平面向量 06 平面向量的概念、共线向量

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一、平面向量的概念

向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量。

例如，物理学中的力、位移等都是向量。

力有大小（比如多少牛顿），还有方向（比如向左、向上等）；

位移也有大小（移动的距离）和方向（从起点指向终点的方向）。

向量的大小：向量的大小叫做向量的模。对于向量\(\overrightarrow{a}\)，它的模记作\(\vert\overrightarrow{a}\vert\)。

两个向量之间不能比较大小，但可以比较向量的模。

例如，若一个位移向量表示向东移动了\(5\)米，那么这个向量的模就是\(5\)米。

零向量：长度为\(0\)的向量叫做零向量，记作\(\overrightarrow{0}\)。零向量的方向是任意的。只有一个零向量。

比如，一个物体没有发生位移，就可以用零向量来表示这个位移情况。

单位向量：长度等于\(1\)个单位长度的向量叫做单位向量。

单位向量是用来确定方向的重要工具，任何非零向量都可以通过除以它的模得到与之同方向的单位向量。

二、平面向量的表示方法

几何表示法

用有向线段来表示向量。有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

例如，以\(A\)为起点、\(B\)为终点的向量记作\(\overrightarrow{AB}\)。

如果\(A\)点坐标为\((1,2)\)，\(B\)点坐标为\((3,4)\)，那么\(\overrightarrow{AB}\)这个向量就可以通过这两个点在平面直角坐标系中确定下来，它的长度（模）可以通过两点间距离公式计算，方向是从\(A\)指向\(B\)。

字母表示法

用小写字母\(\overrightarrow{a}\)、\(\overrightarrow{b}\)、\(\overrightarrow{c}\)等表示向量。

这种表示方法比较简洁，在书写和运算过程中更加方便。

例如，在进行向量的加法、减法、数乘等运算时，使用字母表示向量可以更清晰地展示运算规则。

坐标表示法

在平面直角坐标系中，分别取与\(x\)轴、\(y\)轴方向相同的两个单位向量\(\overrightarrow{i}\)、\(\overrightarrow{j}\)作为基底。

对于平面内的任一向量\(\overrightarrow{a}\)，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数\(x\)、\(y\)，使得

\(\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}\)

我们把有序数对\((x,y)\)叫做向量\(\overrightarrow{a}\)的坐标，记作\(\overrightarrow{a}=(x,y)\)。

例如，若一个向量在\(x\)轴上的投影为\(3\)，在\(y\)轴上的投影为\(4\)，那么这个向量的坐标表示就是\((3,4)\)，通过这种方式可以将向量的运算转化为坐标的运算，方便解决很多几何和物理问题。

三、有向线段与向量的区别与联系

1. 有向线段与向量的区别

定义本质

有向线段：有向线段是具有方向的线段。它有固定的起点、终点和长度，是一个几何图形。

例如，在平面直角坐标系中，从点\(A(1,1)\)到点\(B(3,3)\)的有向线段\(\overrightarrow{AB}\)，它的长度可以通过两点间距离公式\(\sqrt{(3 - 1)^2+(3 - 1)^2}=2\sqrt{2}\)计算，其方向是从\(A\)指向\(B\)，这是基于几何图形本身的属性。

向量：向量是既有大小又有方向的量，它是一个抽象的数学概念。向量不依赖于特定的位置，是自由向量，重点在于其大小和方向这两个属性。

比如，一个大小为\(5\)、方向为正东的向量，它可以在平面内的任何位置表示，只要满足这个大小和方向即可。

位置属性

有向线段：位置是固定的，因为它是由特定的起点和终点确定的。

不同位置的有向线段，即使长度和方向相同，在几何意义上也是不同的有向线段。

例如，在平面的不同位置分别画出从\((0,0)\)到\((1,0)\)的有向线段和从\((2,2)\)到\((3,2)\)的有向线段，它们是不同的有向线段，尽管它们的长度都是\(1\)且方向都是沿\(x\)轴正方向。

向量：向量可以自由平移，只要大小和方向不变，就认为是同一个向量。

例如，一个表示水平向右大小为\(3\)的向量，无论它放在平面内的何处，都是同一个向量。

表示方式侧重点

有向线段：更侧重于几何图形的表示，包括线段的起点、终点坐标以及线段的长度计算等几何属性。

例如，在证明几何图形中的线段平行或垂直关系时，通过有向线段的坐标运算来判断其几何关系。

向量：更强调抽象的量的属性，其表示方式可以是几何的（用有向线段表示），也可以是代数的（如坐标表示或用字母表示）。

例如，在向量的运算（加法、减法、数乘等）中，更多地是关注向量的大小和方向在运算中的变化规律，而不是其几何位置。

2. 有向线段与向量的联系

相互表示

向量可以用有向线段来直观地表示。在平面直角坐标系或几何空间中，通过有向线段的长度体现向量的大小，有向线段的箭头方向表示向量的方向。

例如，向量\(\overrightarrow{a}\)（大小为\(4\)，方向与\(x\)轴正方向夹角为\(30^{\circ}\)）可以用从原点出发的有向线段来表示，这样可以更直观地理解向量的几何意义。

有向线段也可以抽象为向量。对于给定的有向线段，忽略其起点位置的限制，只考虑其长度和方向这两个属性，就可以将其看作一个向量。

例如，对于有向线段\(\overrightarrow{AB}\)，可以将其抽象为一个向量\(\overrightarrow{v}\)，其中向量\(\overrightarrow{v}\)的大小等于有向线段\(\overrightarrow{AB}\)的长度，向量\(\overrightarrow{v}\)的方向与有向线段\(\overrightarrow{AB}\)的方向相同。

运算关联

在运算方面，有向线段和向量有相似之处。

例如，有向线段的加法可以按照三角形法则或平行四边形法则进行，这与向量加法的几何法则是一致的。

对于有向线段\(\overrightarrow{AB}\)和\(\overrightarrow{BC}\)，按照三角形法则，\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)；

对于向量\(\overrightarrow{a}\)和\(\overrightarrow{b}\)，同样可以用三角形法则或平行四边形法则进行加法运算得到\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)。

而且，向量的数乘运算也可以通过有向线段的伸缩来直观地理解，当一个实数\(k\)与向量\(\overrightarrow{a}\)（用有向线段表示）相乘时，有向线段的长度变为原来的\(\vert k\vert\)倍，方向根据\(k\)的正负确定（\(k>0\)时方向不变，\(k<0\)时方向相反）。

四、向量间的关系：相等向量与共线向量

1. 相等向量

定义：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。因为零向量的方向是任意的，所以零向量不等于零向量！

例如，在平面直角坐标系中，向量\(\overrightarrow{a}=(1,0)\)和向量\(\overrightarrow{b}=(1,0)\)是相等向量，因为它们的长度（模）都为\(1\)，且方向都是沿着\(x\)轴正方向。

性质：

相等向量的模一定相等。若\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\)，则\(\vert\overrightarrow{a}\vert = \vert\overrightarrow{b}\vert\)。这是因为相等向量的大小相同，而向量的模就是用来衡量向量大小的。

相等向量的方向相同。这是相等向量定义的关键部分，只有长度和方向都相同的向量才是相等向量。

相等向量在空间中的位置可以不同。因为向量可以自由平移，只要长度和方向不变，就还是同一个向量。

例如，在一个平行四边形\(ABCD\)中，\(\overrightarrow{AB}\)和\(\overrightarrow{DC}\)是相等向量，尽管它们的起点和终点不同，但长度相等且方向相同（\(\overrightarrow{AB}\)的方向是从\(A\)到\(B\)，\(\overrightarrow{DC}\)的方向是从\(D\)到\(C\)，这两个方向是相同的）。

2. 共线向量（又叫：平行向量）

定义：方向相同或相反的非零向量叫做共线向量（平行向量）。规定零向量与任意向量共线（平行）。

例如，向量\(\overrightarrow{a}=(2,0)\)和向量\(\overrightarrow{b}=(-2,0)\)是共线向量，因为它们的方向相反；

例如，向量\(\overrightarrow{c}=(3,0)\)和向量\(\overrightarrow{d}=(6,0)\)也是共线向量，因为它们的方向相同。

性质：

共线向量所在的直线平行或重合。如果两个非零向量是共线向量，那么它们可以通过平移使它们所在的直线重合。

例如，对于共线向量\(\overrightarrow{a}\)和\(\overrightarrow{b}\)，可以想象将它们平移到同一条直线上。

若\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)是共线向量，存在实数\(\lambda\)，使得\(\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow{b}\)。

这个性质在判断向量是否共线以及解决与向量共线相关的问题时非常有用。

例如，已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)和向量\(\overrightarrow{b}=(2,4)\)，可以发现\(\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}\)，所以\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)是共线向量。