一、复合函数的定义

设\(y = f(u)\)和\(u = g(x)\)是两个函数，当\(u = g(x)\)的值域包含于\(y = f(u)\)的定义域时，通过\(u\)把\(y\)表示成\(x\)的函数，即\(y = f(g(x))\)，这样的函数称为复合函数。

例如，\(y = \sqrt{u}\)，\(u = x^{2}+1\)，因为\(u = x^{2}+1\)的值域\([1,+\infty)\)包含于\(y=\sqrt{u}\)的定义域\([0,+\infty)\)，所以可以构成复合函数\(y=\sqrt{x^{2}+1}\)。

1. 幂函数与多项式函数复合

示例一：\(y=(x^{2}+1)^{3}\)

可以看作是由\(y = u^{3}\)和\(u = x^{2}+1\)复合而成。对于\(y = u^{3}\)，这是一个幂函数，其单调性和导数等性质比较简单，在\(R\)上单调递增，导数为\(y^{\prime}=3u^{2}\)。\(u = x^{2}+1\)是一个二次多项式函数，它的图像是一个开口向上的抛物线，对称轴为\(x = 0\)，在\((-\infty,0)\)上单调递减，在\((0,+\infty)\)上单调递增。

根据复合函数的单调性“同增异减”原则，复合函数\(y=(x^{2}+1)^{3}\)在\((-\infty,0)\)上单调递减，在\((0,+\infty)\)上单调递增。

示例二：\(y=(2x - 3)^{4}\)

由\(y = u^{4}\)和\(u = 2x - 3\)复合。\(y = u^{4}\)是幂函数，在\(R\)上单调递增（\(u\geq0\)时），\(u = 2x - 3\)是一次函数，斜率为\(2\)，在\(R\)上单调递增。所以复合函数\(y=(2x - 3)^{4}\)在\(R\)上单调递增。

2. 指数函数与多项式函数复合

示例一：\(y = e^{x^{2}}\)

由\(y = e^{u}\)和\(u = x^{2}\)复合。\(y = e^{u}\)是指数函数，在\(R\)上单调递增，其导数为\(y^{\prime}=e^{u}\)。\(u = x^{2}\)是二次函数，在\((-\infty,0)\)上单调递减，在\((0,+\infty)\)上单调递增。

因此，复合函数\(y = e^{x^{2}}\)在\((-\infty,0)\)上单调递减，在\((0,+\infty)\)上单调递增。并且，根据复合函数求导法则，\(y^{\prime}=e^{x^{2}}\cdot2x\)。

示例二：\(y = 2^{3x - 1}\)

由\(y = 2^{u}\)和\(u = 3x - 1\)复合。\(y = 2^{u}\)单调递增，\(u = 3x - 1\)单调递增，所以复合函数\(y = 2^{3x - 1}\)在\(R\)上单调递增。其导数为\(y^{\prime}=2^{3x - 1}\ln2\cdot3\)。

3. 对数函数与多项式函数复合

示例一：\(y=\ln(x^{2}+1)\)

由\(y=\ln u\)和\(u = x^{2}+1\)复合。\(y=\ln u\)在\((0,+\infty)\)上单调递增，\(u = x^{2}+1\)的值域为\([1,+\infty)\)，且在\((-\infty,0)\)上单调递减，在\((0,+\infty)\)上单调递增。

所以复合函数\(y=\ln(x^{2}+1)\)在\((-\infty,0)\)上单调递减，在\((0,+\infty)\)上单调递增。其导数为\(y^{\prime}=\frac{2x}{x^{2}+1}\)。

示例二：\(y=\log_{2}(3x - 2)\)

由\(y=\log_{2}u\)和\(u = 3x - 2\)复合。\(y=\log_{2}u\)在\((0,+\infty)\)上单调递增，\(u = 3x - 2\)单调递增，且\(u = 3x - 2>0\)时\(x>\frac{2}{3}\)，所以复合函数\(y=\log_{2}(3x - 2)\)在\((\frac{2}{3},+\infty)\)上单调递增。其导数为\(y^{\prime}=\frac{3}{(3x - 2)\ln2}\)。

4. 三角函数与多项式函数复合

示例一：\(y=\sin(2x + \frac{\pi}{3})\)

由\(y=\sin u\)和\(u = 2x+\frac{\pi}{3}\)复合。\(y=\sin u\)是周期函数，周期为\(2\pi\)，在\([-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi](k\in Z)\)上单调递增，在\([\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi](k\in Z)\)上单调递减。\(u = 2x+\frac{\pi}{3}\)是一次函数，单调递增。

对于复合函数\(y=\sin(2x + \frac{\pi}{3})\)，令\(2x+\frac{\pi}{3}=t\)，当\(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq t\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi\)，即\(-\frac{5\pi}{12}+k\pi\leq x\leq\frac{\pi}{12}+k\pi(k\in Z)\)时单调递增；当\(\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq t\leq\frac{3\pi}{2}+2k\pi\)，即\(\frac{\pi}{12}+k\pi\leq x\leq\frac{7\pi}{12}+k\pi(k\in Z)\)时单调递减。其导数为\(y^{\prime}=2\cos(2x+\frac{\pi}{3})\)。

示例二：\(y=\cos(x^{2}-1)\)

由\(y=\cos u\)和\(u = x^{2}-1\)复合。\(y=\cos u\)在\([2k\pi,2k\pi+\pi](k\in Z)\)上单调递减，在\([2k\pi+\pi,2k\pi + 2\pi](k\in Z)\)上单调递增。\(u = x^{2}-1\)在\((-\infty,0)\)上单调递减，在\((0,+\infty)\)上单调递增。

复合函数\(y=\cos(x^{2}-1)\)的单调性较为复杂，需要分区间讨论。其导数为\(y^{\prime}=-2x\sin(x^{2}-1)\)。

二、复合函数的定义域

若函数\(y = f(u)\)的定义域是\(B\)，\(u = g(x)\)的定义域是\(A\)，则复合函数\(y = f(g(x))\)的定义域是\(D=\{x|x\in A,且g(x)\in B\}\)，即取两个函数定义域的交集.

定义域：求复合函数\(y = f(g(x))\)的定义域，需要先考虑\(g(x)\)的定义域，然后根据\(g(x)\)的值域与\(f(u)\)定义域的关系来确定。

例如，对于\(y=\sqrt{x - 1}\)，令\(u = x - 1\)，\(y=\sqrt{u}\)，\(y=\sqrt{u}\)的定义域是\(u\geq0\)，即\(x - 1\geq0\)，所以\(y=\sqrt{x - 1}\)的定义域是\([1,+\infty)\)。

三、复合函数的值域

求复合函数的值域时，既要考虑内函数的值域，又要兼顾外函数的定义域.

先求出\(g(x)\)的值域，再将其作为\(f(u)\)的输入，求出\(f(g(x))\)的值域。

例如，对于\(y=\cos(x^{2})\)，\(u = x^{2}\)的值域是\([0,+\infty)\)，而\(y=\cos u\)在\(u\in[0,+\infty)\)时的值域是\([-1,1]\)，所以\(y=\cos(x^{2})\)的值域是\([-1,1]\)。

四、复合函数的分解

对于一个复杂的复合函数，通常可以将其分解为多个简单函数。例如，对于函数\(y = \sin^{2}(3x + 1)\)，可以分解为\(y = u^{2}\)，\(u=\sin v\)，\(v = 3x+1\)这三个简单函数的复合。这种分解有助于我们分析函数的性质，如单调性、奇偶性等。

五、复合函数的单调性

根据“同增异减”原则。即当内层函数\(g(x)\)和外层函数\(f(u)\)同时单调递增或者同时单调递减时，复合函数\(y = f(g(x))\)单调递增；当内层函数\(g(x)\)单调递增，外层函数\(f(u)\)单调递减或者内层函数\(g(x)\)单调递减，外层函数\(f(u)\)单调递增时，复合函数\(y = f(g(x))\)单调递减。

例如，对于\(y = \sqrt{x^{2}+1}\)，令\(u = x^{2}+1\)，\(y=\sqrt{u}\)。\(u = x^{2}+1\)在\((-\infty,0)\)上单调递减，在\((0,+\infty)\)上单调递增，\(y=\sqrt{u}\)单调递增。所以\(y = \sqrt{x^{2}+1}\)在\((-\infty,0)\)上单调递减，在\((0,+\infty)\)上单调递增。

设函数\(u = g(x)\)在区间\(M\)上有意义，函数\(y = f(u)\)在区间\(N\)上有意义，且当\(x\in M\)时，\(u\in N\)，则有以下四种情况 ：

若\(u = g(x)\)在\(M\)上是增函数，\(y = f(u)\)在\(N\)上是增函数，则\(y = f(g(x))\)在\(M\)上也是增函数；

若\(u = g(x)\)在\(M\)上是增函数，\(y = f(u)\)在\(N\)上是减函数，则\(y = f(g(x))\)在\(M\)上也是减函数；

若\(u = g(x)\)在\(M\)上是减函数，\(y = f(u)\)在\(N\)上是增函数，则\(y = f(g(x))\)在\(M\)上也是减函数；

若\(u = g(x)\)在\(M\)上是减函数，\(y = f(u)\)在\(N\)上是减函数，则\(y = f(g(x))\)在\(M\)上也是增函数。

可总结为“同增异减”原则.

六、复合函数的奇偶性

若\(u = g(x)\)为奇函数，\(y = f(u)\)为奇函数，则复合函数\(y = f(g(x))\)为奇函数；

若\(u = g(x)\)为奇函数，\(y = f(u)\)为偶函数，则复合函数\(y = f(g(x))\)为偶函数；

若\(u = g(x)\)为偶函数，\(y = f(u)\)有意义，则复合函数\(y = f(g(x))\)必为偶函数.

七、复合函数的连续性

如果函数\(y = f(u)\)在点\(u_{0}\)连续，函数\(u = g(x)\)在点\(x_{0}\)连续，且\(u_{0}=g(x_{0})\)，那么复合函数\(y = f(g(x))\)在点\(x_{0}\)连续。

例如，\(y=\sin(x^{2})\)，因为\(y=\sin u\)在\(R\)上连续，\(u = x^{2}\)在\(R\)上连续，所以\(y=\sin(x^{2})\)在\(R\)上连续。

八、复合函数的周期性

若函数\(u = g(x)\)是\(R\)上的周期函数，\(u\in M\)，\(f(u)\)在\(M\)上有定义，则\(f(g(x))\)也是\(R\)上的周期函数 。

但外函数为周期函数时，复合函数未必是周期函数，例如\(y = \lg\sin x\)在定义域内是周期函数，但\(y=\sin(\lg x)\)不是周期函数.

九、复合函数的结合性

对于三个函数\(f\)，\(g\)，\(h\)，有\(f(g(h(x)))=(f\circ g)\circ h(x)=f\circ(g\circ h)(x)\)，即复合函数具有结合性.

十、复合函数的不可交换性

一般情况下，函数的复合不具有交换性，即\(f(g(x))\neq g(f(x))\)，除非在某些特殊情况下.

十一、复合函数的导数（链式法则）

若\(y = f(u)\)，\(u = g(x)\)，且\(y\)关于\(u\)可导，\(u\)关于\(x\)可导，那么复合函数\(y = f(g(x))\)关于\(x\)的导数为\(y^{\prime}=f^{\prime}(g(x))\cdot g^{\prime}(x)\)。

例如，对于\(y=(x^{2}+1)^{3}\)，令\(u = x^{2}+1\)，\(y = u^{3}\)，则\(y^{\prime}=3u^{2}\cdot2x = 3(x^{2}+1)^{2}\cdot2x\)。

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