三角函数 05 轴线角与象限角

轴线角 - 角的终边落在坐标轴上的角

1. 轴线角的定义

轴线角是指角的终边落在坐标轴上的角，包括\(x\)轴正半轴、\(x\)轴负半轴、\(y\)轴正半轴和\(y\)轴负半轴上的角。在平面直角坐标系中，这些角的特点是其终边不落在象限内，所以不属于任何象限。

2. 角度制下的轴线角及其三角函数值特点

\(x\)轴正半轴上的角：可以表示为\(\alpha = k\cdot360^{\circ}\)（\(k\in Z\)）。例如，\(0^{\circ}\)、\(360^{\circ}\)、\(-360^{\circ}\)等。对于这些角，\(\sin\alpha = 0\)，\(\cos\alpha = 1\)，\(\tan\alpha = 0\)。因为在单位圆中，\(x\)轴正半轴上的点纵坐标为\(0\)，横坐标为\(1\)，根据三角函数定义可得上述值。

\(x\)轴负半轴上的角：表示为\(\alpha=(2k + 1)\cdot180^{\circ}\)（\(k\in Z\)），像\(180^{\circ}\)、\(-180^{\circ}\)等。此时，\(\sin\alpha = 0\)，\(\cos\alpha=-1\)，\(\tan\alpha = 0\)。这是由于\(x\)轴负半轴上的点纵坐标是\(0\)，横坐标是\(-1\)。

\(y\)轴正半轴上的角：可以写成\(\alpha = 90^{\circ}+k\cdot360^{\circ}\)（\(k\in Z\)），如\(90^{\circ}\)、\(450^{\circ}\)等。对于这些角，\(\sin\alpha = 1\)，\(\cos\alpha = 0\)，\(\tan\alpha\)不存在。因为\(y\)轴正半轴上的点横坐标为\(0\)，纵坐标为\(1\)，正切函数\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)，分母为\(0\)时无定义。

\(y\)轴负半轴上的角：表示为\(\alpha = 270^{\circ}+k\cdot360^{\circ}\)（\(k\in Z\)），例如\(270^{\circ}\)、\(-90^{\circ}\)等。这里\(\sin\alpha=-1\)，\(\cos\alpha = 0\)，\(\tan\alpha\)不存在，原因是\(y\)轴负半轴上的点横坐标为\(0\)，纵坐标为\(-1\)。

3. 弧度制下的轴线角及其三角函数值特点

\(x\)轴正半轴上的角：可表示为\(\alpha = 2k\pi\)（\(k\in Z\)）。此时\(\sin\alpha = 0\)，\(\cos\alpha = 1\)，\(\tan\alpha = 0\)。

\(x\)轴负半轴上的角：表示为\(\alpha=(2k + 1)\pi\)（\(k\in Z\)），有\(\sin\alpha = 0\)，\(\cos\alpha=-1\)，\(\tan\alpha = 0\)。

\(y\)轴正半轴上的角：写成\(\alpha=\frac{\pi}{2}+2k\pi\)（\(k\in Z\)），\(\sin\alpha = 1\)，\(\cos\alpha = 0\)，\(\tan\alpha\)不存在。

\(y\)轴负半轴上的角：表示为\(\alpha=\frac{3\pi}{2}+2k\pi\)（\(k\in Z\)），\(\sin\alpha=-1\)，\(\cos\alpha = 0\)，\(\tan\alpha\)不存在。

4. 轴线角的应用

在三角函数图像绘制中的应用：轴线角是三角函数图像与坐标轴的交点对应的角度。例如，在绘制\(y = \sin x\)的图像时，当\(x = k\pi\)（\(k\in Z\)）时，\(\sin x = 0\)，这些点是图像与\(x\)轴的交点；当\(x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\)（\(k\in Z\)）时，\(\sin x = 1\)或\(-1\)，是图像的最值点。

在化简三角函数表达式中的应用：当遇到三角函数的定义域限制或者化简含有特殊角度的三角函数表达式时，轴线角的三角函数值可以作为已知条件直接使用。例如，化简\(\frac{\sin x}{\cos x}\)，当\(x = k\pi+\frac{\pi}{2}\)（\(k\in Z\)）时，\(\cos x = 0\)，这个表达式无定义，这是基于轴线角\(y\)轴上的角的余弦值为\(0\)的特点。

象限角

1. 象限角的定义

象限角是指在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与\(x\)轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就称这个角是第几象限角。

如果角的终边落在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限，称为轴线角。

2. 象限角的范围（角度制）

第一象限角：其角度范围是\(k\cdot360^{\circ}<\alpha<k\cdot360^{\circ}+90^{\circ}\)，\(k\in Z\)。

例如，\(30^{\circ}\)、\(40^{\circ}\)等都是第一象限角，当\(k = 0\)时，满足上述范围。这个范围内的角终边在第一象限，其终边上的点的横、纵坐标都是正数。

第二象限角：角度范围是\(k\cdot360^{\circ}+90^{\circ}<\alpha<k\cdot360^{\circ}+180^{\circ}\)，\(k\in Z\)。

例如，\(120^{\circ}\)、\(135^{\circ}\)等属于第二象限角。在这个范围内，角的终边在第二象限，终边上点的横坐标为负，纵坐标为正。

第三象限角：范围是\(k\cdot360^{\circ}+180^{\circ}<\alpha<k\cdot360^{\circ}+270^{\circ}\)，\(k\in Z\)。

例如，\(210^{\circ}\)、\(240^{\circ}\)等是第三象限角，此范围内角的终边在第三象限，终边上点的横坐标和纵坐标都是负数。

第四象限角：范围为\(k\cdot360^{\circ}+270^{\circ}<\alpha<(k + 1)\cdot360^{\circ}\)，\(k\in Z\)。

例如，\(-30^{\circ}\)（当\(k=-1\)时）、\(330^{\circ}\)等是第四象限角，这些角的终边在第四象限，终边上点的横坐标为正，纵坐标为负。

3. 象限角的范围（弧度制）

第一象限角：\(2k\pi<\alpha<2k\pi+\frac{\pi}{2}\)，\(k\in Z\)。例如，\(\frac{\pi}{6}\)（当\(k = 0\)时）是第一象限角。

第二象限角：\(2k\pi+\frac{\pi}{2}<\alpha<2k\pi+\pi\)，\(k\in Z\)。例如，\(\frac{3\pi}{4}\)（当\(k = 0\)时）属于第二象限角。

第三象限角：\(2k\pi+\pi<\alpha<2k\pi+\frac{3\pi}{2}\)，\(k\in Z\)。例如，\(\frac{5\pi}{4}\)（当\(k = 0\)时）是第三象限角。

第四象限角：\(2k\pi+\frac{3\pi}{2}<\alpha<2(k + 1)\pi\)，\(k\in Z\)。例如，\(-\frac{\pi}{6}\)（当\(k=-1\)时）是第四象限角。

4. 象限角的三角函数值符号规律

第一象限角：\(\sin\alpha>0\)，\(\cos\alpha>0\)，\(\tan\alpha>0\)。因为在第一象限，角终边上点的横、纵坐标都为正，根据三角函数定义\(\sin\alpha=\frac{y}{r}\)（\(y>0\)，\(r>0\)），\(\cos\alpha=\frac{x}{r}\)（\(x>0\)，\(r>0\)），\(\tan\alpha=\frac{y}{x}\)（\(x>0\)，\(y>0\)），所以三角函数值都为正。

第二象限角：\(\sin\alpha>0\)，\(\cos\alpha<0\)，\(\tan\alpha<0\)。在第二象限，\(x<0\)，\(y>0\)，所以\(\sin\alpha=\frac{y}{r}>0\)，\(\cos\alpha=\frac{x}{r}<0\)，\(\tan\alpha=\frac{y}{x}<0\)。

第三象限角：\(\sin\alpha<0\)，\(\cos\alpha<0\)，\(\tan\alpha>0\)。由于第三象限\(x<0\)，\(y<0\)，则\(\sin\alpha=\frac{y}{r}<0\)，\(\cos\alpha=\frac{x}{r}<0\)，\(\tan\alpha=\frac{y}{x}>0\)。

第四象限角：\(\sin\alpha<0\)，\(\cos\alpha>0\)，\(\tan\alpha<0\)。在第四象限，\(x>0\)，\(y<0\)，因此\(\sin\alpha=\frac{y}{r}<0\)，\(\cos\alpha=\frac{x}{r}>0\)，\(\tan\alpha=\frac{y}{x}<0\)。