不等式 02 一元二次不等式恒成立问题

一、基本概念

一元二次不等式恒成立问题，指的是对于某个一元二次不等式，在给定的变量取值范围内，不等式的关系始终成立。例如，对于一元二次不等式\(ax^{2} + bx + c > 0\)（或\(< 0\)），不管自变量\(x\)取何值（在规定的定义域内，如果有定义域限制的话），不等式都一直是成立的状态。

二、常见类型及解法

（一）对于不等式\(ax^{2} + bx + c > 0\)恒成立的情况

当\(a = 0\)时：

此时不等式化为一次不等式\(bx + c > 0\)。

要使其恒成立，则\(b = 0\)且\(c > 0\)。因为若\(b \neq 0\)，那么当\(x\)取某些值时，不等式就不一定成立了，只有\(b = 0\)且\(c > 0\)时，\(0 + c > 0\)才能对任意\(x\)都满足。

例如，对于不等式\(0\cdot x^{2} + 0\cdot x + 5 > 0\)，显然对于任意\(x\)，该不等式恒成立。

当\(a \neq 0\)时：

此时不等式为一元二次不等式，要使\(ax^{2} + bx + c > 0\)恒成立，需要满足\(\left\{\begin{array}{l}a > 0\\\Delta = b^{2} - 4ac < 0\end{array}\right.\)。

条件\(a > 0\)保证二次函数图象开口向上，而\(\Delta < 0\)意味着二次函数\(y = ax^{2} + bx + c\)的图象与\(x\)轴无交点，这样函数图象就恒在\(x\)轴上方，也就保证了\(ax^{2} + bx + c > 0\)恒成立。

例如，对于不等式\(x^{2} - 2x + 3 > 0\)，这里\(a = 1\)，\(b = -2\)，\(c = 3\)，\(\Delta = (-2)^{2} - 4\times1\times3 = 4 - 12 = -8 < 0\)，且\(a = 1 > 0\)，所以该不等式对于任意\(x\)都恒成立。

（二）对于不等式\(ax^{2} + bx + c < 0\)恒成立的情况

当\(a = 0\)时：

不等式化为一次不等式\(bx + c < 0\)，要使其恒成立，则\(b = 0\)且\(c < 0\)。

例如，\(0\cdot x^{2} + 0\cdot x - 5 < 0\)，对任意\(x\)，该不等式恒成立。

当\(a \neq 0\)时：

要使\(ax^{2} + bx + c < 0\)恒成立，需要满足\(\left\{\begin{array}{l}a < 0\\\Delta = b^{2} - 4ac < 0\end{array}\right.\)。

\(a < 0\)保证二次函数图象开口向下，\(\Delta < 0\)使得函数图象与\(x\)轴无交点，从而函数图象恒在\(x\)轴下方，保证了不等式恒成立。

例如，对于不等式\(-x^{2} + 2x - 3 < 0\)，\(a = -1\)，\(b = 2\)，\(c = -3\)，\(\Delta = 2^{2} - 4\times(-1)\times(-3) = 4 - 12 = -8 < 0\)，且\(a = -1 < 0\)，所以该不等式对任意\(x\)恒成立。

（三）在给定区间上恒成立的问题

方法一：分离参数法

例如，已知不等式\(x^{2} + ax + 1 > 0\)在区间\([1, +\infty)\)上恒成立，求\(a\)的取值范围。

将不等式变形为\(a > -\left(x + \frac{1}{x}\right)\)在区间\([1, +\infty)\)上恒成立，即\(a\)要大于\(-\left(x + \frac{1}{x}\right)\)在区间\([1, +\infty)\)上的最大值。

设\(f(x) = x + \frac{1}{x}\)，对其求导可得\(f'(x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}\)，在区间\([1, +\infty)\)上，\(f'(x) \geq 0\)，所以\(f(x)\)在该区间上单调递增，\(f(x)_{\min} = f(1) = 2\)，则\(-\left(x + \frac{1}{x}\right)_{\max} = -2\)，所以\(a > -2\)。

方法二：直接根据二次函数性质求解

若不等式\(ax^{2} + bx + c \geq 0\)在区间\([m, n]\)上恒成立。

首先求出二次函数\(y = ax^{2} + bx + c\)的对称轴\(x = -\frac{b}{2a}\)。

当\(-\frac{b}{2a} \leq m\)时，函数在区间\([m, n]\)上单调递增（假设\(a > 0\)，若\(a < 0\)则单调递减），只需满足\(\left\{\begin{array}{l}f(m) \geq 0\end{array}\right.\)即可。

当\(m < -\frac{b}{2a} < n\)时，函数在对称轴处取得最值，需要满足\(\left\{\begin{array}{l}f\left(-\frac{b}{2a}\right) \geq 0\end{array}\right.\)。

当\(-\frac{b}{2a} \geq n\)时，函数在区间\([m, n]\)上单调递减（假设\(a > 0\)，若\(a < 0\)则单调递增），只需满足\(\left\{\begin{array}{l}f(n) \geq 0\end{array}\right.\)即可。

例如，不等式\(x^{2} - 2x - 3 \leq 0\)在区间\([-1, 3]\)上恒成立，二次函数\(y = x^{2} - 2x - 3\)对称轴为\(x = 1\)，\(-1 < 1 < 3\)，此时只需\(f(1) = 1^{2} - 2\times1 - 3 = -4 \leq 0\)（实际函数在区间端点的值也满足不等式要求），就可保证不等式在该区间上恒成立。