三角函数 05 终边相同、相反、同直线、同射线、垂直的角
1. 终边相同的角
定义：在平面直角坐标系中，所有与角\(\alpha\)终边相同的角（包括\(\alpha\)本身），它们之间的关系可以表示为\(\beta = k\cdot360^{\circ}+\alpha\)（在角度制下，\(k\in Z\)），或者\(\beta = 2k\pi+\alpha\)（在弧度制下，\(k\in Z\)）。
示例：与\(30^{\circ}\)终边相同的角有\(390^{\circ}\)（当\(k = 1\)时，\(390^{\circ}=360^{\circ}+30^{\circ}\)）、\(-330^{\circ}\)（当\(k=-1\)时，\(-330^{\circ}=-360^{\circ}+30^{\circ}\)）等。在单位圆中，这些角的终边都落在与\(30^{\circ}\)角终边相同的位置。
三角函数值特点：终边相同的角的同名三角函数值相等。
例如，\(\sin390^{\circ}=\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\)，\(\cos(-330^{\circ})=\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。
这是因为三角函数是周期函数，周期的整数倍变化后终边位置相同，所以函数值相等。
2. 终边相反的角
定义：角\(\beta\)与角\(\alpha\)终边相反，其关系为\(\beta=(2k + 1)\cdot180^{\circ}+\alpha\)（角度制，\(k\in Z\)），或者\(\beta=(2k + 1)\pi+\alpha\)（弧度制，\(k\in Z\)）。简单来说，终边相反的角相差\(180^{\circ}\)（或\(\pi\)弧度）的奇数倍。
示例：与\(30^{\circ}\)终边相反的角是\(210^{\circ}\)（\(k = 0\)时，\(210^{\circ}=180^{\circ}+30^{\circ}\)），在单位圆中，\(30^{\circ}\)角终边在第一象限，\(210^{\circ}\)角终边在第三象限，方向相反。
三角函数值关系：对于终边相反的角，正弦值互为相反数，余弦值也互为相反数。如\(\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\)，\(\sin210^{\circ}=-\frac{1}{2}\)；\(\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\cos210^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)。
3. 终边在同一直线上的角
定义：角\(\beta\)与角\(\alpha\)终边在同一直线上，那么\(\beta = k\cdot180^{\circ}+\alpha\)（角度制，\(k\in Z\)），或者\(\beta = k\pi+\alpha\)（弧度制，\(k\in Z\)）。这意味着它们的终边要么重合（\(k\)为偶数时相当于终边相同），要么方向相反（\(k\)为奇数时相当于终边相反）。
示例：\(30^{\circ}\)和\(210^{\circ}\)终边在同一直线上，\(30^{\circ}\)和\(390^{\circ}\)也终边在同一直线上。
三角函数值特点：当终边在同一直线上时，正切值相等。因为正切函数的周期是\(180^{\circ}\)（或\(\pi\)弧度），终边在同一直线上的角正切函数的周期特性决定了其正切值相同。例如，\(\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)，\(\tan210^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)。
4. 终边在同一条射线上的角
定义：角\(\beta\)与角\(\alpha\)终边在同一条射线上，当且仅当\(\beta = k\cdot360^{\circ}+\alpha\)（角度制，\(k\in Z\)且\(k\geq0\)），或者\(\beta = 2k\pi+\alpha\)（弧度制，\(k\in Z\)且\(k\geq0\)）。这种情况类似于终边相同的角，但限制了旋转方向为正方向或者没有旋转（\(k = 0\)）。
示例：\(30^{\circ}\)和\(390^{\circ}\)（\(k = 1\)时）终边在同一条射线上，它们的终边都是从\(x\)轴正半轴开始，按逆时针方向旋转得到的，且在同一条射线上。
三角函数值关系：终边在同一条射线上的角的三角函数值与终边相同的角的三角函数值规律一样，同名三角函数值相等。
5. 终边互相垂直的角
定义：若角\(\beta\)的终边与角\(\alpha\)的终边互相垂直，设\(\alpha\)角终边按逆时针旋转\(90^{\circ}\)得到\(\beta\)角终边（当然也可以是顺时针旋转\(270^{\circ}\)等情况），那么\(\beta=\alpha\pm90^{\circ}+k\cdot360^{\circ}\)（角度制，\(k\in Z\)），或者\(\beta=\alpha\pm\frac{\pi}{2}+2k\pi\)（弧度制，\(k\in Z\)）。
示例：若\(\alpha = 30^{\circ}\)，那么与它终边垂直的角\(\beta\)可以是\(120^{\circ}\)（\(\beta = 30^{\circ}+90^{\circ}\)）或者\(-60^{\circ}\)（\(\beta = 30^{\circ}-90^{\circ}\)）。
三角函数值关系：对于互相垂直的终边对应的角，正弦和余弦函数值会互换，并且其中一个函数值要取相反数。例如，\(\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\)，\(\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)；\(\sin120^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\cos120^{\circ}=-\frac{1}{2}\)。这是因为终边旋转\(90^{\circ}\)后，坐标关系发生了相应的变化，导致三角函数值的变化符合上述规律。
