一、绝对值的定义

绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“\(\vert\) \(\vert\)”来表示。例如，对于数\(a\)，它的绝对值\(\vert a\vert\)就是这个数\(a\)对应的点与原点之间的距离。\(\vert5\vert = 5\)，因为\(5\)在数轴上对应的点到原点的距离是\(5\)个单位长度；\(\vert - 3\vert = 3\)，这是由于\(-3\)对应的点到原点的距离是\(3\)个单位长度。

二、绝对值的性质

非负性：绝对值的一个重要性质是它具有非负性，即对于任何实数\(a\)，\(\vert a\vert\geqslant0\)。这意味着绝对值的结果要么是正数，要么是\(0\)。例如，不管\(a\)是\(7\)还是\(-7\)，\(\vert a\vert\)都是\(7\)或者\(0\)（当\(a = 0\)时），不会出现负数的情况。

对称性：绝对值相等的数有两个，它们互为相反数。即若\(\vert a\vert=\vert b\vert\)，则\(a = b\)或\(a=-b\)。例如，\(\vert3\vert=\vert - 3\vert\)，这两个数到原点的距离相同，只是方向相反。

运算性质：\(\vert ab\vert=\vert a\vert\vert b\vert\)，例如\(\vert2\times(-3)\vert=\vert2\vert\times\vert - 3\vert = 6\)；\(\left\vert\frac{a}{b}\right\vert=\frac{\vert a\vert}{\vert b\vert}(b\neq0)\)，比如\(\left\vert\frac{4}{-2}\right\vert=\frac{\vert4\vert}{\vert - 2\vert}=2\)。

三、绝对值的运算

当\(a\geqslant0\)时：\(\vert a\vert=a\)。例如，\(\vert4\vert = 4\)，因为\(4\)是正数，它的绝对值就是它本身。

当\(a<0\)时：\(\vert a\vert=-a\)。例如，当\(a=-2\)时，\(\vert - 2\vert=-(-2)=2\)，此时绝对值是这个负数的相反数。

绝对值的化简与求值：在进行绝对值的化简时，需要先判断绝对值符号内的数的正负性。例如，化简\(\vert x - 3\vert\)，当\(x\geqslant3\)时，\(\vert x - 3\vert=x - 3\)；当\(x<3\)时，\(\vert x - 3\vert=-(x - 3)=3 - x\)。在求解含有绝对值的方程或不等式时，也需要根据绝对值的性质进行分类讨论。比如，解方程\(\vert x\vert=2\)，根据绝对值的定义可知\(x = 2\)或\(x=-2\)；解不等式\(\vert x - 1\vert<3\)，则需要分\(x - 1\geqslant0\)和\(x - 1<0\)两种情况来讨论，当\(x - 1\geqslant0\)即\(x\geqslant1\)时，不等式变为\(x - 1<3\)，解得\(x<4\)，综合得\(1\leqslant x<4\)，当\(x - 1<0\)即\(x<1\)时，不等式变为\(-(x - 1)<3\)，即\(x>-2\)，综合得\(-2<x<1\)，所以不等式的解集是\(-2<x<4\)。

四、绝对值在实际中的应用

距离问题：绝对值可以用来表示距离。例如，在数轴上，两点\(A\)、\(B\)对应的数分别为\(a\)、\(b\)，那么\(A\)、\(B\)两点间的距离\(d=\vert a - b\vert\)。在平面直角坐标系中，两点\((x_1,y_1)\)和\((x_2,y_2)\)之间的距离公式\(d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}\)也与绝对值的概念有关，其中横坐标之差的绝对值\(\vert x_2 - x_1\vert\)和纵坐标之差的绝对值\(\vert y_2 - y_1\vert\)分别体现了在\(x\)轴和\(y\)轴方向上的距离分量。

误差范围问题：在测量等实际场景中，绝对值可以用来表示误差范围。例如，某零件的标准长度为\(l\)，实际测量长度为\(x\)，允许的误差范围为\(\Delta\)，那么当\(\vert x - l\vert\leqslant\Delta\)时，该零件的长度是合格的。这体现了绝对值在衡量实际数据与标准数据之间偏差程度的应用。

1. 化简绝对值式子

例1：化简\(\vert 2x - 3\vert\)，当\(x \geq \frac{3}{2}\)时，\(\vert 2x - 3\vert = 2x - 3\)；当\(x < \frac{3}{2}\)时，\(\vert 2x - 3\vert = -(2x - 3)=3 - 2x\)。

例2：化简\(\vert x^2 - 4\vert\)，因为\(x^2-4=(x + 2)(x - 2)\)。当\(x \geq 2\)或\(x \leq -2\)时，\(\vert x^2 - 4\vert = x^2 - 4\)；当\(-2 < x < 2\)时，\(\vert x^2 - 4\vert = -(x^2 - 4)=4 - x^2\)。

例3：化简\(\vert \sqrt{x}-1\vert\)（\(x\geq0\)），当\(x \geq 1\)时，\(\vert \sqrt{x}-1\vert=\sqrt{x}-1\)；当\(0\leq x < 1\)时，\(\vert \sqrt{x}-1\vert = 1-\sqrt{x}\)。

例4：化简\(\vert 3 - \frac{1}{x}\vert\)，当\(\frac{1}{x}\leq3\)即\(x \geq \frac{1}{3}\)或\(x < 0\)时，\(\vert 3 - \frac{1}{x}\vert = 3 - \frac{1}{x}\)；当\(\frac{1}{x}>3\)即\(0 < x < \frac{1}{3}\)时，\(\vert 3 - \frac{1}{x}\vert=\frac{1}{x}-3\)。

例5：化简\(\vert x - 1\vert+\vert x + 2\vert\)。

当\(x \geq 1\)时，原式\(=(x - 1)+(x + 2)=2x + 1\)。

当\(-2 < x < 1\)时，原式\(=(1 - x)+(x + 2)=3\)。

当\(x \leq -2\)时，原式\(=(1 - x)-(x + 2)=-2x - 1\)。

2. 绝对值方程求解

例6：解方程\(\vert x\vert = 5\)，解得\(x = 5\)或\(x = -5\)。

例7：解方程\(\vert 2x - 1\vert = 3\)。

当\(2x - 1 = 3\)时，\(2x = 4\)，解得\(x = 2\)。

当\(2x - 1=-3\)时，\(2x=-2\)，解得\(x=-1\)。

例8：解方程\(\vert x^2 - 1\vert = 3\)。

当\(x^2 - 1 = 3\)时，\(x^2 = 4\)，解得\(x = 2\)或\(x = -2\)。

当\(x^2 - 1=-3\)时，\(x^2=-2\)（无实数解）。

例9：解方程\(\vert x - 1\vert+\vert x - 2\vert = 3\)。

当\(x \geq 2\)时，\((x - 1)+(x - 2)=3\)，\(2x - 3 = 3\)，解得\(x = 3\)。

当\(1 < x < 2\)时，\((x - 1)+(2 - x)=3\)，\(1 = 3\)（无解）。

当\(x \leq 1\)时，\((1 - x)+(2 - x)=3\)，\(-2x + 3 = 3\)，解得\(x = 0\)。

例10：解方程\(\vert \frac{x - 1}{x + 1}\vert = 2\)。

当\(\frac{x - 1}{x + 1}=2\)时，\(x - 1 = 2(x + 1)\)，\(x - 1 = 2x + 2\)，解得\(x=-3\)。

当\(\frac{x - 1}{x + 1}=-2\)时，\(x - 1=-2(x + 1)\)，\(x - 1=-2x - 2\)，解得\(x = -\frac{1}{3}\)。

3. 绝对值不等式求解

例11：解不等式\(\vert x\vert < 3\)，解得\(-3 < x < 3\)。

例12：解不等式\(\vert 2x - 1\vert \geq 5\)。

当\(2x - 1 \geq 5\)时，\(2x \geq 6\)，解得\(x \geq 3\)。

当\(2x - 1 \leq -5\)时，\(2x \leq -4\)，解得\(x \leq -2\)。

例13：解不等式\(\vert x^2 - 4\vert < 5\)。

当\(-5 < x^2 - 4 < 5\)时，先解\(x^2 - 4 > -5\)，\(x^2 > -1\)（\(x\)为全体实数）；再解\(x^2 - 4 < 5\)，\(x^2 < 9\)，解得\(-3 < x < 3\)。

例14：解不等式\(\vert x - 1\vert+\vert x - 2\vert < 4\)。

当\(x \geq 2\)时，\((x - 1)+(x - 2)<4\)，\(2x - 3 < 4\)，\(2x < 7\)，解得\(x < \frac{7}{2}\)，所以\(2\leq x < \frac{7}{2}\)。

当\(1 < x < 2\)时，\((x - 1)+(2 - x)<4\)，\(1 < 4\)（恒成立），所以\(1 < x < 2\)。

当\(x \leq 1\)时，\((1 - x)+(2 - x)<4\)，\(-2x + 3 < 4\)，\(-2x < 1\)，解得\(x > -\frac{1}{2}\)，所以\(-\frac{1}{2} < x \leq 1\)。

例15：解不等式\(\vert \frac{1}{x}\vert > 2\)。

当\(\frac{1}{x}>2\)时，\(0 < x < \frac{1}{2}\)；当\(\frac{1}{x}<-2\)时，\(x < -\frac{1}{2}\)且\(x\neq0\)。

4. 含有绝对值的函数问题

例16：已知函数\(y=\vert x + 1\vert - \vert x - 1\vert\)，求函数的值域。

当\(x \geq 1\)时，\(y=(x + 1)-(x - 1)=2\)。

当\(-1 < x < 1\)时，\(y=(x + 1)-(1 - x)=2x\)，此时\(-2 < y < 2\)。

当\(x \leq -1\)时，\(y=-(x + 1)-(1 - x)=-2\)。所以函数的值域是\([-2,2]\)。

例17：画出函数\(y = \vert x^2 - 2x - 3\vert\)的图象。

先求\(y = x^2 - 2x - 3=(x - 3)(x + 1)\)的零点为\(x = -1\)和\(x = 3\)。

当\(x \leq -1\)或\(x \geq 3\)时，\(y = x^2 - 2x - 3\)；当\(-1 < x < 3\)时，\(y = -(x^2 - 2x - 3)=-x^2 + 2x + 3\)。然后分别画出这两段函数的图象。

例18：已知函数\(y = \vert x - a\vert\)（\(a\)为常数），若函数在区间\([1,3]\)上的最小值为\(1\)，求\(a\)的值。

当\(a \leq 1\)时，\(y = x - a\)在\([1,3]\)上单调递增，最小值为\(y(1)=\vert 1 - a\vert = 1 - a\)，由\(1 - a = 1\)，解得\(a = 0\)。

当\(a \geq 3\)时，\(y = a - x\)在\([1,3]\)上单调递减，最小值为\(y(3)=\vert 3 - a\vert = a - 3\)，由\(a - 3 = 1\)，解得\(a = 4\)。

当\(1 < a < 3\)时，\(y\)在\(x = a\)处取得最小值\(0\)（不符合题意）。

5. 绝对值在几何中的应用

例19：在数轴上，点\(A\)对应的数为\(x\)，点\(B\)对应的数为\(3\)，已知\(\vert x - 3\vert = 5\)，求\(x\)的值。根据数轴上两点间距离公式，\(\vert x - 3\vert\)表示\(A\)、\(B\)两点间的距离，所以\(x - 3 = 5\)或\(x - 3=-5\)，解得\(x = 8\)或\(x=-2\)。

例20：在平面直角坐标系中，点\(P(x,y)\)，已知\(\vert x - 1\vert+\vert y - 2\vert\)表示点\(P\)到点\(A(1,2)\)的“折线距离”，若\(\vert x - 1\vert+\vert y - 2\vert = 4\)，求点\(P\)的轨迹方程。

当\(x \geq 1\)，\(y \geq 2\)时，\((x - 1)+(y - 2)=4\)，即\(x + y - 7 = 0\)（\(x \geq 1\)，\(y \geq 2\)）。

当\(x \geq 1\)，\(y < 2\)时，\((x - 1)+(2 - y)=4\)，即\(x - y - 3 = 0\)（\(x \geq 1\)，\(y < 2\)）。

当\(x < 1\)，\(y \geq 2\)时，\((1 - x)+(y - 2)=4\)，即\(-x + y - 5 = 0\)（\(x < 1\)，\(y \geq 2\)）。

当\(x < 1\)，\(y < 2\)时，\((1 - x)+(2 - y)=4\)，即\(-x - y - 1 = 0\)（\(x < 1\)，\(y < 2\)）。

数学基础 - 中初数学、高中数学