不等式 02 零次齐次式不等式
1. 零次齐次式的定义与识别
定义：对于一个含有\(n\)个变量\(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\)的函数\(f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})\)，如果对于任意非零实数\(k\)，都有\(f(kx_{1},kx_{2},\cdots,kx_{n})=f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})\)，那么函数\(f\)是零次齐次式。在不等式中，例如\(\frac{x + y}{x - y}\)（\(x\neq y\)）就是零次齐次式，因为\(\frac{kx+ky}{kx - ky}=\frac{k(x + y)}{k(x - y)}=\frac{x + y}{x - y}\)。
识别技巧：观察不等式中的式子，看各项的次数之和是否为\(0\)。如果是分式形式，分子和分母的总次数相同；如果是整式形式，各项次数之和为\(0\)。如\(\frac{a^{2}b}{c^{2}d}\)（\(a,b,c,d\neq0\)），分子次数为\(2 + 1 = 3\)，分母次数为\(2+1 = 3\)，它是零次齐次式。
2. 设比值法（常用技巧）
原理：由于零次齐次式的特性，可设一个变量与另一个变量的比值为新的变量。例如对于含有\(x\)和\(y\)的零次齐次式不等式，设\(t=\frac{x}{y}\)（\(y\neq0\)），将\(x = ty\)代入不等式，这样就把不等式中的变量个数减少，便于求解。
示例：对于不等式\(\frac{x^{2}+xy + y^{2}}{x^{2}-xy + y^{2}}\geq\frac{3}{7}\)，设\(t = \frac{x}{y}\)（\(y\neq0\)），则\(x = ty\)。将其代入不等式得\(\frac{t^{2}y^{2}+t y^{2}+y^{2}}{t^{2}y^{2}-t y^{2}+y^{2}}\geq\frac{3}{7}\)，因为\(y^{2}\neq0\)，可以约去\(y^{2}\)，得到\(\frac{t^{2}+t + 1}{t^{2}-t + 1}\geq\frac{3}{7}\)，然后通过移项、通分等常规方法求解关于\(t\)的不等式。
3. 利用齐次性化简不等式
技巧一：同除变量的乘积或幂次：如果不等式是\(f(x,y)\geq g(x,y)\)的形式，且\(f\)和\(g\)都是零次齐次式，可以同时除以\(x\)和\(y\)的适当幂次，使式子变得更简单。例如，对于不等式\(x^{3}+y^{3}\geq xy(x + y)\)（\(x,y>0\)），因为左右两边都是三次齐次式，可同时除以\(xy\)，得到\(\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}\geq x + y\)，再通过换元或者其他方法求解。
技巧二：凑齐次式形式：有些不等式可能不是标准的零次齐次式，但可以通过变形凑成零次齐次式。例如，已知\(x + y = 1\)（\(x,y>0\)），证明\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq4\)。将不等式左边变形为\(\frac{x + y}{xy}\)，此时分子分母次数相同（都是二次），是零次齐次式，再利用\(x + y = 1\)代入，得到\(\frac{1}{xy}\)，然后根据均值不等式\(x + y\geq2\sqrt{xy}\)，即\(1\geq2\sqrt{xy}\)，可得\(xy\leq\frac{1}{4}\)，所以\(\frac{1}{xy}\geq4\)。
4. 结合基本不等式求解
均值不等式的应用：在将零次齐次式不等式化简后，常常可以结合均值不等式\(a + b\geq2\sqrt{ab}\)（\(a,b\geq0\)）或其他基本不等式来求解。例如，对于不等式\(\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}\geq2\)（\(x,y>0\)），由均值不等式\(x^{2}+y^{2}\geq2xy\)，两边同时除以\(xy\)（因为\(x,y>0\)）就可以得到要证明的不等式。
柯西不等式等的应用：在某些复杂的零次齐次式不等式中，柯西不等式\((a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq(ac + bd)^{2}\)也可能会用到。例如，已知\(a,b,c,d>0\)，对于不等式\(\frac{a^{3}+b^{3}}{c^{3}+d^{3}}\geq\frac{ab}{cd}\)，可以通过构造适当的形式利用柯西不等式进行证明。先将不等式变形为\((a^{3}+b^{3})(cd)\geq(ab)(c^{3}+d^{3})\)，然后通过巧妙的分组和应用柯西不等式来完成证明。
