初中数学 06 分式有意义的条件
一、分式的定义回顾
分式是指形如\(\frac{A}{B}\)的式子，其中\(A\)、\(B\)是整式，且\(B\)中含有字母。例如\(\frac{x + 1}{x - 1}\)、\(\frac{2}{x}\)都是分式，在\(\frac{A}{B}\)中，\(A\)是分子，\(B\)是分母。
二、分式有意义的条件阐述
分式有意义的条件是分母\(B\neq0\)。因为分式可以看作是分子除以分母的形式，在除法运算中，除数不能为\(0\)，所以当分母不为\(0\)时，分式才有意义。
三、不同类型分式的有意义条件分析
简单分式：
对于分式\(\frac{1}{x}\)，要使这个分式有意义，则\(x\neq0\)。因为当\(x = 0\)时，分母为\(0\)，分式无意义。
含有多项式分母的分式：
例如分式\(\frac{2x + 1}{x^2 - 1}\)，分母\(x^2 - 1=(x + 1)(x - 1)\)。要使分式有意义，则\((x + 1)(x - 1)\neq0\)，即\(x\neq1\)且\(x\neq - 1\)。
含有根式的分式（分母部分）：
对于分式\(\frac{3}{\sqrt{x - 2}}\)，因为根式中被开方数须大于等于\(0\)，且分母不能为\(0\)，所以\(x - 2>0\)，即\(x>2\)时，该分式有意义。
四、在函数中的应用（分式函数）
在函数\(y = \frac{1}{x - 3}\)中，自变量\(x\)的取值范围就是使分式有意义的范围。由分式有意义的条件可知，\(x - 3\neq0\)，即\(x\neq3\)。所以函数\(y = \frac{1}{x - 3}\)的定义域是\(x\in(-\infty,3)\cup(3,+\infty)\)。
对于更复杂的分式函数，如\(y=\frac{x + 1}{\sqrt{x^2 - 4}}\)，要使函数有意义，分母\(\sqrt{x^2 - 4}\neq0\)且\(x^2 - 4\geq0\)。解不等式\(x^2 - 4>0\)，得到\(x>2\)或\(x<-2\)，这就是该函数的定义域。
五、在方程和不等式中的应用
在分式方程\(\frac{2}{x - 1}=\frac{3}{x + 1}\)中，首先要确定\(x\)的取值范围使得方程中的分式有意义。这里\(x\neq1\)且\(x\neq - 1\)。然后通过交叉相乘去分母等方法解方程。
对于分式不等式\(\frac{x - 3}{x + 2}>0\)，同样要先考虑分式有意义的条件，即\(x\neq - 2\)。然后可以通过分析分子分母同号的情况来求解不等式，当\(x - 3>0\)且\(x + 2>0\)，或者\(x - 3<0\)且\(x + 2<0\)时，不等式成立。
