1. 包含关系（子集）

定义：如果集合\(A\)中的每一个元素都是集合\(B\)中的元素，那么称集合\(A\)是集合\(B\)的子集。

记作\(A\subseteq B\)（读作“\(A\)包含于\(B\)”）或\(B\supseteq A\)（读作“\(B\)包含\(A\)”）。

例如，集合\(A = \{1, 2, 3\}\)，集合\(B = \{1, 2, 3, 4, 5\}\)，因为\(A\)中的元素\(1\)、\(2\)、\(3\)都在\(B\)中，所以\(A\subseteq B\)。

特殊情况 - 真子集：如果\(A\subseteq B\)，且\(B\)中至少有一个元素不在\(A\)中，那么称\(A\)是\(B\)的真子集，记作\(A\subsetneqq B\)。

例如，集合\(A = \{1, 2\}\)，集合\(B = \{1, 2, 3\}\)，\(A\)是\(B\)的真子集，即\(A\subsetneqq B\)。

子集的性质1：任何一个集合是它本身的子集，即\(A\subseteq A\)。

子集的性质2：空集\(\varnothing\)是任何集合的子集，即对于任意集合\(A\)，\(\varnothing\subseteq A\)。

2. 相等关系

定义：如果集合\(A\)和集合\(B\)所含的元素完全相同，那么称集合\(A\)和集合\(B\)相等，记作\(A = B\)。

这等价于\(A\subseteq B\)且\(B\subseteq A\)。

例如，集合\(A = \{x|x^{2}-3x + 2 = 0\}\)，集合\(B = \{1, 2\}\)。

解方程\(x^{2}-3x + 2 = 0\)，可得\((x - 1)(x - 2)=0\)，解得\(x = 1\)或\(x = 2\)，所以\(A = B\)。

3. 互不包含关系（交集为空集）

定义：如果集合\(A\)和集合\(B\)没有公共元素，那么称集合\(A\)和集合\(B\)互不包含，此时\(A\cap B=\varnothing\)。

例如，集合\(A = \{1, 3, 5\}\)，集合\(B = \{2, 4, 6\}\)，\(A\)和\(B\)没有相同的元素，所以\(A\cap B=\varnothing\)，它们是互不包含的关系。

4. 集合的幂集关系（幂集是原集合所有子集构成的集合）

定义：设\(A\)是一个集合，\(A\)的幂集是\(A\)的所有子集组成的集合，记为\(P(A)\)。

例如，若\(A = \{1, 2\}\)，那么\(P(A)=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}\)。

对于两个集合\(A\)和\(B\)，如果\(A\)是\(B\)的子集，那么\(P(A)\)中的元素（即\(A\)的子集）也都是\(P(B)\)中的元素（即\(B\)的子集）的一部分，所以\(P(A)\)是\(P(B)\)的子集。

5. 并集包含关系

定义：如果集合\(A\)和集合\(B\)是两个集合，那么\(A\cup B\)是由所有属于\(A\)或者属于\(B\)的元素组成的集合。

此时有\(A\subseteq A\cup B\)和\(B\subseteq A\cup B\)。

例如，集合\(A = \{1, 2\}\)，集合\(B = \{2, 3\}\)，\(A\cup B=\{1, 2, 3\}\)，显然\(A\)中的元素都在\(A\cup B\)中，\(B\)中的元素也都在\(A\cup B\)中。

附录：幂集

1. 幂集的定义

设\(A\)是一个集合，\(A\)的幂集是\(A\)的所有子集组成的集合，记为\(P(A)\)。例如，若\(A = \{1\}\)，那么它的子集有\(\varnothing\)（空集）和\(\{1\}\)，所以\(P(A)=\{\varnothing,\{1\}\}\)。再如，若\(A = \{1, 2\}\)，它的子集包括\(\varnothing\)、\(\{1\}\)、\(\{2\}\)和\(\{1, 2\}\)，此时\(P(A)=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}\)。

2. 幂集的元素个数

若集合\(A\)中有\(n\)个元素，那么幂集\(P(A)\)中元素的个数为\(2^{n}\)。这是因为对于集合\(A\)的每个元素，在构成其子集时都有两种选择：选入子集或不选入子集。例如，对于含有\(3\)个元素的集合\(A=\{a,b,c\}\)，计算幂集元素个数为\(2^{3}=8\)个。其幂集\(P(A)=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}\)。

3. 幂集的性质

包含空集和原集合：对于任意集合\(A\)，幂集\(P(A)\)一定包含空集\(\varnothing\)和集合\(A\)本身。因为空集是任何集合的子集，集合本身也是自己的子集。

单调性：如果\(A\subseteq B\)，那么\(P(A)\subseteq P(B)\)。这是因为\(A\)的所有子集一定也是\(B\)的子集。例如，设\(A = \{1\}\)，\(B = \{1, 2\}\)，\(P(A)=\{\varnothing,\{1\}\}\)，\(P(B)=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}\)，显然\(P(A)\subseteq P(B)\)。

幂集与集合运算的关系：

对于两个集合\(A\)和\(B\)，\(P(A\cap B)=P(A)\cap P(B)\)。这是因为\(A\cap B\)的子集同时也是\(A\)的子集和\(B\)的子集。

\(P(A\cup B)\supseteq P(A)\cup P(B)\)，但一般情况下\(P(A\cup B)\neq P(A)\cup P(B)\)。例如，设\(A = \{1\}\)，\(B = \{2\}\)，\(P(A)=\{\varnothing,\{1\}\}\)，\(P(B)=\{\varnothing,\{2\}\}\)，\(P(A)\cup P(B)=\{\varnothing,\{1\},\{2\}\}\)，而\(A\cup B = \{1, 2\}\)，\(P(A\cup B)=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}\)。

4. 幂集在数学中的应用

在集合论基础研究中的应用：幂集是集合论中的重要概念，用于构建集合的层次结构。例如，在研究集合的基数（集合中元素的个数）时，通过比较不同集合幂集的基数，可以深入了解无穷集合的性质。著名的康托尔定理指出，对于任何集合\(A\)，\(\vert A\vert<\vert P(A)\vert\)，这里\(\vert A\vert\)表示集合\(A\)的基数。

在拓扑学中的应用：在拓扑空间的定义中，拓扑是空间上的一个幂集的子集，规定了空间中的开集。例如，对于一个集合\(X\)，定义一个拓扑\(\tau\)是\(P(X)\)的一个满足特定条件（包括包含空集和\(X\)本身，对有限交和任意并运算封闭）的子集。通过这种方式，幂集的概念帮助构建了拓扑学中的各种空间和结构。

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