指数函数 04 指数函数：\(y = a^{x}(a>0\)，且\(a\neq1)\)

一、指数函数的定义

一般地，函数\(y = a^{x}(a>0\)，且\(a\neq1)\)叫做指数函数，其中\(x\)是自变量，函数的定义域是\(R\)。

例如，\(y = 2^{x}\)、\(y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\)都是指数函数。这里要注意指数函数的底数\(a\)的取值范围是\(a>0\)且\(a\neq1\)，因为当\(a = 0\)时，若\(x>0\)，\(a^{x}=0\)；若\(x\leqslant0\)，\(a^{x}\)无意义。当\(a<0\)时，\(a^{x}\)的值在\(x\)取某些值（如分数）时无意义，而当\(a = 1\)时，\(y = 1^{x}=1\)是一个常数函数，不符合指数函数的定义。

二、指数函数的图象和性质

图象：

当\(a>1\)时，指数函数\(y = a^{x}\)的图象是上升的曲线。

例如，\(y = 2^{x}\)的图象，它经过点\((0,1)\)，随着\(x\)的增大，\(y\)的值增长得越来越快。

当\(0<a<1\)时，指数函数\(y = a^{x}\)的图象是下降的曲线。

例如，\(y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\)的图象，同样经过点\((0,1)\)，随着\(x\)的增大，\(y\)的值逐渐减小，趋近于\(0\)。

性质：

定义域：指数函数的定义域是\(R\)，这意味着\(x\)可以取任意实数。

例如，对于\(y = 3^{x}\)，\(x\)可以是整数、分数、无理数等任何实数。

值域：当\(a>0\)且\(a\neq1\)时，指数函数的值域是\((0,+\infty)\)。因为对于任何实数\(x\)，\(a^{x}>0\)。

例如，\(y = 5^{x}\)，无论\(x\)取何值，\(y\)的值总是大于\(0\)的。

单调性：当\(a>1\)时，函数在\(R\)上单调递增；当\(0<a<1\)时，函数在\(R\)上单调递减。

例如，\(y = 2^{x}\)是单调递增函数，若\(x_{1}<x_{2}\)，则\(2^{x_{1}}<2^{x_{2}}\)；

例如，\(y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\)是单调递减函数，若\(x_{1}<x_{2}\)，则\(\left(\frac{1}{3}\right)^{x_{1}}>\left(\frac{1}{3}\right)^{x_{2}}\)。

过定点：指数函数\(y = a^{x}\)恒过定点\((0,1)\)。因为当\(x = 0\)时，\(a^{0}=1\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）。

三、指数函数的定义中为什么要求a>0，且a≠1

1. 当\(a = 0\)时的情况

若\(x>0\)，那么\(a^{x}=0^{x}=0\)；但是若\(x\leqslant0\)，\(0^{x}\)就无意义。例如，\(0^{-1}=\frac{1}{0}\)是不被允许的，因为在数学中除数不能为\(0\)。所以\(a = 0\)不符合指数函数对\(x\)取任意实数都有意义的要求。

2. 当\(a<0\)时的情况

当\(x\)是整数时，\(a^{x}\)是有意义的。例如，当\(a=-2\)，\(x = 3\)时，\(a^{x}=(-2)^{3}=-8\)。

然而，当\(x\)是分数时，\(a^{x}\)可能会无意义。比如\(a = - 2\)，\(x=\frac{1}{2}\)，那么\(a^{x}=(-2)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-2}\)，在实数范围内，负数不能开平方，所以此时函数值无意义。这样就无法保证对于任意的实数\(x\)，函数\(y = a^{x}\)都有意义。

3. 当\(a = 1\)时的情况

此时函数\(y = 1^{x}=1\)，对于任意的\(x\in R\)，函数值始终为\(1\)，这是一个常数函数。而指数函数要求它的底数\(a\)能够使函数值随着\(x\)的变化而变化，所以\(a = 1\)不符合指数函数的定义。

综上，为了保证函数\(y = a^{x}\)对于任意实数\(x\)都有意义，并且函数值能够随着\(x\)的变化而变化，指数函数的定义中要求\(a>0\)，且\(a\neq1\)。

四、指数函数的应用

1. 人口增长模型

描述一个国家或地区人口随时间的增长情况。假设人口初始数量为\(P_0\)，年增长率为\(r\)，经过\(t\)年，人口数量\(P(t)=P_0(1 + r)^{t}\)。例如，某个城市初始人口为100万，年增长率为3%，则\(P(t)=100\times(1 + 0.03)^{t}\)，可以预测未来几年的人口数量。

2. 细菌繁殖

研究细菌在适宜环境下的繁殖。如果最初有\(N_0\)个细菌，繁殖周期为\(T\)，每个周期繁殖率为\(k\)，经过\(n\)个周期后，细菌数量\(N(n)=N_0(1 + k)^{n}\)。比如，在实验室中，最初有100个细菌，每小时繁殖率为50%，经过\(t\)小时（假设\(n=t\)，单位时间为1小时），细菌数量可以用指数函数来计算。