幂平均不等式

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

一、幂平均不等式（Power Mean Inequality，简称PMI）

1. 定义

设 \(x_1,x_2,\dots,x_n>0\)，实数 \(t\neq0\)，定义t次幂平均：\(M_t=\left(\frac{x_1^t+x_2^t+\dots+x_n^t}{n}\right)^{\frac{1}{t}}\)补充 \((t=0)\) 的定义（极限形式，几何平均）：\(M_0=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\)2. 幂平均不等式核心定理

若实数 \(\alpha>\beta\)，则：\(\boldsymbol{M_\alpha \ge M_\beta}\)也就是：\(\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k^\alpha\right)^{\frac{1}{\alpha}}\ge\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k^\beta\right)^{\frac{1}{\beta}}\)等号成立条件：\(x_1=x_2=\dots=x_n\)。

前提条件：所有变量为正数；出现0依然成立，但不能含有负数。

3. 最常用特殊阶次（必须熟记）

1. \(M_1=\dfrac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}\) 算术平均（AM）

2. \(M_0=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\) 几何平均（GM）

3. \(M_{-1}=\dfrac{n}{\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dots+\dfrac{1}{x_n}}\) 调和平均（HM）

4. \(M_2=\sqrt{\dfrac{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2}{n}}\) 平方平均（QM）

由 \(2>1>0>-1\)，直接得到均值链：\(\boldsymbol{M_2\ge M_1\ge M_0\ge M_{-1}}\)\(\sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n}}\ge\frac{\sum x_i}{n}\ge\sqrt[n]{\prod x_i}\ge\frac{n}{\sum \dfrac{1}{x_i}}\)这就是经典平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均。

4. 齐次性

幂平均不等式是零次齐次不等式。

若全部 \(x_i\) 同乘正常数 \(k\)，\(M_t\) 不变。

解题常用技巧：归一化，令 \(\sum x_i=1\) 或 \(\prod x_i=1\)。

二、幂平均全部二级结论（推论、变形、拓展结论）

推论1：升幂放缩（\(\alpha>1\)）\(\frac{1}{n}\sum x_i^\alpha \ge \left(\frac{1}{n}\sum x_i\right)^\alpha\)使用场景：已知和，放缩幂次和。

推论2：降幂放缩（\(0<\alpha<1\)）\(\frac{1}{n}\sum x_i^\alpha \le \left(\frac{1}{n}\sum x_i\right)^\alpha\)推论3：负指数形式（\(\alpha<0\)）

设 \(\alpha=-\beta,\beta>0\)\(\left(\frac{1}{n}\sum x_i^{-\beta}\right)^{-\frac{1}{\beta}}\le\frac{1}{n}\sum x_i\)展开常用形式：\(\sum\frac{1}{x_i}\ge \frac{n^2}{\sum x_i}\)（调和平均 ≤ 算术平均直接推出，联赛高频）

推论4：加权幂平均不等式（通用加强版）

设权重 \(w_1,w_2,\dots,w_n>0,\sum w_i=1\)，\(\alpha>\beta\)\(\left(\sum w_i x_i^\alpha\right)^{\frac{1}{\alpha}}\ge\left(\sum w_i x_i^\beta\right)^{\frac{1}{\beta}}\)普通幂平均是等权重 \(w_i=\dfrac1n\) 的特例。

推论5：单向变形（去掉分母）\(\alpha>\beta\)：\(n^{\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\beta}}\cdot\left(\sum x_i^\alpha\right)^{\frac{1}{\alpha}}\ge\left(\sum x_i^\beta\right)^{\frac{1}{\beta}}\)推论6：幂平均与柯西关联\(M_2\ge M_1\) 平方后：\(n\sum x_i^2 \ge \left(\sum x_i\right)^2\)这是柯西不等式 \(\left(\sum 1^2\right)\left(\sum x_i^2\right)\ge(\sum x_i)^2\)。

推论7：条件 \(\prod x_i=1\) 专用结论

若 \(x_1x_2\cdots x_n=1\)，则 \(M_0=1\)\(\alpha>0\\(\mathbb R\)ightarrow M_\alpha\ge1,\quad \alpha<0\\(\mathbb R\)ightarrow M_\alpha\le1\)即\(\sum x_i^\alpha\ge n \quad(\alpha>0);\quad \sum x_i^\alpha\le n\quad(\alpha<0)\)推论8：分段单调性结论

固定一组正数 \(x_1,\dots,x_n\)，把 \(M_t\) 看作关于 \(t\) 的函数：

函数 \((M(t))\) 在 \(\mathbb \(\mathbb R\)\) 上严格单调递增；全部变量相等时，\((M(t))\) 为常函数。

推论9：多元分式不等式常用结论\(\(\(a,b>0\),r>1\)\)：\(a^r+b^r \ge 2^{1-r}(a+b)^r\)三元推广：\(a^r+b^r+c^r \ge 3^{1-r}(\(a+b+c\))^r\)推论10：幂平均反向形式（配合凸函数：Jensen视角）

幂平均本质是凸函数琴生不等式特例\(\(f(x)\)=x^t\)：\(\(t>1\)\) 或 \(\(t<0\)\)，\(\(f(x)\)\) 凸函数，琴生：\(\sum f(x_i)\ge n f(\bar x)\)\(\(0<t<1\)\)，\(\(f(x)\)\) 凹函数，琴生：\(\sum f(x_i)\le n f(\bar x)\)推论11：对称轮换不等式通用工具

对于三元正数 \((a,b,c)\)，若要估计 \(a^k+b^k+c^k\)，优先幂平均；

已知 \(\(a+b+c\)\) 求幂和最大值/最小值首选。

推论12：无穷形式（分析拓展）

若正项级数收敛，有限维幂平均可以极限延拓至无穷序列（竞赛极少使用）。

推论13：幂平均乘积形式

已知两组正数 \(x_i,y_i\)，结合赫尔德不等式可与幂平均联立放缩。

推论14：标准化结论

若 \(\sum x_i =n\)，则 \(M_1=1\)\(\alpha>1\\(\mathbb R\)ightarrow \sum x_i^\alpha \ge n,\quad 0<\alpha<1\\(\mathbb R\)ightarrow\sum x_i^\alpha\le n\)> ✅应试核心记忆两条

1. \(\boldsymbol{\alpha>\beta>0}\implies \left(\dfrac{\sum x_i^\alpha}{n}\right)^{\frac1\alpha}\ge\left(\dfrac{\sum x_i^\beta}{n}\right)^{\frac1\beta}\)2. 均值链：平方平均≥算术≥几何≥调和；全部是幂平均特殊取值。

三、幂平均不等式例题（由浅入深，变量无说明均为正数）

基础入门（均值链直接应用）

例1 设 \((a,b>0)\)，证明：\(\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\ge\dfrac{a+b}{2}\)解：二元幂平均，取 \(n=2,\alpha=2,\beta=1\)，\(M_2\ge M_1\)，即为二元平方平均不等式。等号 \(\(a=b\)\)。

例2 设 \((a,b,c)>0\)，求证\(\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\ge\frac{\(a+b+c\)}{3}\)解：\(n=3,M_2\ge M_1\)，两边平方：\(3(a^2+b^2+c^2)\ge(\(a+b+c\))^2\)。

例3 \((x>0,y>0)\)，证明 \(\dfrac{x+y}{2}\ge \dfrac{2}{\dfrac1x+\dfrac1y}\)解：\(M_1\ge M_{-1}\)，算术平均≥调和平均。

例4 已知 \(\(a+b+c\)=3\)，求证 \(a^2+b^2+c^2\ge3\)解：\(M_2\ge M_1\)，\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\dfrac{\(a+b+c\)}{3}\right)^2=1\)，整理即得；等号 \(\(a=b\)=c=1\)。

中档升幂、降幂题型

例5 \((a,b,c)>0\)，求证 \(a^3+b^3+c^3\ge \dfrac{(\(a+b+c\))^3}{9}\)解：取 \(\alpha=3,\beta=1\)，幂平均\(\left(\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\right)^{\frac13}\ge\frac{\(a+b+c\)}{3}\)两边三次方整理可得结论。

例6 \(x_1,x_2,\dots,x_n>0\)，证明\(x_1^4+x_2^4+\dots+x_n^4\ge \frac{(x_1+x_2+\dots+x_n)^4}{n^3}\)解：\(\alpha=4,\beta=1\)，直接套用幂平均公式变形。

例7 正数 \(\(a+b=2\)\)，求证 \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\le2\)解：令幂次 \(\alpha=\dfrac12<1\)，降幂结论：\(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\le\sqrt{\frac{a+b}{2}}=1\\(\mathbb R\)ightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}\le2\)例8 已知 \((a,b,c)>0,\(a+b+c\)=3\)，证明 \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le3\)解：\(t=\dfrac12\in(0,1)\)，凹函数情形\(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{3}\le\sqrt{\frac{\(a+b+c\)}{3}}=1\)负指数（调和平均类）

例9 \((a,b,c)>0\)，证明 \(\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\ge\dfrac{9}{\(a+b+c\)}\)解：\(M_1\ge M_{-1}\)，变形直接得到联赛经典不等式。

例10 \((x+y+z=1,x,y,z>0)\)，求证 \(\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z\ge9\)解：用上一题结论，代入 \(\(a+b+c\)=1\)。

条件约束：乘积等于1题型

例11 \((a,b,c)>0,abc=1\)，证明 \(a^2+b^2+c^2\ge3\)解：\(abc=1\\(\mathbb R\)ightarrow M_0=1\)；\(\alpha=2>0\)，\(M_2\ge M_0=1\)，\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge1\)。

例12 \((a>0,b>0,ab=1)\)，求证 \(a^k+b^k\ge2,\ k>0\)解：二元，几何平均等于1，\(M_k\ge M_0=1\)。

求最值经典题型

例13 已知 \(\(x+y+z=6,x,y,z>0\)\)，求 \(x^3+y^3+z^3\) 的最小值。

解：幂平均\(\left(\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\right)^{\frac13}\ge\frac{6}{3}=2\)\(x^3+y^3+z^3\ge24\)，\(\(x=y=z=2\)\)取最小值24。

例14 正数 \(\(a+b+c\)=12\)，求 \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\) 的最大值。

解：\(t=\dfrac12<1\)，\(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{3}\le\sqrt{\frac{\(a+b+c\)}{3}}=2\)\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le6\)，\(\(a=b\)=c=4\)取最大值。

n元推广题型

例15 设正数 \(x_1+x_2+\dots+x_n=n\)，求证 \(x_1^m+x_2^m+\dots+x_n^m\ge n\quad(\(m>1\))\)解：标准化 \(M_1=1\)，\(\(m>1\)\) 时 \(M_m\ge M_1\)。

例16 设正数 \(x_1+x_2+\dots+x_n=n\)，\(\(0<m<1\)\)，证明 \(x_1^m+\dots+x_n^m\le n\)解：\(\(0<m<1\)\)，幂平均单调递增 \(M_m\le M_1=1\)。

竞赛中档综合不等式

例17 \((a,b,c)>0\)，证明\(\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\ge \(a+b+c\)\)思路：对数组 \(\left\{\dfrac{a^3}{b^2},\dfrac{b^3}{c^2},\dfrac{c^3}{a^2}\right\}\) 结合幂平均+均值，或构造幂次使用加权幂平均。

例18 \((a,b,c)>0\)，求证\((\(a+b+c\))(a^3+b^3+c^3)\ge(a^2+b^2+c^2)^2\)思路：方法一柯西；方法二使用幂平均联立证明。

例19 设 \(\alpha\in(0,\dfrac{\pi}{2})\)，已知 \(\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2}\)，证明 \(\sin^k\alpha+\cos^k\alpha=2,k>0\)解：条件推出 \(\sin\alpha=\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，幂平均等号条件。拓展：若 \(\sin\alpha+\cos\alpha<\sqrt{2}\)，则 \(\(k>2\)\) 时 \(\sin^k\alpha+\cos^k\alpha\) 随k增大减小。

例20 \((a,b,c)>0\)，求证\(\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}\ge\frac{\(a+b+c\)}{3}\ge\sqrt{\frac{3}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}}\)解：左边 \(M_3\ge M_1\)，右边 \(M_1\ge M_{-1}\)，一条不等式串联两条幂平均结论。

四、幂平均不等式标准解题步骤

1. 观察式子：是否出现同次幂之和，已知变量和或者变量积；

2. 确定幂次 \(\alpha,\beta\)，比较大小；

3. 写出幂平均标准形式；

4. 利用齐次性选择归一化简化；

5. 化简不等式；

6. 检验等号条件：全部变量相等能否满足题干约束。

五、重要易错提醒

1. 幂平均只对正数成立，不可直接用于含负数变量；

2. 幂平均方向：幂次越高，平均值越大，不要搞反向；

3. \(\(0<t<1\)\) 时放缩方向与 \(\(t>1\)\) 相反，极易出错；

4. 幂平均只能得到单向不等式，不能同时求最大、最小；