直线的向量方程

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1. 直线向量方程的定义

在平面直角坐标系或空间直角坐标系中，直线的向量方程是利用位置向量和方向向量来表示直线上任意一点位置的方程，核心思想是：直线上任意一点的位置向量 = 直线上某定点的位置向量 + 方向向量的任意实数倍。

2. 平面直角坐标系中的直线向量方程

设直线过定点 \( P_0(x_0,y_0) \)，其对应的位置向量为 \( \vec{r_0}=(x_0,y_0) \)；

直线的方向向量为 \( \vec{d}=(l,m) \)（\( l,m \) 不同时为0）；

直线上任意一点 \( P(x,y) \) 对应的位置向量为 \( \vec{r}=(x,y) \)。

则直线的向量方程为：

\(\vec{r} = \vec{r_0} + t\vec{d} \quad (t\in \mathbb{R})\)

其中 \( t \) 是参数，不同的 \( t \) 对应直线上不同的点：

当 \( t=0 \) 时，\( \vec{r}=\vec{r_0} \)，对应定点 \( P_0 \)；

当 \( t>0 \) 时，点 \( P \) 在 \( P_0 \) 沿方向向量 \( \vec{d} \) 的一侧；

当 \( t<0 \) 时，点 \( P \) 在 \( P_0 \) 沿方向向量 \( \vec{d} \) 的反方向一侧。

参数方程形式（与向量方程等价）

将向量方程按坐标拆分，可得：

\(\begin{cases}x = x_0 + tl \\y = y_0 + tm\end{cases} \quad (t\in \mathbb{R})\)

3. 空间直角坐标系中的直线向量方程

设直线过定点 \( P_0(x_0,y_0,z_0) \)，位置向量 \( \vec{r_0}=(x_0,y_0,z_0) \)；

方向向量 \( \vec{d}=(l,m,n) \)（\( l,m,n \) 不同时为0）；

直线上任意一点 \( P(x,y,z) \) 位置向量 \( \vec{r}=(x,y,z) \)。

则直线的向量方程为：

\(\vec{r} = \vec{r_0} + t\vec{d} \quad (t\in \mathbb{R})\)

参数方程形式

\(\begin{cases}x = x_0 + tl \\y = y_0 + tm \\z = y_0 + tn\end{cases} \quad (t\in \mathbb{R})\)

4. 方向向量的性质

直线的方向向量不唯一，任意一个与已知方向向量平行的非零向量，都可作为该直线的方向向量；

若直线过两点 \( P_1(x_1,y_1,z_1) \) 和 \( P_2(x_2,y_2,z_2) \)，则向量 \( \overrightarrow{P_1P_2}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1) \) 是直线的一个方向向量。

平面直线向量方程例题（1-12题）

例1 求过点 \( A(2,3) \)，方向向量为 \( \vec{d}=(1,-2) \) 的直线的向量方程和参数方程。

解：定点 \( A \) 位置向量 \( \vec{r_0}=(2,3) \)，方向向量 \( \vec{d}=(1,-2) \)

向量方程：\( \vec{r}=(2,3)+t(1,-2) \ (t\in \mathbb{R}) \)

参数方程：\( \begin{cases} x=2+t \\ y=3-2t \end{cases} \ (t\in \mathbb{R}) \)

例2 求过两点 \( P_1(1,-1) \) 和 \( P_2(3,2) \) 的直线的向量方程。

解：方向向量 \( \overrightarrow{P_1P_2}=(3-1,2-(-1))=(2,3) \)，取定点 \( P_1 \)，位置向量 \( \vec{r_0}=(1,-1) \)

向量方程：\( \vec{r}=(1,-1)+t(2,3) \ (t\in \mathbb{R}) \)

例3 已知直线的向量方程为 \( \vec{r}=(1,2)+t(-3,4) \)，求直线过的定点坐标和方向向量。

解：定点坐标为 \( (1,2) \)，方向向量为 \( (-3,4) \)（或 \( (3,-4) \) 等平行向量）

例4 已知直线参数方程 \( \begin{cases} x=3-2t \\ y=1+t \end{cases} \)，将其化为向量方程。

解：定点坐标 \( (3,1) \)，方向向量 \( (-2,1) \)

向量方程：\( \vec{r}=(3,1)+t(-2,1) \ (t\in \mathbb{R}) \)

例5 若直线 \( \vec{r}=(2,-1)+t(1,k) \) 过点 \( (4,3) \)，求参数 \( k \) 和对应的 \( t \) 值。

解：设 \( (4,3)=(2,-1)+t(1,k) \)，则 \( \begin{cases} 4=2+t \\ 3=-1+tk \end{cases} \)

解得 \( t=2 \)，代入第二个方程得 \( 3=-1+2k \)，\( k=2 \)

例6 求直线 \( \vec{r}=(0,0)+t(2,1) \) 与直线 \( y=2x+3 \) 的交点坐标。

解：直线参数方程 \( \begin{cases} x=2t \\ y=t \end{cases} \)，代入 \( y=2x+3 \) 得 \( t=4t+3 \)，\( t=-1 \)

交点坐标：\( x=2\times(-1)=-2 \)，\( y=-1 \)，即 \( (-2,-1) \)

例7 已知直线过点 \( (-1,2) \)，且与直线 \( \vec{r}=(1,0)+t(2,3) \) 平行，求该直线的向量方程。

解：两直线平行，方向向量相同，取 \( \vec{d}=(2,3) \)，定点位置向量 \( (-1,2) \)

向量方程：\( \vec{r}=(-1,2)+t(2,3) \ (t\in \mathbb{R}) \)

例8 求直线 \( \vec{r}=(3,4)+t(1,-1) \) 与 \( x \) 轴的交点坐标。

解：\( x \) 轴上点的纵坐标为0，参数方程 \( \begin{cases} x=3+t \\ y=4-t \end{cases} \)

令 \( y=0 \)，得 \( 4-t=0 \)，\( t=4 \)，代入 \( x=3+4=7 \)，交点 \( (7,0) \)

例9 已知直线向量方程 \( \vec{r}=(a,b)+t(3,-2) \) 过原点，求 \( a,b \) 的值。

解：原点坐标 \( (0,0) \)，代入得 \( (0,0)=(a,b)+t(3,-2) \)，即 \( \begin{cases} 0=a+3t \\ 0=b-2t \end{cases} \)

当 \( t=0 \) 时，\( a=0,b=0 \)

例10 求直线 \( \vec{r}=(1,3)+t(2,-5) \) 上，到点 \( (1,3) \) 距离为 \( \sqrt{29} \) 的点的坐标。

解：方向向量模长 \( |\vec{d}|=\sqrt{2^2+(-5)^2}=\sqrt{29} \)

距离为 \( \sqrt{29} \) 对应 \( t=\pm1 \)

当 \( t=1 \) 时，点坐标 \( (1+2,3-5)=(3,-2) \)

当 \( t=-1 \) 时，点坐标 \( (1-2,3+5)=(-1,8) \)

例11 将直线的一般式方程 \( 3x-2y+1=0 \) 化为向量方程。

解：先找直线上一定点，令 \( x=1 \)，则 \( 3-2y+1=0 \)，\( y=2 \)，定点 \( (1,2) \)

直线斜率 \( k=\frac{3}{2} \)，方向向量 \( (2,3) \)（斜率 \( k=\frac{m}{l}=\frac{3}{2} \)）

向量方程：\( \vec{r}=(1,2)+t(2,3) \ (t\in \mathbb{R}) \)

例12 判断点 \( (5,7) \) 是否在直线 \( \vec{r}=(1,3)+t(2,2) \) 上。

解：假设点在直线上，则 \( (5,7)=(1,3)+t(2,2) \)，得 \( \begin{cases} 5=1+2t \\ 7=3+2t \end{cases} \)

解得 \( t=2 \)，两个方程都成立，故点 \( (5,7) \) 在直线上。

空间直线向量方程例题（13-20题）

例13 求过点 \( P_0(1,2,3) \)，方向向量为 \( \vec{d}=(2,-1,4) \) 的直线的向量方程和参数方程。

解：位置向量 \( \vec{r_0}=(1,2,3) \)

向量方程：\( \vec{r}=(1,2,3)+t(2,-1,4) \ (t\in \mathbb{R}) \)

参数方程：\( \begin{cases} x=1+2t \\ y=2-t \\ z=3+4t \end{cases} \ (t\in \mathbb{R}) \)

例14 求过两点 \( A(2,-1,0) \) 和 \( B(3,1,-2) \) 的直线的向量方程。

解：方向向量 \( \overrightarrow{AB}=(3-2,1-(-1),-2-0)=(1,2,-2) \)

取定点 \( A \)，位置向量 \( (2,-1,0) \)

向量方程：\( \vec{r}=(2,-1,0)+t(1,2,-2) \ (t\in \mathbb{R}) \)

例15 已知空间直线的向量方程 \( \vec{r}=(0,1,-2)+t(3,0,1) \)，求直线过的定点和方向向量。

解：定点坐标 \( (0,1,-2) \)，方向向量 \( (3,0,1) \)

例16 若空间直线 \( \vec{r}=(1,0,2)+t(k,2,4) \) 过点 \( (3,4,10) \)，求 \( k \) 的值。

解：设 \( (3,4,10)=(1,0,2)+t(k,2,4) \)，得 \( \begin{cases} 3=1+tk \\ 4=0+2t \\ 10=2+4t \end{cases} \)

由后两个方程解得 \( t=2 \)，代入第一个方程得 \( 3=1+2k \)，\( k=1 \)

例17 求直线 \( \vec{r}=(2,3,1)+t(1,-1,2) \) 与平面 \( x+y+z=10 \) 的交点坐标。

解：参数方程 \( \begin{cases} x=2+t \\ y=3-t \\ z=1+2t \end{cases} \)，代入平面方程

\( (2+t)+(3-t)+(1+2t)=10 \)，化简得 \( 6+2t=10 \)，\( t=2 \)

交点坐标：\( x=4,y=1,z=5 \)，即 \( (4,1,5) \)

例18 已知直线过点 \( (3,-2,5) \)，且与直线 \( \vec{r}=(1,2,3)+t(2,3,-1) \) 平行，求该直线的向量方程。

解：平行直线方向向量相同，取 \( \vec{d}=(2,3,-1) \)，定点位置向量 \( (3,-2,5) \)

向量方程：\( \vec{r}=(3,-2,5)+t(2,3,-1) \ (t\in \mathbb{R}) \)

例19 求直线 \( \vec{r}=(1,-1,0)+t(0,2,3) \) 与 \( xOy \) 平面的交点坐标。

解：\( xOy \) 平面上点的竖坐标 \( z=0 \)

参数方程中 \( z=0+3t \)，令 \( z=0 \)，得 \( t=0 \)

代入得 \( x=1,y=-1,z=0 \)，交点 \( (1,-1,0) \)

例20 判断两点 \( P_1(3,1,4) \) 和 \( P_2(5,3,7) \) 是否在直线 \( \vec{r}=(1,-1,1)+t(2,2,3) \) 上。

解：对 \( P_1(3,1,4) \)：\( (3,1,4)=(1,-1,1)+t(2,2,3) \)，得 \( \begin{cases} 3=1+2t \\ 1=-1+2t \\ 4=1+3t \end{cases} \)，解得 \( t=1 \)，成立；

对 \( P_2(5,3,7) \)：\( (5,3,7)=(1,-1,1)+t(2,2,3) \)，得 \( \begin{cases} 5=1+2t \\ 3=-1+2t \\ 7=1+3t \end{cases} \)，前两个方程得 \( t=2 \)，第三个方程得 \( t=2 \)，成立；

故两点都在直线上。

解题技巧总结

1. 求直线向量方程的关键：找到一个定点和一个方向向量；

2. 两点确定直线时，方向向量可取两点构成的向量；

3. 平行直线的方向向量相同或成比例；

4. 判断点是否在直线上，可将点坐标代入向量方程，看是否存在唯一的参数 \( t \) 满足方程。

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