解析几何 12 有向线段、两点距离
一、有向线段
有向线段的定义：有向线段是规定了方向的线段。它包含起点、终点、方向三个要素。
在平面直角坐标系中，从点\(A\)到点\(B\)的有向线段记为\(\overrightarrow{AB}\)，其中\(A\)是起点，\(B\)是终点，方向是从\(A\)指向\(B\)。
有向线段的表示方法：有向线段可以用它的起点和终点的坐标来表示。
在平面直角坐标系中，若\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，则\(\overrightarrow{AB}\)可以通过坐标差来表示其在\(x\)轴和\(y\)轴方向上的变化，即
\(\overrightarrow{AB}=(x_2 - x_1,y_2 - y_1)\)
例如，\(A(1,2)\)，\(B(3,4)\)，则\(\overrightarrow{AB}=(3 - 1,4 - 2)=(2,2)\)。
有向线段的长度和有向线段的数量的区别：
有向线段的长度是一个非负实数，它只与起点和终点的位置有关，不考虑方向，其长度计算公式为
\(\vert\overrightarrow{AB}\vert=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}\)
而有向线段的数量是考虑了方向的一个实数，在坐标轴方向上，其数量等于终点坐标减去起点坐标。
例如，对于\(\overrightarrow{AB}\)，在\(x\)轴方向的数量是\(x_2 - x_1\)，在\(y\)轴方向的数量是\(y_2 - y_1\)。
二、两点距离
定义：两点距离是指平面或空间中两个点之间的长度，它是一个非负实数。
在平面直角坐标系中，两点\(A(x_1,y_1)\)和\(B(x_2,y_2)\)之间的距离公式为：
\(d(A,B)=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}\)
例如，\(A( - 1,3)\)，\(B(2,1)\)，则\(d(A,B)=\sqrt{(2 - ( - 1))^2+(1 - 3)^2}=\sqrt{9 + 4}=\sqrt{13}\)。
与有向线段的关系：两点距离实际上就是连接这两点的有向线段（不考虑方向）的长度。如果把两点看作有向线段的起点和终点，那么两点距离公式就是计算有向线段长度的公式。有向线段的长度在很多几何问题和实际应用（如计算图形的边长、物体移动的路程等）中非常重要，它为我们提供了一种量化两点之间空间关系的方法。
在空间直角坐标系中的两点距离公式：对于空间直角坐标系中的两点\(A(x_1,y_1,z_1)\)和\(B(x_2,y_2,z_2)\)，两点间的距离公式为
\(d(A,B)=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2+(z_2 - z_1)^2}\)
这个公式是平面直角坐标系中两点距离公式的推广，它考虑了三个坐标轴方向上的坐标差异，用于计算三维空间中两点之间的实际距离。
