初中数学 02 实数
一、实数的定义
实数是有理数和无理数的总称。
有理数是整数（正整数、\(0\)、负整数）和分数的统称。
例如，\(3\)（整数）、\(\frac{1}{2}\)（分数）等都是有理数。
无理数，也称为无限不循环小数，如\(\sqrt{2}\)、\(\pi\)等。
可以把实数想象成数轴上的点，每一个实数都对应数轴上的一个点。
反过来，数轴上的每一个点也都对应一个实数，这种一一对应的关系是实数的一个重要性质。
例如，数字\(2\)对应数轴上原点右边距离原点\(2\)个单位长度的点；\(-\frac{3}{4}\)对应原点左边，距离原点\(\frac{3}{4}\)个单位长度的点。
二、实数的分类
有理数
整数：包括正整数（如\(1\)、\(2\)、\(3\cdots\)）、\(0\)和负整数（如\(-1\)、\(-2\)、\(-3\cdots\)）。
整数在日常生活中有很多应用，比如计算人数、物品的个数等。例如，教室里有\(30\)名学生，这里的\(30\)就是正整数。
分数：分数又分为有限小数（如\(0.25=\frac{1}{4}\)）和无限循环小数（如\(0.333\cdots=\frac{1}{3}\)）。
在商业活动中经常会用到分数，比如商品打折，打八折就是按原价的\(\frac{4}{5}\)出售。
无理数
根式型无理数：像\(\sqrt{2}\)、\(\sqrt{3}\)、\(\sqrt[3]{5}\)等，这些数不能表示为两个整数之比。
例如，在一个直角边长为\(1\)的等腰直角三角形中，斜边的长度就是\(\sqrt{2}\)。
超越数：最典型的是\(\pi\)和\(e\)（自然对数的底数）。
\(\pi\)在与圆相关的计算中必不可少，例如计算圆的周长\(C = 2\pi r\)（\(r\)为圆的半径）和面积\(S=\pi r^{2}\)。
三、实数的运算
加法和减法：对于两个实数\(a\)和\(b\)，加法和减法的运算规则与有理数类似。
例如，\(3 + 2.5=5.5\)，\(4 - \sqrt{3}\)就等于\(4\)减去\(\sqrt{3}\)这个无理数，其结果是一个无理数。
如果是分数相加，如\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3 + 2}{6}=\frac{5}{6}\)。
乘法和除法：同样遵循基本的运算规则。
例如，\(2\times3 = 6\)，\(\frac{4}{5}\div\frac{2}{3}=\frac{4}{5}\times\frac{3}{2}=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}\)。
对于无理数的乘法，如\(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{2\times3}=\sqrt{6}\)。
在做除法时，要注意除数不能为\(0\)，例如\(5\div0\)是没有意义的。
乘方和开方：乘方是一个数自乘若干次，如\(2^{3}=2\times2\times2 = 8\)。
开方是乘方的逆运算，对于非负数\(a\)，\(\sqrt{a}\)表示\(a\)的算术平方根。
例如，\(\sqrt{9}=3\)，因为\(3^{2}=9\)。对于立方根，如\(\sqrt[3]{8}=2\)，因为\(2^{3}=8\)。
四、实数的性质
有序性：实数是有序的，即对于任意两个实数\(a\)和\(b\)，要么\(a < b\)，要么\(a = b\)，要么\(a>b\)。例如，\(3>2\)，\(-1 < 0\)。
传递性：如果\(a < b\)且\(b < c\)，那么\(a < c\)。比如，\(2 < 3\)，\(3 < 4\)，所以\(2 < 4\)。
稠密性：任意两个不相等的实数之间必有另一个实数。
例如，在\(1\)和\(2\)之间有\(1.5\)，在\(\frac{1}{2}\)和\(\frac{2}{3}\)之间有\(\frac{7}{12}\)等。
阿基米德性质：对于任意实数\(a\)、\(b\)（\(a>0\)），存在正整数\(n\)，使得\(na>b\)。
简单地说，不管一个正数多么小，另一个正数多么大，只要把小的正数不断地累加，总会超过大的正数。
例如，\(a = 0.1\)，\(b = 10\)，当\(n = 101\)时，\(101\times0.1 = 10.1>10\)。
