函数 03 分段函数

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一、分段函数的定义

分段函数是在定义域的不同区间上，有不同的表达式的函数。

也就是说，对于自变量x的不同取值范围，函数有着不同的对应法则。

例如，函数\(y = f(x)=\begin{cases}x + 1, & x\geq0\\-x, & x<0\end{cases}\)

当\(x\)取非负实数时，函数表达式是\(y=x + 1\)；当\(x\)取负实数时，函数表达式是\(y=-x\)。

二、分段函数的图像特点

分段函数的图像是由几段不同的曲线（或直线）组成的。

以刚才的函数\(y = f(x)=\begin{cases}x + 1, & x\geq0\\-x, & x<0\end{cases}\)为例

当\(x\geq0\)时，\(y=x + 1\)是一条斜率为\(1\)，截距为\(1\)的直线；

当\(x<0\)时，\(y=-x\)是一条斜率为\(-1\)，过原点的直线。

这两条直线在\(x = 0\)处连接起来，形成分段函数的图像。

三、分段函数的求值

求分段函数在某点的值时，需要先判断该点所在的定义域区间，然后代入相应的表达式进行计算。

例如，对于函数\(y = f(x)=\begin{cases}x^{2}, & x>1\\2x, & -1\leq x\leq1\\-x, & x<-1\end{cases}\)，求\(f(0)\)

因为\(0\)满足\(-1\leq x\leq1\)，所以\(f(0)=2\times0 = 0\)。

四、分段函数的定义域

分段函数的定义域是各段定义域的并集。

在上面的例子中，第一段\(x>1\)，第二段\(-1\leq x\leq1\)，第三段\(x<-1\)，所以定义域是

\((-\infty,-1)\cup[-1,1]\cup(1,+\infty)=(-\infty,+\infty)\)

五、分段函数的值域

值域的求法比较复杂，需要分别考虑各段函数的值域，然后综合起来。

例如，对于函数\(y = f(x)=\begin{cases}x^{2}, & x>1\\2x, & -1\leq x\leq1\\-x, & x<-1\end{cases}\)

当\(x>1\)时，\(y=x^{2}>1\)；

当\(-1\leq x\leq1\)时，\(-2\leq2x\leq2\)；

当\(x<-1\)时，\(y=-x>1\)。

综合起来，值域是\([-2,+\infty)\)。

六、常见的分段函数

1. 绝对值函数

函数形式：\(y = |x|\)，它可以写成分段函数的形式\(y=\left\{\begin{array}{ll}x, & x\geqslant0\\ - x, & x < 0\end{array}\right.\)。

图像特点：其图像是以原点为转折点的“V”字形。当\(x\geqslant0\)时，函数图像是直线\(y = x\)；当\(x < 0\)时，函数图像是直线\(y=-x\)。

例如，\(y = |x - 1|\)可以写成\(y=\left\{\begin{array}{ll}x - 1, & x\geqslant1\\1 - x, & x < 1\end{array}\right.\)，它的图像是将\(y = |x|\)的图像向右平移\(1\)个单位得到的。

应用场景：在距离问题、误差分析等场景中经常出现。比如计算一个点到另一个点的距离，当坐标差值为正时和为负时，距离都用绝对值表示。

2. 符号函数

函数形式：\(y=\text{sgn}(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & x > 0\\0, & x = 0\\ - 1, & x < 0\end{array}\right.\)。

图像特点：函数图像是在\(x>0\)时为水平直线\(y = 1\)，在\(x = 0\)时为点\((0,0)\)，在\(x < 0\)时为水平直线\(y=-1\)。

应用场景：在计算机科学、信号处理等领域用于判断一个数的正负性相关的操作。例如，在控制系统中判断信号的方向。

3. 取整函数

函数形式：\(y = [x]\)，表示不超过\(x\)的最大整数。

例如，\([3.7]=3\)，\([-2.3]=-3\)。它可以写成\(y=\left\{\begin{array}{ll}n, & n\leqslant x < n + 1,n\in Z\end{array}\right.\)。

图像特点：图像呈阶梯状。在每个整数区间\([n,n + 1)\)（\(n\in Z\)）内，函数值保持为\(n\)，然后在整数点处发生跳跃。

应用场景：在统计人数、计算物品个数等需要取整的实际问题中广泛应用。比如计算一个仓库能容纳完整包装物品的数量。

4. 阶梯收费函数

函数形式（以水电费为例）：设水费的收费标准为：当用水量\(x\leqslant a\)时，每吨水费为\(m\)元；当用水量\(x > a\)时，超出部分每吨水费为\(n\)元（\(n>m\)）。则水费\(y\)关于用水量\(x\)的函数为\(y=\left\{\begin{array}{ll}mx, & x\leqslant a\\ma+(x - a)n, & x > a\end{array}\right.\)。

图像特点：在用水量未超过\(a\)时，函数图像是一条斜率为\(m\)的直线；当用水量超过\(a\)后，函数图像是另一条斜率为\(n\)的直线，在\(x = a\)处有一个转折点。

应用场景：在各种收费系统中，如水电费、出租车计费（起步价加上超出里程的费用）等场景经常使用。

5. 行程问题

一辆汽车在不同的路段有不同的速度。假设汽车在\(0\leq t\leq2\)小时内，速度\(v = 50\)千米/小时；在\(t>2\)小时后，速度\(v = 60\)千米/小时。那么汽车行驶的路程\(s\)与时间\(t\)之间的函数关系是\(s=\begin{cases}50t, & 0\leq t\leq2\\100 + 60(t - 2), & t>2\end{cases}\)。

6. 出租车计费

一般情况下，出租车有一个起步价，这个价格适用于一定的里程范围内。例如，起步价为\(10\)元，包含\(3\)公里的里程。当行程超过\(3\)公里后，每公里收费\(2\)元。

设行程为\(x\)公里，费用为\(y\)元，则分段函数为\(y = \begin{cases}10, &0 < x\leq3\\10+(x - 3)\times2, &x > 3\end{cases}\)。

这意味着当你乘坐出租车的距离不超过\(3\)公里时，你只需支付\(10\)元；而当距离超过\(3\)公里时，费用就会根据超出的里程按每公里\(2\)元计算并加上起步价。

7. 个人所得税计算

个人所得税的计算是按照不同的收入区间采用不同的税率。以我国个人所得税的部分规定为例（为了简化说明），假设应纳税所得额（即收入减去扣除项后的金额）为\(x\)元，纳税额为\(y\)元。

当\(0<x\leq36000\)时，税率为\(3\%\)，则\(y = 0.03x\)；当\(36000 < x\leq144000\)时，先对\(36000\)元这部分按\(3\%\)计税，超出\(36000\)元的部分按\(10\%\)计税，\(y=36000\times0.03+(x - 36000)\times0.1\)，以此类推，不同的收入区间有不同的计税方式，构成了一个分段函数。