复数 07 复数的乘法、除法运算
复数的乘法运算
1. 运算法则
设\(z_1=a + bi\)，\(z_2=c + di\)（\(a,b,c,d\in R\)，\(i\)为虚数单位），则\(z_1\cdot z_2=(a + bi)\cdot(c + di)\)。
根据多项式乘法法则展开可得：
\[\begin{align*}z_1\cdot z_2&=ac+adi + bci+bdi^2\\&=ac + adi + bci - bd\\&=(ac - bd)+(ad + bc)i\end{align*}\]
简单来说，就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，展开后将\(i^2\)换成\(-1\)，再合并实部与虚部。
2. 运算性质
交换律：对于任意两个复数\(z_1\)，\(z_2\)，有\(z_1\cdot z_2 = z_2\cdot z_1\)。
证明：设\(z_1=a + bi\)，\(z_2=c + di\)，则\(z_1\cdot z_2=(ac - bd)+(ad + bc)i\)，\(z_2\cdot z_1=(ca - db)+(cb + da)i\)，由于实数乘法满足交换律，所以\(z_1\cdot z_2 = z_2\cdot z_1\)。
结合律：对于任意三个复数\(z_1\)，\(z_2\)，\(z_3\)，有\((z_1\cdot z_2)\cdot z_3=z_1\cdot(z_2\cdot z_3)\)。
分配律：\(z_1\cdot(z_2 + z_3)=z_1\cdot z_2+z_1\cdot z_3\)。
3. 示例
计算\((2 + 3i)\cdot(4 + 5i)\)
\[\begin{align*}(2 + 3i)\cdot(4 + 5i)&=2\times4+2\times5i+3i\times4 + 3i\times5i\\&=8 + 10i+12i+15i^2\\&=8 + 22i-15\\&=-7 + 22i\end{align*}\]
计算\((1 - i)\cdot(2 + i)\)
\[\begin{align*}(1 - i)\cdot(2 + i)&=1\times2+1\times i+(-i)\times2+(-i)\times i\\&=2 + i-2i - i^2\\&=2 - i+1\\&=3 - i\end{align*}\]
复数的除法运算
1. 运算法则
设\(z_1=a + bi\)，\(z_2=c + di\)（\(c + di\neq0\)，即\(c^2 + d^2\neq0\)），则\(\frac{z_1}{z_2}=\frac{a + bi}{c + di}\)。
为了将分母实数化，给分子分母同时乘以分母的共轭复数\(c - di\)，即：
\[\begin{align*}\frac{a + bi}{c + di}&=\frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)}\\&=\frac{ac-adi + bci - bdi^2}{c^2 - (di)^2}\\&=\frac{(ac + bd)+(bc - ad)i}{c^2 + d^2}\\&=\frac{ac + bd}{c^2 + d^2}+\frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i\end{align*}\]
2. 示例
计算\(\frac{3 + 2i}{1 - i}\)
将分子分母同时乘以分母的共轭复数\(1 + i\)：
\[\begin{align*}\frac{3 + 2i}{1 - i}&=\frac{(3 + 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)}\\&=\frac{3+3i + 2i+2i^2}{1 - i^2}\\&=\frac{3 + 5i-2}{2}\\&=\frac{1 + 5i}{2}\\&=\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i\end{align*}\]
计算\(\frac{4 - i}{2 + 3i}\)
分子分母同乘\(2 - 3i\)：
\[\begin{align*}\frac{4 - i}{2 + 3i}&=\frac{(4 - i)(2 - 3i)}{(2 + 3i)(2 - 3i)}\\&=\frac{8-12i-2i + 3i^2}{4 - 9i^2}\\&=\frac{8-14i-3}{4 + 9}\\&=\frac{5 - 14i}{13}\\&=\frac{5}{13}-\frac{14}{13}i\end{align*}\]
