函数 03 函数图像绕点旋转（仅供参考）

一、二维平面中绕原点旋转的坐标变换规则

逆时针旋转\(θ\)角度

设平面直角坐标系中有一点\(P(x,y)\)，将其绕原点逆时针旋转\(θ\)角度后得到点\(P'(x',y')\)。

根据三角函数的知识，我们可以得到以下坐标变换公式：

\(x' = x\cosθ - y\sinθ\)

\(y' = x\sinθ + y\cosθ\)

例如，当\(θ = 90^{\circ}\)（\(\frac{\pi}{2}\)弧度）时，\(\cosθ = 0\)，\(\sinθ = 1\)，则\(x'=-y\)，\(y' = x\)，这与前面提到的绕原点逆时针旋转\(90^{\circ}\)的坐标变换规则一致。

当\(θ = 180^{\circ}\)（\(\pi\)弧度）时，\(\cosθ=- 1\)，\(\sinθ = 0\)，所以\(x'=-x\)，\(y'=-y\)。

当\(θ = 270^{\circ}\)（\(\frac{3\pi}{2}\)弧度）时，\(\cosθ = 0\)，\(\sinθ=-1\)，则\(x' = y\)，\(y'=-x\)。

顺时针旋转\(θ\)角度

若将点\(P(x,y)\)绕原点顺时针旋转\(θ\)角度后得到点\(P'(x',y')\)，则坐标变换公式为：

\(x' = x\cosθ + y\sinθ\)

\(y'=-x\sinθ + y\cosθ\)

例如，当\(θ = 90^{\circ}\)（\(\frac{\pi}{2}\)弧度）时，\(\cosθ = 0\)，\(\sinθ = 1\)，此时\(x' = y\)，\(y'=-x\)，这与逆时针旋转\(270^{\circ}\)的结果相同，因为顺时针旋转\(90^{\circ}\)和逆时针旋转\(270^{\circ}\)的最终位置是一样的。

二、三维空间中的旋转坐标变换规则（绕坐标轴旋转）

绕\(x\)轴旋转\(θ\)角度（右手定则确定旋转方向）

设空间中有一点\(P(x,y,z)\)，绕\(x\)轴旋转\(θ\)角度后得到点\(P'(x',y',z')\)。坐标变换公式为：

\(x' = x\)

\(y' = y\cosθ - z\sinθ\)

\(z' = y\sinθ + z\cosθ\)

绕\(y\)轴旋转\(θ\)角度（右手定则确定旋转方向）

对于点\(P(x,y,z)\)，绕\(y\)轴旋转\(θ\)角度后得到点\(P'(x',y',z')\)。坐标变换公式为：

\(x' = x\cosθ + z\sinθ\)

\(y' = y\)

\(z'=-x\sinθ + z\cosθ\)

绕\(z\)轴旋转\(θ\)角度（右手定则确定旋转方向）

若点\(P(x,y,z)\)绕\(z\)轴旋转\(θ\)角度后得到点\(P'(x',y',z')\)。坐标变换公式为：

\(x' = x\cosθ - y\sinθ\)

\(y' = x\sinθ + y\cosθ\)

\(z' = z\)

三、函数图象绕原点（0,0）旋转

1. 一般函数\(y = f(x)\)绕原点逆时针旋转\(90^{\circ}\)后的函数图象推导

设原函数\(y = f(x)\)图象上一点\((x,y)\)，绕原点逆时针旋转\(90^{\circ}\)后得到点\((x',y')\)，根据前面提到的旋转坐标变换规则，\(x'=-y\)，\(y' = x\)，即\(x = y'\)，\(y=-x'\)。

因为\((x,y)\)在\(y = f(x)\)上，所以\(y = f(x)\)可变为\(-x'=f(y')\)，那么旋转后的函数为\(y=-f^{-1}(x)\)（这里\(f^{-1}(x)\)表示\(f(x)\)的反函数）。

例如，对于函数\(y = 2x + 1\)，先求出它的反函数，令\(y = 2x+1\)，则\(x=\frac{y - 1}{2}\)，即反函数为\(y=\frac{x - 1}{2}\)。绕原点逆时针旋转\(90^{\circ}\)后的函数为\(y =-\frac{x - 1}{2}\)。

2. 一般函数\(y = f(x)\)绕原点逆时针旋转\(180^{\circ}\)后的函数图象推导

设原函数\(y = f(x)\)图象上一点\((x,y)\)，绕原点逆时针旋转\(180^{\circ}\)后得到点\((x',y')\)，坐标变换规则为\(x'=-x\)，\(y'=-y\)，即\(x=-x'\)，\(y=-y'\)。

因为\((x,y)\)在\(y = f(x)\)上，所以\(-y'=f(-x')\)，即旋转后的函数为\(y=-f(-x)\)。

例如，对于函数\(y = x^{2}\)，绕原点逆时针旋转\(180^{\circ}\)后，函数变为\(y=-(-x)^{2}=-x^{2}\)。

3. 一般函数\(y = f(x)\)绕原点逆时针旋转\(270^{\circ}\)后的函数图象推导

设原函数\(y = f(x)\)图象上一点\((x,y)\)，绕原点逆时针旋转\(270^{\circ}\)后得到点\((x',y')\)，坐标变换规则为\(x' = y\)，\(y'=-x\)，即\(x=-y'\)，\(y = x'\)。

因为\((x,y)\)在\(y = f(x)\)上，所以\(x'=f(-y')\)，那么旋转后的函数为\(y = f^{-1}(-x)\)。

例如，对于函数\(y=\sqrt{x}\)（\(x\geqslant0\)），其反函数为\(y = x^{2}(x\geqslant0)\)。绕原点逆时针旋转\(270^{\circ}\)后的函数为\(y=(-x)^{2}=x^{2}(x\leqslant0)\)。

四、绕点\((a,b)\)旋转

1. 绕点\((a,b)\)旋转的基本思路

当函数图象绕点\((a,b)\)旋转时，我们可以先将函数图象上的点的坐标进行平移，使得\((a,b)\)成为新的坐标原点。然后按照绕原点旋转的规则进行旋转，最后再将坐标平移回原来的位置。

2. 以绕点\((a,b)\)逆时针旋转\(90^{\circ}\)为例进行详细推导

平移步骤：设函数\(y = f(x)\)图象上的一点为\((x,y)\)，先将其平移，令\(x_1=x - a\)，\(y_1=y - b\)，此时点\((x_1,y_1)\)相对于点\((a,b)\)为新的坐标原点。

旋转步骤：按照绕原点逆时针旋转\(90^{\circ}\)的规则，此时\(x_1\)和\(y_1\)旋转后的坐标\(x_2\)和\(y_2\)满足\(x_2=-y_1\)，\(y_2 = x_1\)，即\(x_2=-(y - b)\)，\(y_2=(x - a)\)。

还原步骤：最后再将坐标平移回原来的位置，得到旋转后的坐标\((x',y')\)，其中\(x'=x_2 + a\)，\(y'=y_2 + b\)。将\(x_2\)和\(y_2\)代入可得\(x'=-(y - b)+a\)，\(y'=(x - a)+b\)。

因为\((x,y)\)在\(y = f(x)\)上，经过上述变换后，对于旋转后的函数图象上的点\((x',y')\)，可以通过一系列代换得到旋转后的函数表达式。

例如，设函数\(y = x + 1\)，绕点\((1,1)\)逆时针旋转\(90^{\circ}\)。设\((x,y)\)是\(y = x + 1\)上的点，先平移得到\(x_1=x - 1\)，\(y_1=y - 1\)。旋转后\(x_2=-(y_1)=-(y - 1)\)，\(y_2=x_1=(x - 1)\)。再平移回原来位置\(x'=x_2 + 1=-(y - 1)+1=-y + 2\)，\(y'=y_2 + 1=(x - 1)+1=x\)，所以旋转后的函数为\(y=-x + 2\)。