数部分是无限且不循环的；

\(\pi\approx3.141592653589793\cdots\)也具有同样的特点。

二、无理数的常见类型

开方开不尽的数

对于非完全平方数开平方得到的数是无理数。

例如，因为\(2\)不是完全平方数，所以\(\sqrt{2}\)是无理数。

同样，对于非完全立方数开立方，如\(\sqrt[3]{5}\)也是无理数。

证明\(\sqrt{2}\)是无理数可以用反证法：

假设\(\sqrt{2}\)是有理数，那么它可以写成\(\frac{m}{n}\)（\(m,n\)互质）的形式，即\(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\)，两边平方可得\(2=\frac{m^{2}}{n^{2}}\)，也就是\(m^{2}=2n^{2}\)。

由此可知\(m^{2}\)是偶数，那么\(m\)也是偶数，设\(m = 2k\)（\(k\)是整数），则\((2k)^{2}=2n^{2}\)，化简得\(2k^{2}=n^{2}\)，这又说明\(n^{2}\)是偶数，进而\(n\)也是偶数，这与\(m,n\)互质矛盾，所以\(\sqrt{2}\)是无理数。

与圆周率\(\pi\)相关的数

\(\pi\)本身是无理数，而且像\(\frac{\pi}{2}\)、\(2\pi\)等与\(\pi\)有关的数也是无理数。

因为如果假设\(\frac{\pi}{2}\)是有理数，设\(\frac{\pi}{2}=\frac{a}{b}\)（\(a,b\)是整数，\(b\neq0\)），那么\(\pi=\frac{2a}{b}\)，这与\(\pi\)是无理数矛盾。

自然对数的底数\(e\)相关的数

\(e\approx2.718281828459045\cdots\)是无理数，以\(e\)为底的对数函数\(y = \ln x\)在很多数学和科学领域有重要应用。与\(e\)有关的表达式如\(e^{2}\)、\(\ln2\)（\(\ln2\approx0.693147180559945\cdots\)）等也是无理数。

三、无理数的性质

无理数的运算性质

加法和减法：无理数相加或相减，结果可能是无理数。

例如，\(\sqrt{2}+ \sqrt{3}\)是无理数。

证明如下：假设\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)是有理数，设\(\sqrt{2}+\sqrt{3}=a\)（\(a\)是有理数），则\(\sqrt{3}=a - \sqrt{2}\)，两边平方可得\(3=a^{2}-2a\sqrt{2}+2\)，进一步得到\(\sqrt{2}=\frac{a^{2}-1}{2a}\)，这与\(\sqrt{2}\)是无理数矛盾。不过，也有特殊情况，如\(\sqrt{2}+(-\sqrt{2}) = 0\)，结果是有理数。

乘法和除法：无理数相乘或相除，结果可能是无理数。

例如，\(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\)是无理数；\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1\)是有理数。对于\(\sqrt{6}\)是无理数的证明，可以采用类似证明\(\sqrt{2}\)是无理数的反证法。假设\(\sqrt{6}\)是有理数，设\(\sqrt{6}=\frac{m}{n}\)（\(m,n\)互质），则\(6=\frac{m^{2}}{n^{2}}\)，即\(m^{2}=6n^{2}\)，后续可推出矛盾。

与有理数的关系

无理数和有理数一起构成了实数集。实数轴上的每一个点要么对应一个有理数，要么对应一个无理数。任何两个不同的无理数之间都有无限多个有理数，反之亦然。例如，在无理数\(\sqrt{2}\)和\(\sqrt{3}\)之间，有有理数\(1.5\)等，而且可以找到无数个这样的有理数。

四、无理数在数学和其他领域的应用

几何方面

如前面提到的，在计算圆的周长\(C = 2\pi r\)、面积\(S=\pi r^{2}\)，球的表面积\(A = 4\pi R^{2}\)、体积\(V=\frac{4}{3}\pi R^{3}\)等公式中，\(\pi\)这个无理数起到了关键作用。在计算圆锥、圆柱等几何体的相关参数时也会涉及无理数。

物理方面

在物理学的许多公式中，无理数频繁出现。例如，在计算单摆周期\(T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\)（\(l\)为摆长，\(g\)为重力加速度），简谐振动的方程\(x = A\sin(\omega t+\varphi)\)（其中\(\omega\)可能与无理数有关）等都用到了无理数。在电磁学、量子力学等领域的公式中，无理数也有着不可或缺的地位。