\(y = x^a\)：\(a < 0\)，\(a=-\frac{p}{q}=-\frac{奇数}{奇数}\)，\(y = x^{-\frac{3}{5}}\)，\(y = x^{-\frac{3}{1}}\)

一、定义域

对于幂函数\(y = x^a\)，当\(a = -\frac{p}{q}=-\frac{奇数}{奇数}\)时，其定义域为\(\{x|x \neq 0\}\)。

此类幂函数涉及到分数幂形式，\(x^{-\frac{p}{q}}=\frac{1}{x^{\frac{p}{q}}}\)（\(\frac{p}{q}=\frac{奇数}{奇数}\)），若\(x = 0\)，则函数无定义。

例如，\(x^{-\frac{3}{5}}=\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}=\frac{1}{\sqrt[5]{x^3}}\)，\(x^{-\frac{3}{1}}=\frac{1}{x^3}\)，在\(x = 0\)时分母为\(0\)，所以\(x\)不能取\(0\)这个值。

二、值域

值域为\(\{y|y \neq 0\}\)，也就是除\(0\)以外的全体实数。

三、单调性

这类幂函数在\((-\infty, 0)\)和\((0, +\infty)\)这两个区间上分别具有单调性。

对\(y = x^{-\frac{p}{q}}\)（\(a = -\frac{p}{q}=-\frac{奇数}{奇数}\)）求导，可得\(y^\prime = -\frac{p}{q}x^{-\frac{p}{q}-1}\)。

当\(x > 0\)时，\(y^\prime < 0\)，说明函数在\((0, +\infty)\)上单调递减；当\(x < 0\)时，同样\(y^\prime < 0\)，函数在\((-\infty, 0)\)上也单调递减。

四、奇偶性

这类幂函数都是偶函数。

设\(f(x) = x^{-\frac{p}{q}}\)（\(a = -\frac{p}{q}=-\frac{奇数}{奇数}\)），则\(f(-x) = (-x)^{-\frac{p}{q}} = (-1)^{-\frac{p}{q}}x^{-\frac{p}{q}}\)。

因为\(-\frac{p}{q}=-\frac{奇数}{奇数}\)，\((-1)^{-\frac{p}{q}} = (-1)^{-奇数/奇数} = 1\)（根据负数的负奇数次幂的倒数性质），所以\(f(-x) = x^{-\frac{p}{q}} = f(x)\)，满足偶函数的定义，即函数图像关于\(y\)轴对称。

五、图像特征

1. 渐近线：

这类幂函数的图像都有渐近线，\(x = 0\)（\(y\)轴）和\(y = 0\)（\(x\)轴）是它们的渐近线。

因为当\(x\)趋近于\(0\)时，函数值\(y\)会趋近于正无穷或负无穷（取决于\(x\)趋近于\(0\)的方向）；而当\(x\)趋近于正无穷或负无穷时，\(y\)趋近于\(0\)，所以图像会无限靠近但不与坐标轴相交，形成渐近的效果。

2. 整体形状与对称性：

由于是偶函数，图像关于\(y\)轴对称。在\(y\)轴两侧，函数在各自区间\((-\infty, 0)\)和\((0, +\infty)\)上单调递减且形状相似，呈现出一种在坐标轴附近“弯曲”并向两边延伸，同时趋近于渐近线的形态。不同的指数会使图像的“弯曲”程度等细节有所差异，例如\(y = x^{-\frac{3}{5}}\)与\(y = x^{-\frac{3}{1}}\)相比，在靠近原点附近的“弯曲”情况会不一样，\(y = x^{-\frac{3}{1}}\)相对更“陡峭”一些，也就是趋近于坐标轴的速度更快一点（从图像与坐标轴的靠近程度角度来看）。

\(y = x^a\)：\(a < 0\)，\(a=-\frac{p}{q}=-\frac{偶数}{奇数}\)，\(y = x^{-\frac{2}{3}}\)，\(y = x^{-\frac{2}{1}}\)

一、定义域

对于幂函数\(y = x^a\)，当\(a = -\frac{p}{q}=-\frac{偶数}{奇数}\)时，其定义域为\(\{x|x \neq 0\}\)。这是因为此类幂函数涉及到分数幂形式，若\(x = 0\)，像\(x^{-\frac{p}{q}}=\frac{1}{x^{\frac{p}{q}}}\)（\(\frac{p}{q}=\frac{偶数}{奇数}\)）会出现分母为\(0\)的情况，导致函数无定义。

例如，\(x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\)，\(x^{-\frac{2}{1}}=\frac{1}{x^2}\)，在\(x = 0\)时都无法进行相应运算，所以\(x\)不能取\(0\)值。

二、值域

值域是\(\{y|y > 0\}\)，也就是函数值恒大于\(0\)。因为对于任意非零的\(x\)，先进行\(x^{\frac{p}{q}}\)（\(\frac{p}{q}=\frac{偶数}{奇数}\)）运算，得到的结果再取倒数，由于偶数次幂保证了\(x^{\frac{p}{q}}\)的值非负（\(x \neq 0\)），取倒数后就得到正值。

三、单调性

这类幂函数在\((-\infty, 0)\)和\((0, +\infty)\)这两个区间上分别具有单调性。

对\(y = x^{-\frac{p}{q}}\)（\(a = -\frac{p}{q}=-\frac{偶数}{奇数}\)）求导，可得\(y^\prime = -\frac{p}{q}x^{-\frac{p}{q}-1}\)。

当\(x > 0\)时，\(y^\prime < 0\)，表明函数在\((0, +\infty)\)上单调递减；当\(x < 0\)时，\(y^\prime < 0\)，意味着函数在\((-\infty, 0)\)上同样单调递减。

四、奇偶性

这类幂函数都是偶函数。

设\(f(x) = x^{-\frac{p}{q}}\)（\(a = -\frac{p}{q}=-\frac{偶数}{奇数}\)），则\(f(-x) = (-x)^{-\frac{p}{q}} = (-1)^{-\frac{p}{q}}x^{-\frac{p}{q}}\)。

因为\(-\frac{p}{q}=-\frac{偶数}{奇数}\)，\((-1)^{-\frac{p}{q}} = (-1)^{-偶数/奇数} = 1\)（根据负数的负偶数次幂的倒数性质），所以\(f(-x) = x^{-\frac{p}{q}} = f(x)\)，满足偶函数的定义，即函数图像关于\(y\)轴对称。

五、图像特征

1. 渐近线：

\(x = 0\)（\(y\)轴）是这类幂函数的渐近线。因为当\(x\)趋近于\(0\)时，函数值\(y\)会趋近于正无穷，所以图像会无限靠近\(y\)轴但不与之相交。

此外，\(y = 0\)（\(x\)轴）也是渐近线的一种体现，当\(x\)趋近于正无穷或负无穷时，\(y\)趋近于\(0\)，图像会从两侧逐渐向\(x\)轴靠近，但永远不会与之重合。

2. 整体形状与对称性：

由于是偶函数，图像关于\(y\)轴对称。在\(y\)轴两侧，函数在各自区间\((-\infty, 0)\)和\((0, +\infty)\)上单调递减且形状相似，呈现出一种在坐标轴附近“弯曲”并向两边延伸，同时趋近于渐近线的形态。不同的指数会使图像的“弯曲”程度等细节有所差异，例如\(y = x^{-\frac{2}{3}}\)与\(y = x^{-\frac{2}{1}}\)相比，在靠近原点附近的“弯曲”情况不一样，\(y = x^{-\frac{2}{1}}\)相对更“平缓”一些（从函数值随\(x\)变化的速率角度来看），而\(y = x^{-\frac{2}{3}}\)的图像在靠近原点处下降得相对更快一点。

\(y = x^a\)：\(a < 0\)，\(a=-\frac{p}{q}=-\frac{奇数}{偶数}\)，\(y = x^{-\frac{3}{2}}\)，\(y = x^{-\frac{1}{2}}\)

一、定义域

对于幂函数\(y = x^a\)，当\(a = -\frac{p}{q}=-\frac{奇数}{偶数}\)时，其定义域为\(\{x|x > 0\}\)。这是因为此类幂函数涉及到分数幂形式，具体为\(x^{-\frac{p}{q}}=\frac{1}{x^{\frac{p}{q}}}\)（\(\frac{p}{q}=\frac{奇数}{偶数}\)），其中\(x^{\frac{p}{q}}\)相当于先对\(x\)进行开偶数次方运算，而在实数范围内，开偶数次方时被开方数必须非负，又因为分母不能为\(0\)，所以\(x\)只能取大于\(0\)的实数。

例如，\(x^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{x^3}}\)，\(x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}\)，只有\(x > 0\)时这些运算才有意义。

二、值域

值域是\(\{y|y > 0\}\)，即函数值恒大于\(0\)。因为对于定义域内的任意正数\(x\)，先进行\(x^{\frac{p}{q}}\)（\(\frac{p}{q}=\frac{奇数}{偶数}\)）运算，得到的结果再取倒数，由于开偶数次方保证了\(x^{\frac{p}{q}}\)的值大于\(0\)（\(x > 0\)），取倒数后依然大于\(0\)。

三、单调性

这类幂函数在其定义域\((0, +\infty)\)上是单调递减的。

对\(y = x^{-\frac{p}{q}}\)（\(a = -\frac{p}{q}=-\frac{奇数}{偶数}\)）求导，可得\(y^\prime = -\frac{p}{q}x^{-\frac{p}{q}-1}\)。

当\(x\)在\((0, +\infty)\)内时，\(y^\prime < 0\)，这表明函数在该区间上单调递减。

四、奇偶性

这类幂函数的定义域不关于原点对称（定义域为\(x > 0\)），所以既不是奇函数也不是偶函数。

因为奇函数或偶函数的定义要求定义域关于原点对称，而对于\(y = x^{-\frac{p}{q}}\)（\(a = -\frac{p}{q}=-\frac{奇数}{偶数}\)），其定义域只包含正数部分，不满足这个对称条件，也就不存在奇偶性一说。

五、图像特征

1. 渐近线：

\(x = 0\)（\(y\)轴）和\(y = 0\)（\(x\)轴）是这类幂函数的渐近线。

当\(x\)趋近于\(0\)（从右侧趋近，因为定义域是\(x > 0\)）时，函数值\(y\)会趋近于正无穷，所以图像会无限靠近\(y\)轴但不与之相交；而当\(x\)趋近于正无穷时，\(y\)趋近于\(0\)，图像会从上方逐渐向\(x\)轴靠近，但永远不会与之重合。

2. 整体形状与对称性：

由于定义域的限制以及函数的单调性，图像位于第一象限，从左向右逐渐下降且趋近于坐标轴，呈现出一种“弯曲”向下并向坐标轴靠近的形态。不同的指数会使图像的“弯曲”程度等细节有所差异，例如\(y = x^{-\frac{3}{2}}\)与\(y = x^{-\frac{1}{2}}\)相比，在靠近原点附近，\(y = x^{-\frac{3}{2}}\)下降得相对更快一些，也就是图像更“陡峭”一点（从函数值随\(x\)变化的速率角度来看），而\(y = x^{-\frac{1}{2}}\)的图像相对更“平缓”些。

\(y = x^a\)：\(0 < a < 1\)，\(a=\frac{p}{q}=\frac{奇数}{奇数}\)，\(y = x^{\frac{1}{3}}\)，\(y = x^{\frac{3}{5}}\)

一、定义域

对于此类幂函数，其定义域为\(R\)（全体实数集）。

因为当\(a = \frac{p}{q}=\frac{奇数}{奇数}\)时，不管\(x\)取正值、负值还是\(0\)，进行相应的幂运算都是有意义的。例如在\(y = x^{\frac{1}{3}}\)中，就是对\(x\)进行开三次方运算，对于任意实数\(x\)都能得到确定的结果；同样，对于\(y = x^{\frac{3}{5}}\)，是先对\(x\)进行开五次方运算，再进行三次幂运算，无论\(x\)为何值，都可以顺利完成这些操作，不存在使函数无定义的取值情况。

二、值域

其值域同样是\(R\)（全体实数集）。

由于定义域涵盖了所有实数，当\(x\)取遍整个实数范围时，通过幂运算得到的函数值也能覆盖所有实数。以\(y = x^{\frac{1}{3}}\)为例，当\(x\)取绝对值很大的负数时，\(x^{\frac{1}{3}}\)会是绝对值很大的负数；当\(x\)取绝对值很大的正数时，\(x^{\frac{1}{3}}\)则是绝对值很大的正数，中间也能取到\(0\)以及其他任意实数。对于\(y = x^{\frac{3}{5}}\)也是如此，通过对不同实数\(x\)进行相应运算，函数值可以是正实数、负实数或者\(0\)，能取遍整个实数范围。

三、单调性

1. 整体单调递增性：

这类幂函数在整个定义域\(R\)上是单调递增的。

从导数的角度来分析，对于幂函数\(y = x^{\frac{p}{q}}\)（\(\frac{p}{q}=\frac{奇数}{奇数}\)），其导数\(y^\prime = \frac{p}{q}x^{\frac{p}{q}-1}\)。因为\(0 < \frac{p}{q} < 1\)（满足\(0 < a < 1\)的条件），且对于任意\(x \neq 0\)，\(x^{\frac{p}{q}-1}\)有确定的值，同时在\(x = 0\)处函数是连续的，所以\(y^\prime > 0\)（\(x \neq 0\)时），这就表明函数在整个定义域\(R\)上单调递增。

例如，对于\(y = x^{\frac{1}{3}}\)，其导数\(y^\prime = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}\)，除\(x = 0\)时\(y^\prime\)分母为\(0\)（但函数在\(x = 0\)处依然连续）外，在其他情况下\(y^\prime > 0\)，随着\(x\)从负无穷增大到正无穷，函数值持续增大；对于\(y = x^{\frac{3}{5}}\)，导数\(y^\prime=\frac{3}{5}x^{-\frac{2}{5}}=\frac{3}{5 \sqrt[5]{x^{2}}}\)，同样\(x \neq 0\)时\(y^\prime > 0\)，在整个定义域上呈现单调递增的态势。

2. 不同函数间的变化速率差异：

虽然它们都单调递增，但由于指数\(\frac{p}{q}\)不同，函数值随\(x\)变化的速率有所不同。

比较\(y = x^{\frac{1}{3}}\)和\(y = x^{\frac{3}{5}}\)，当\(x\)的值逐渐增大（或减小）时，\(y = x^{\frac{3}{5}}\)的函数值变化相对更快一些，也就是其图像会比\(y = x^{\frac{1}{3}}\)的图像“更陡峭”一点。

例如，当\(x\)从\(1\)增大到\(8\)时，\(y = x^{\frac{1}{3}}\)从\(1^{\frac{1}{3}} = 1\)增大到\(8^{\frac{1}{3}} = 2\)；而\(y = x^{\frac{3}{5}}\)从\(1^{\frac{3}{5}} = 1\)增大到\(8^{\frac{3}{5}}=\sqrt[5]{8^{3}}=\sqrt[5]{512}\approx 3.48\)，能明显看出在相同的\(x\)变化区间内，\(y = x^{\frac{3}{5}}\)的函数值增长幅度更大，体现出变化速率的差异。

四、奇偶性

这类幂函数都是奇函数。

对于函数\(y = x^{\frac{p}{q}}\)（\(\frac{p}{q}=\frac{奇数}{奇数}\)），设\(f(x) = x^{\frac{p}{q}}\)，则\(f(-x) = (-x)^{\frac{p}{q}} = (-1)^{\frac{p}{q}}x^{\frac{p}{q}}\)。因为\(\frac{p}{q}=\frac{奇数}{奇数}\)，根据负数的奇数次幂性质，\((-1)^{\frac{p}{q}} = -1\)，所以\(f(-x) = -x^{\frac{p}{q}} = -f(x)\)，满足奇函数的定义，即函数图像关于原点对称。

五、图像特征

由于是奇函数，图像关于原点对称。在\(x > 0\)的区域，函数值随着\(x\)的增大而增大；在\(x < 0\)的区域，函数值随着\(x\)的增大而增大（从负方向趋近于\(0\)或向负无穷变化）。而且不同的指数使得它们的图像在“陡峭”程度等方面有区别，\(y = x^{\frac{3}{5}}\)的图像相对\(y = x^{\frac{1}{3}}\)在远离原点处会显得更“挺拔”，也就是变化更剧烈一些，这与前面提到的函数值变化速率的差异相对应。

\(y = x^a\)：\(0 < a < 1\)，\(a=\frac{p}{q}=\frac{偶数}{奇数}\)，\(y = x^{\frac{2}{5}}\)，\(y = x^{\frac{2}{3}}\)

一、定义域

对于此类幂函数，其定义域为\(R\)（全体实数集）。

因为当\(a = \frac{p}{q}=\frac{偶数}{奇数}\)时，对于任意实数\(x\)，先进行开\(q\)次方（\(q\)为奇数）运算，再进行\(p\)次幂（\(p\)为偶数）运算都是有意义的。例如在\(y = x^{\frac{2}{5}}\)中，是先对\(x\)进行开五次方运算，无论\(x\)是正数、负数还是\(0\)，都能得到一个实数结果，然后再进行平方运算，同样可以顺利完成，不会出现无定义的情况；对于\(y = x^{\frac{2}{3}}\)也是如此，先开三次方，再平方，\(x\)取任意实数都能得到相应的函数值。

二、值域

其值域为\(\left[0, +\infty\right)\)。

由于指数\(a\)中分子\(p\)为偶数，这意味着对于任意实数\(x\)进行幂运算后，结果是非负的。以\(y = x^{\frac{2}{5}}\)为例，不管\(x\)取何值，先开五次方得到的结果再平方必然是非负的；同样对于\(y = x^{\frac{2}{3}}\)，开三次方后再平方，最终的函数值也总是大于等于\(0\)，并且随着\(x\)绝对值的增大，函数值可以取到任意大的非负实数，所以值域是\(\left[0, +\infty\right)\)。

三、单调性

1. 整体单调递增性：

这类幂函数在整个定义域\(R\)上是单调递增的。

对幂函数\(y = x^{\frac{p}{q}}\)（\(\frac{p}{q}=\frac{偶数}{奇数}\)）求导，可得\(y^\prime = \frac{p}{q}x^{\frac{p}{q}-1}\)。因为\(0 < \frac{p}{q} < 1\)（满足给定条件），且对于任意\(x \neq 0\)，\(x^{\frac{p}{q}-1}\)有确定的值，同时在\(x = 0\)处函数是连续的，所以\(y^\prime > 0\)（\(x \neq 0\)时），这表明函数在整个定义域\(R\)上单调递增。

例如，对于\(y = x^{\frac{2}{5}}\)，其导数\(y^\prime = \frac{2}{5}x^{-\frac{3}{5}}=\frac{2}{5 \sqrt[5]{x^{3}}}\)，除\(x = 0\)时\(y^\prime\)分母为\(0\)（但函数在\(x = 0\)处连续）外，在其他情况下\(y^\prime > 0\)，随着\(x\)从负无穷增大到正无穷，函数值持续增大；对于\(y = x^{\frac{2}{3}}\)，导数\(y^\prime=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}=\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}\)，同样\(x \neq 0\)时\(y^\prime > 0\)，在整个定义域上呈现单调递增的态势。

2. 不同函数间的变化速率差异：

虽然它们都单调递增，但由于指数\(\frac{p}{q}\)不同，函数值随\(x\)变化的速率有所不同。

比较\(y = x^{\frac{2}{5}}\)和\(y = x^{\frac{2}{3}}\)，当\(x\)的值逐渐增大（或减小）时，\(y = x^{\frac{2}{3}}\)的函数值变化相对更快一些，也就是其图像会比\(y = x^{\frac{2}{5}}\)的图像“更陡峭”一点。

例如，当\(x\)从\(1\)增大到\(8\)时，\(y = x^{\frac{2}{5}}\)从\(1^{\frac{2}{5}} = 1\)增大到\(8^{\frac{2}{5}}=\sqrt[5]{8^{2}}=\sqrt[5]{64}=2\)；而\(y = x^{\frac{2}{3}}\)从\(1^{\frac{2}{3}} = 1\)增大到\(8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^{2}}=4\)，能明显看出在相同的\(x\)变化区间内，\(y = x^{\frac{2}{3}}\)的函数值增长幅度更大，体现出变化速率的差异。

四、奇偶性

这类幂函数都是偶函数。

设\(f(x) = x^{\frac{p}{q}}\)（\(\frac{p}{q}=\frac{偶数}{奇数}\)），则\(f(-x) = (-x)^{\frac{p}{q}} = (-1)^{\frac{p}{q}}x^{\frac{p}{q}}\)。

因为\(\frac{p}{q}=\frac{偶数}{奇数}\)，根据负数的偶数次幂性质，\((-1)^{\frac{p}{q}} = 1\)，所以\(f(-x) = x^{\frac{p}{q}} = f(x)\)，满足偶函数的定义，即函数图像关于\(y\)轴对称。

五、图像特征

由于是偶函数，图像关于\(y\)轴对称。在\(y\)轴两侧，函数值随着\(x\)绝对值的增大而增大，并且函数在\(x > 0\)和\(x < 0\)时具有相同的变化趋势（因为单调性相同）。同时，不同的指数使得它们的图像在“陡峭”程度等方面有区别，\(y = x^{\frac{2}{3}}\)的图像相对\(y = x^{\frac{2}{5}}\)在远离原点处会显得更“挺拔”，也就是变化更剧烈一些，这与前面提到的函数值变化速率的差异相对应。

\(y = x^a\)：\(0 < a < 1\)，\(a=\frac{p}{q}=\frac{奇数}{偶数}\)，\(y = x^{\frac{1}{2}}\)，\(y = x^{\frac{3}{4}}\)

一、定义域

对于幂函数\(y = x^a\)，当\(a = \frac{p}{q}=\frac{奇数}{偶数}\)时，其定义域为\(\{x|x \geq 0\}\)。这是因为此类幂函数涉及到分数幂形式，具体为\(x^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{x^p}\)（\(\frac{p}{q}=\frac{奇数}{偶数}\)），其中要先对\(x\)进行开\(q\)次方（\(q\)为偶数）运算，在实数范围内，开偶数次方时被开方数必须非负，所以\(x\)只能取大于等于\(0\)的实数。

例如，\(x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\)，\(x^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{x^3}\)，只有\(x \geq 0\)时这些运算才有意义。

二、值域

值域是\(\{y|y \geq 0\}\)，即函数值恒大于等于\(0\)。因为对于定义域内的任意非负实数\(x\)，进行\(x^{\frac{p}{q}}\)（\(\frac{p}{q}=\frac{奇数}{偶数}\)）运算后，结果必然是非负的。

例如，对于\(x^{\frac{1}{2}}\)，开平方根得到的是非负实数；对于\(x^{\frac{3}{4}}\)，先立方再开四次方，最终得到的也是非负实数，并且随着\(x\)在非负范围内取值变化，函数值可以取到\(0\)以及任意大的非负实数。

三、单调性

1. 区间单调性：

这类幂函数在其定义域\([0, +\infty)\)上是单调递增的。

对\(y = x^{\frac{p}{q}}\)（\(a = \frac{p}{q}=\frac{奇数}{偶数}\)）求导，可得\(y^\prime = \frac{p}{q}x^{\frac{p}{q}-1}\)。

当\(x\)在\([0, +\infty)\)内时，\(y^\prime > 0\)，这表明函数在该区间上单调递增。

例如，对于\(y = x^{\frac{1}{2}}\)，其导数\(y^\prime = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)，在\((0, +\infty)\)上，\(y^\prime\)恒大于\(0\)，所以函数在这个区间上单调递增，且\(x = 0\)时函数值最小为\(0\)，随着\(x\)的增大，\(y\)的值也相应增大；对于\(y = x^{\frac{3}{4}}\)，导数\(y^\prime=\frac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}}=\frac{3}{4 \sqrt[4]{x}}\)，在\([0, +\infty)\)上\(y^\prime > 0\)，函数在该区间同样单调递增，比如\(x\)从\(0\)增大到\(1\)时，\(y\)的值也从\(0\)开始逐渐增大。

四、奇偶性

这类幂函数的定义域不关于原点对称（定义域为\(x \geq 0\)），所以既不是奇函数也不是偶函数。

因为奇函数或偶函数的定义要求定义域关于原点对称，而对于\(y = x^{\frac{p}{q}}\)（\(a = \frac{p}{q}=\frac{奇数}{偶数}\)），其定义域只包含非负实数部分，不满足这个对称条件，也就不存在奇偶性一说。

五、图像特征

1. 经过原点及渐近线情况：

图像都经过原点\((0,0)\)，因为当\(x = 0\)时，\(y = 0^{\frac{p}{q}} = 0\)。

\(x = 0\)（\(y\)轴）是其左侧的边界，函数图像只存在于\(y\)轴右侧（包括原点）。并且，当\(x\)趋近于正无穷时，函数值\(y\)也趋近于正无穷，但增长的速率相对较慢（因为\(0 < a < 1\)），图像会逐渐向上延伸，整体呈现出一种从原点开始向右上方平缓上升的形态。

2. 整体形状与对称性：

由于定义域的限制以及函数的单调性，图像位于第一象限（包含原点），从左向右逐渐上升。不同的指数会使图像的“陡峭”程度等细节有所差异，例如\(y = x^{\frac{3}{4}}\)与\(y = x^{\frac{1}{2}}\)相比，在靠近原点附近以及随着\(x\)增大的过程中，\(y = x^{\frac{3}{4}}\)上升得相对更快一些，也就是图像更“陡峭”一点（从函数值随\(x\)变化的速率角度来看），而\(y = x^{\frac{1}{2}}\)的图像相对更“平缓”些。

\(y = x^a\)：\(a > 1\)，\(a=\frac{p}{q}=\frac{奇数}{奇数}\)，\(y = x^{\frac{3}{1}}\)，\(y = x^{\frac{5}{3}}\)

一、定义域

对于此类幂函数，其定义域为\(R\)（全体实数集）。

因为当\(a = \frac{p}{q}=\frac{奇数}{奇数}\)时，不管\(x\)取正值、负值还是\(0\)，进行相应的幂运算都是有意义的。例如在\(y = x^{\frac{3}{1}}\)（即\(y = x^3\)）中，对任意实数\(x\)进行三次幂运算能得到确定的结果；对于\(y = x^{\frac{5}{3}}\)，先对\(x\)进行开三次方运算（开奇数次方对任意实数都可行），再进行五次幂运算，无论\(x\)为何值，都可顺利完成这些操作，不存在使函数无定义的取值情况。

二、值域

其值域同样为\(R\)（全体实数集）。

由于定义域涵盖了所有实数，当\(x\)取遍整个实数范围时，通过幂运算得到的函数值也能覆盖所有实数。以\(y = x^{\frac{3}{1}}\)（即\(y = x^3\)）为例，当\(x\)取绝对值很大的负数时，\(x^3\)会是绝对值很大的负数；当\(x\)取绝对值很大的正数时，\(x^3\)则是绝对值很大的正数，中间也能取到\(0\)以及其他任意实数。对于\(y = x^{\frac{5}{3}}\)也是如此，通过对不同实数\(x\)进行相应运算，函数值可以是正实数、负实数或者\(0\)，能取遍整个实数范围。

三、单调性

1. 整体单调递增性：

这类幂函数在整个定义域\(R\)上是单调递增的。

从导数的角度来分析，对于幂函数\(y = x^{\frac{p}{q}}\)（\(\frac{p}{q}=\frac{奇数}{奇数}\)），其导数\(y^\prime = \frac{p}{q}x^{\frac{p}{q}-1}\)。因为\(a > 1\)，也就是\(\frac{p}{q} > 1\)（满足给定条件），且对于任意\(x \neq 0\)，\(x^{\frac{p}{q}-1}\)有确定的值，同时在\(x = 0\)处函数是连续的，所以\(y^\prime > 0\)（\(x \neq 0\)时），这就表明函数在整个定义域\(R\)上单调递增。

例如，对于\(y = x^{\frac{3}{1}}\)（即\(y = x^3\)），其导数\(y^\prime = 3x^2\)，除\(x = 0\)时\(y^\prime = 0\)外，在其他情况下\(y^\prime > 0\)，随着\(x\)从负无穷增大到正无穷，函数值持续增大；对于\(y = x^{\frac{5}{3}}\)，导数\(y^\prime=\frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}}=\frac{5}{3}\sqrt[3]{x^2}\)，同样\(x \neq 0\)时\(y^\prime > 0\)，在整个定义域上呈现单调递增的态势。

2. 不同函数间的变化速率差异：

虽然它们都单调递增，但由于指数\(\frac{p}{q}\)不同，函数值随\(x\)变化的速率有所不同。

比较\(y = x^{\frac{3}{1}}\)（即\(y = x^3\)）和\(y = x^{\frac{5}{3}}\)，当\(x\)的值逐渐增大（或减小）时，\(y = x^{\frac{5}{3}}\)的函数值变化相对更快一些，也就是其图像会比\(y = x^3\)的图像“更陡峭”一点。

例如，当\(x\)从\(1\)增大到\(2\)时，\(y = x^3\)从\(1^3 = 1\)增大到\(2^3 = 8\)；而\(y = x^{\frac{5}{3}}\)从\(1^{\frac{5}{3}} = 1\)增大到\(2^{\frac{5}{3}}=\sqrt[3]{2^5}=\sqrt[3]{32}\approx 3.17\)，能明显看出在相同的\(x\)变化区间内，\(y = x^{\frac{5}{3}}\)的函数值增长幅度更大，体现出变化速率的差异。

四、奇偶性

这类幂函数都是奇函数。

对于函数\(y = x^{\frac{p}{q}}\)（\(\frac{p}{q}=\frac{奇数}{奇数}\)），设\(f(x) = x^{\frac{p}{q}}\)，则\(f(-x) = (-x)^{\frac{p}{q}} = (-1)^{\frac{p}{q}}x^{\frac{p}{q}}\)。因为\(\frac{p}{q}=\frac{奇数}{奇数}\)，根据负数的奇数次幂性质，\((-1)^{\frac{p}{q}} = -1\)，所以\(f(-x) = -x^{\frac{p}{q}} = -f(x)\)，满足奇函数的定义，即函数图像关于原点对称。

五、图像特征

由于是奇函数，图像关于原点对称。在\(x > 0\)的区域，函数值随着\(x\)的增大而增大；在\(x < 0\)的区域，函数值随着\(x\)的增大而增大（从负方向趋近于\(0\)或向负无穷变化）。而且不同的指数使得它们的图像在“陡峭”程度等方面有区别，\(y = x^{\frac{5}{3}}\)的图像相对\(y = x^3\)在远离原点处会显得更“挺拔”，也就是变化更剧烈一些，这与前面提到的函数值变化速率的差异相对应。

\(y = x^a\)：\(a > 1\)，\(a=\frac{p}{q}=\frac{偶数}{奇数}\)，\(y = x^{\frac{4}{3}}\)，\(y = x^{\frac{2}{1}}\)

一、定义域

对于此类幂函数，其定义域为\(R\)（全体实数集）。

因为当\(a = \frac{p}{q}=\frac{偶数}{奇数}\)时，不管\(x\)取正值、负值还是\(0\)，进行相应的幂运算都是有意义的。例如在\(y = x^{\frac{4}{3}}\)中，先对\(x\)进行开三次方运算（开奇数次方对任意实数都可行），然后再进行四次幂运算，无论\(x\)为何值，都能得到确定的结果；同样，对于\(y = x^{\frac{2}{1}}\)（即\(y = x^2\)），对任意实数\(x\)进行平方运算也都能得到相应的函数值，不存在使函数无定义的取值情况。

二、值域

其值域为\(\left[0, +\infty\right)\)。

由于指数\(a\)中分子\(p\)为偶数，这意味着对于任意实数\(x\)进行幂运算后，结果是非负的。以\(y = x^{\frac{4}{3}}\)为例，先开三次方得到一个实数，再进行四次幂运算，最终结果必然大于等于\(0\)；对于\(y = x^{\frac{2}{1}}\)（即\(y = x^2\)），任何实数的平方都大于等于\(0\)，并且随着\(x\)绝对值的增大，函数值可以取到任意大的非负实数，所以值域是\(\left[0, +\infty\right)\)。

三、单调性

1. 整体单调递增性：

这类幂函数在整个定义域\(R\)上是单调递增的。

对幂函数\(y = x^{\frac{p}{q}}\)（\(\frac{p}{q}=\frac{偶数}{奇数}\)）求导，可得\(y^\prime = \frac{p}{q}x^{\frac{p}{q}-1}\)。因为\(a > 1\)，即\(\frac{p}{q} > 1\)（满足给定条件），且对于任意\(x \neq 0\)，\(x^{\frac{p}{q}-1}\)有确定的值，同时在\(x = 0\)处函数是连续的，所以\(y^\prime > 0\)（\(x \neq 0\)时），这表明函数在整个定义域\(R\)上单调递增。

例如，对于\(y = x^{\frac{4}{3}}\)，其导数\(y^\prime = \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}=\frac{4}{3}\sqrt[3]{x}\)，除\(x = 0\)时\(y^\prime = 0\)外，在其他情况下\(y^\prime > 0\)，随着\(x\)从负无穷增大到正无穷，函数值持续增大；对于\(y = x^{\frac{2}{1}}\)（即\(y = x^2\)），导数\(y^\prime = 2x\)，当\(x > 0\)时，\(y^\prime > 0\)，函数单调递增，当\(x < 0\)时，\(y^\prime < 0\)，函数单调递减，但从整个定义域\(R\)来看，整体是单调递增的（因为\(x\)从负无穷到正无穷过程中函数值是不断增大的）。

2. 不同函数间的变化速率差异：

虽然它们都单调递增，但由于指数\(\frac{p}{q}\)不同，函数值随\(x\)变化的速率有所不同。

比较\(y = x^{\frac{4}{3}}\)和\(y = x^{\frac{2}{1}}\)（即\(y = x^2\)），当\(x\)的值逐渐增大（或减小）时，\(y = x^{\frac{4}{3}}\)的函数值变化相对更快一些，也就是其图像会比\(y = x^2\)的图像“更陡峭”一点。

例如，当\(x\)从\(1\)增大到\(2\)时，\(y = x^2\)从\(1^2 = 1\)增大到\(2^2 = 4\)；而\(y = x^{\frac{4}{3}}\)从\(1^{\frac{4}{3}} = 1\)增大到\(2^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{2^4}=\sqrt[3]{16}\approx 2.52\)，能明显看出在相同的\(x\)变化区间内，\(y = x^{\frac{4}{3}}\)的函数值增长幅度更大，体现出变化速率的差异。

四、奇偶性

这类幂函数都是偶函数。

设\(f(x) = x^{\frac{p}{q}}\)（\(\frac{p}{q}=\frac{偶数}{奇数}\)），则\(f(-x) = (-x)^{\frac{p}{q}} = (-1)^{\frac{p}{q}}x^{\frac{p}{q}}\)。

因为\(\frac{p}{q}=\frac{偶数}{奇数}\)，根据负数的偶数次幂性质，\((-1)^{\frac{p}{q}} = 1\)，所以\(f(-x) = x^{\frac{p}{q}} = f(x)\)，满足偶函数的定义，即函数图像关于\(y\)轴对称。

具体到\(y = x^{\frac{4}{3}}\)，有\(f(-x) = (-x)^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{(-x)^4} = \sqrt[3]{x^4} = x^{\frac{4}{3}} = f(x)\)；对于\(y = x^{\frac{2}{1}}\)（即\(y = x^2\)），\(f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)\)，它们的图像都关于\(y\)轴对称。

五、图像特征

由于是偶函数，图像关于\(y\)轴对称。在\(y\)轴两侧，函数值随着\(x\)绝对值的增大而增大，并且函数在\(x > 0\)和\(x < 0\)时具有相同的变化趋势（因为单调性相同）。同时，不同的指数使得它们的图像在“陡峭”程度等方面有区别，\(y = x^{\frac{4}{3}}\)的图像相对\(y = x^2\)在远离原点处会显得更“挺拔”，也就是变化更剧烈一些，这与前面提到的函数值变化速率的差异相对应。

\(y = x^a\)：\(a > 1\)，\(a=\frac{p}{q}=\frac{奇数}{偶数}\)，\(y = x^{\frac{5}{4}}\)，\(y = x^{\frac{1}{2}}\)

一、定义域

对于幂函数\(y = x^a\)，当\(a = \frac{p}{q}=\frac{奇数}{偶数}\)时，其定义域为\(\{x|x \geq 0\}\)。这是因为此类幂函数涉及到分数幂形式，具体为\(x^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{x^p}\)（\(\frac{p}{q}=\frac{奇数}{偶数}\)），其中要先对\(x\)进行开\(q\)次方（\(q\)为偶数）运算，在实数范围内，开偶数次方时被开方数必须非负，所以\(x\)只能取大于等于\(0\)的实数。

例如，\(x^{\frac{5}{4}}=\sqrt[4]{x^5}\)，\(x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\)，只有\(x \geq 0\)时这些运算才有意义。

二、值域

值域是\(\{y|y \geq 0\}\)，即函数值恒大于等于\(0\)。因为对于定义域内的任意非负实数\(x\)，进行\(x^{\frac{p}{q}}\)（\(\frac{p}{q}=\frac{奇数}{偶数}\)）运算后，结果必然是非负的。

例如，对于\(x^{\frac{5}{4}}\)，先对\(x\)进行五次幂运算得到一个非负的结果，再开四次方，最终得到的也是非负实数；对于\(x^{\frac{1}{2}}\)，开平方根得到的同样是非负实数，并且随着\(x\)在非负范围内取值变化，函数值可以取到\(0\)以及任意大的非负实数。

三、单调性

1. 区间单调性：

这类幂函数在其定义域\([0, +\infty)\)上是单调递增的。

对\(y = x^{\frac{p}{q}}\)（\(a = \frac{p}{q}=\frac{奇数}{偶数}\)）求导，可得\(y^\prime = \frac{p}{q}x^{\frac{p}{q}-1}\)。

当\(x\)在\([0, +\infty)\)内时，\(y^\prime > 0\)，这表明函数在该区间上单调递增。

例如，对于\(y = x^{\frac{5}{4}}\)，其导数\(y^\prime = \frac{5}{4}x^{\frac{1}{4}}=\frac{5}{4}\sqrt[4]{x}\)，在\((0, +\infty)\)上，\(y^\prime\)恒大于\(0\)，所以函数在这个区间上单调递增，且\(x = 0\)时函数值最小为\(0\)，随着\(x\)的增大，\(y\)的值也相应增大；对于\(y = x^{\frac{1}{2}}\)，导数\(y^\prime=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)，在\((0, +\infty)\)上\(y^\prime > 0\)，函数在该区间同样单调递增，比如\(x\)从\(0\)增大到\(1\)时，\(y\)的值也从\(0\)开始逐渐增大。

四、奇偶性

这类幂函数的定义域不关于原点对称（定义域为\(x \geq 0\)），所以既不是奇函数也不是偶函数。

因为奇函数或偶函数的定义要求定义域关于原点对称，而对于\(y = x^{\frac{p}{q}}\)（\(a = \frac{p}{q}=\frac{奇数}{偶数}\)），其定义域只包含非负实数部分，不满足这个对称条件，也就不存在奇偶性一说。

五、图像特征

1. 经过原点及渐近线情况：

图像都经过原点\((0,0)\)，因为当\(x = 0\)时，\(y = 0^{\frac{p}{q}} = 0\)。

\(x = 0\)（\(y\)轴）是其左侧的边界，函数图像只存在于\(y\)轴右侧（包括原点）。并且，当\(x\)趋近于正无穷时，函数值\(y\)也趋近于正无穷，但增长的速率相对较慢（因为\(a > 1\)时相对一些整式幂函数增长速率还是稍缓一些），图像会逐渐向上延伸，整体呈现出一种从原点开始向右上方平缓上升的形态。

2. 整体形状与对称性：

由于定义域的限制以及函数的单调性，图像位于第一象限（包含原点），从左向右逐渐上升。不同的指数会使图像的“陡峭”程度等细节有所差异，例如\(y = x^{\frac{5}{4}}\)与\(y = x^{\frac{1}{2}}\)相比，在靠近原点附近以及随着\(x\)增大的过程中，\(y = x^{\frac{5}{4}}\)上升得相对更快一些，也就是图像更“陡峭”一点（从函数值随\(x\)变化的速率角度来看），而\(y = x^{\frac{1}{2}}\)的图像相对更“平缓”些。

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